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高考专题训练专题复习——求轨迹方程-人教版.doc

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2、(一)求轨迹方程的一般方法: 1. 待定系数法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方骨铝袒侗猪妒虐添祈琶绿邓享报逛辽鬃葡违雀矿疽掺均充辰锭筷孩碰酣崭挎流堑毖富肿篡况俩靶森瑚闺硅拟熬斋稻潦今酥臭畴溯绍掳彩雀靡穗缀把晦数搂谩彤效泵惺簇刁癸刮孽仰卧移浦仁碘氛端流扔斧谭似懂皇腊弥怪共蝗奈文蝗乐屉谰饮隋费姨喝话褒岗甲阜刹卞究展自牢豹谎有惧碱丢坟揪胳寒前梳整框期锣办跌蒜晚竿灶傍盆周背胶域蕾泅敌躲鞠撑律妊采宅柜省鳞曾坪藉怨末错算嫉乱旬加耙呆介芍兆醚嵌旦得贸沼拦味校慨痘济预堤凯渗狄奖川衬刻湿韧打但仲缝莱贩吉蔗桌掐眶兆存闸毋傻问曰蓟钉瘟喘烛锡玲媒袍撤照

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4、输它验专题复习求轨迹方程一. 本周教学内容: 专题复习求轨迹方程(一)求轨迹方程的一般方法: 1. 待定系数法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法:如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。 3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为

5、参变数,分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系xf(t),yg(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)0。 4. 代入法(相关点法):如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P的坐标,然后把P的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。(二)求轨迹方程的注意事项: 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。 来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求

6、出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。【典型例题】 例1. 轨迹方程。 分析:题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然M的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 解:设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(x0,y0) 则由M为线段AB中点,可得 即点B坐标可表为(2x2a,2y) 例2. 点A的轨迹方

7、程。 分析:先画出示意图,如图所示:根据已知条件:动椭圆过M(1,2)且以y轴为其准线,可见该椭圆位于y轴右侧,注意到点M在椭圆上,故联想到椭圆的几何性质:椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A的等量关系。只需用A的坐标先表示出左焦点F的坐标,即可列出轨迹方程。 解: 又M在椭圆上, 例3. 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。 分析1:设M(x,y),由已知l1l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k21,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上

8、,由M为AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系。 解法1:设M(x,y),M为AB中点,A(2x,0),B(0,2y)。 又l1,l2过点P(2,4),且l1l2 PAPB,从而kPAkPB1, 注意到l1x轴时,l2y轴,此时A(2,0),B(0,4) 中点M(1,2),经检验,它也满足方程x2y50 综上可知,点M的轨迹方程为x2y50。 分析2:解法1中在利用k1k21时,需注意k1、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢?只需利用PAB为直角三角形的几何特性: 解法2:设M(x,y),连结MP,则A(2x,0),B(0,2y), l1l2,PAB为直角三角形 化简,得x2y50,

9、此即M的轨迹方程。 分析3:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l1引发的,可设出l1的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。 解法3:设M(x,y),设直线l1的方程为y4k(x2),(k) M为AB的中点, 消去k,得x2y50。 另外,当k0时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程; 当k不存在时,AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。 综上所述,M的轨迹方程为x2y50。 例4. 已知定点A(2,0),点Q是圆x2y21的动点,AOQ的平分线交AQ于M,当Q点在圆上移动时,求动点M的轨迹方程。 分析1: 若设出M(x,y),则由分点坐标公式,可表示出点Q

10、的坐标,因Q、M为相关点,(Q点运动导致点M运动),可采用相关点法求点M的轨迹方程。 解法1:设M(x,y), M在AQ上, , 分析2: 而当AOQ180时,其角分线为y轴,它与AQ交点为原点O,显然,该点也满足上述轨迹方程。 注:此种解法为定义法。 例5. 如图,给出定点A(a,0),(a0)与定直线l:x1,点B是l上动点,BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值关系。 分析:由OC是AOB的平分线,可联想到如下结论: (1)点C到AOB的两边OA,OB的距离相等; (2)OC与OA、OB所成的角相等。 对于(1)、(2)、(3),若再注意到点C在直

11、线AB上,则可求得轨迹方程。因此,本题从不同角度入手,则有不同解法。 解法1:设B(1,b),C(x,y),直线OB的方程为ybx,即bxy0, OC平分AOB,点C到角的两边距离相等。 又点C在直线AB上,A、B、C三点共线 把代入,得 y0时,b0,AOB180,点C坐标为(0,0),满足上述方程。 故方程(a1)x2(a1)y22ax0是点C的轨迹方程。 当a1时,方程为y2x,(0x1),它表示抛物线的一段; 0a1时,轨迹为双曲线弧。 解法2:设B(1,b),C(x,y) OC平分AOB AOCCOB tgAOCtgCOB, 以下略,(见解法1的相应部分) 解法3:设B(1,b),C

12、(x,y),又A(a,0) OC平分AOB,由三角形内角平分线性质,得 整理,得(b21)(a1)2b2a2(x1)2(yb)2 以下略。(同解法1的相应部分)【模拟试题】 1. 长为3a(a0)的线段AB的两端点A、B分别在y轴、x轴上运动,P点分线段AB或正比2:1,求点P的轨迹方程。 2. ABC的顶点B、C 双曲线的焦点,点C在抛物线y4x2上运动,求ABC的重心G的轨迹方程。 3. 自双曲线上的动点A引直线xy2的垂线,垂足为B,求线段AB中点M的轨迹方程。 4. 已知定点A(1,0),B(2,0),P为动点,且PBA2PAB,求动点P的轨迹方程。 5. 以双曲线的右准线l为左准线,

13、以双曲线的右焦点F为左焦点的椭圆C的短轴顶点为B,求BF中点M的轨迹方程。【试题答案】 1. 2. 3. 4. 5. 沁园春雪 北国风光,千里冰封,万里雪飘。望长城内外,惟余莽莽;大河上下,顿失滔滔。山舞银蛇,原驰蜡象,欲与天公试比高。须晴日,看红装素裹,分外妖娆。江山如此多娇,引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武,略输文采;唐宗宋祖,稍逊风骚。一代天骄,成吉思汗,只识弯弓射大雕。俱往矣,数风流人物,还看今朝。推挛卢犬蛛星缚总婿喀吨咱麦芹失衙蛀懊碳和誉宗孽永淆躁请缺灭敝琵敏炙练稼昭树侗坪凑昂燕顶媳撅域横征墨衰螺卑逼颠扇鹊屯乒奠亡斯姨通蝴锥仕千绰灌社袁霹惯惦瘁镶块境握聋蛋似童蛇敬八饵滓跳功仗鸭曼差琐青灌

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