高三数学圆锥曲线方程复习题.doc

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第八章　圆锥曲线方程综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 (　　)
A．－　　　 B．－4　　　 C．4　　　 D.
答案：A
命题意图：主要考查双曲线的标准形式及相关的概念，考查学生转化及计算的能力．
解析：双曲线方程化为标准形式：y2－＝1则有：a2＝1，b2＝－，
∴2a＝2,2b＝2，∴2×2＝2，∴m＝－.
总结评述：双曲线作为圆锥曲线的一种，其几何性质常作为高考命题的热点问题，但难度一般不大，掌握其实轴、虚轴、焦距之间的关系和准线、渐近线方程是解决双曲线问题的突破口．
2．下列双曲线中，以y＝±x为渐近线的是 (　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
答案：A
解析：由y＝±x得±＝0，因此以±＝0为渐近线的双曲线为－＝m(m≠0)
当m＝4时，方程为－＝1，故选A.
3．抛物线y2＝4x，经过点P(3，m)，则点P到抛物线焦点的距离等于 (　　)
A. B．4 C. D．3
答案：B
解析：y2＝4x的准线方程为x＝－1，则点P到它的距离为3＋1＝4，故选B.
4．(2009·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测)从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为 (　　)
A．5 B. C．20 D．10
答案：D
解析：由题意，设P(，y0)，则|PF|＝|PM|＝＋1＝5，所以y0＝±4，S△MPF＝|PM||y0|＝10.
5．(2009·郑州二模)设向量i、j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝(x＋1)i＋yj，b＝(x－1)i＋yj，且|a|－|b|＝1，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是 (　　)
A.－＝1(y≥0) B.－＝1(x≥0)
C.－＝1(y≥0) D.－＝1(x≥0)
答案：B
解析：a＝(x＋1)i＋yj，b＝(x－1)i＋yj，|a|－|b|＝－＝1，满足上述条件的点P(x，y)的轨迹是以(－1,0)和(1,0)为焦点的双曲线的右支，方程是－＝1(x≥0)，故选B.
6．(2009·全国Ⅱ，8)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝
(　　)
A. B．2 C．3 D．6
答案：A
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝＝，∴r＝.故选A.
7．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于 (　　)
A．－3 B．－ C．－或－3 D．±
答案：B
解析：由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1,0)．
直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.
代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，
即3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1·x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，
·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.
8．(2009·浙江，9)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若＝，则双曲线的离心率是 (　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B(，)，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C(，)，A(a,0)，＝(－，)，＝(，－)，∵＝，
∴＝，b＝2a，
∴c2－a2＝4a2，∴e2＝＝5，
∴e＝，故选C.
9．(2009·广州调研)已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案：D
解析：如图，设过A的直线方程为y＝kx－1，与抛物线方程联立得x2－kx＋＝0，Δ＝k2－2＝0，k＝±2，求得过A的抛物线的切线与y＝3的交点为(±，3)，则当过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)，故选D.
10．(2010·辽宁育才中学模拟)已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 (　　)
A．3 B．2 C．2 D．4
答案：C
解析：设椭圆长轴长为2a(且a>2)，则椭圆方程为＋＝1.
由，
得(4a2－12)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0.
∵直线与椭圆只有一个交点，∴Δ＝0，
即192(a2－4)2－16(a2－3)×(16－a2)×(a2－4)＝0.
解得a＝0(舍去)，a＝2(舍去)，a＝.
∴长轴长2a＝2.
11．已知点F1(－，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|－
|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是 (　　)
A. B. C. D．2
答案：A
解析：由已知得a＝1，c＝，b＝1，
点P的轨迹为双曲线x2－y2＝1，
将y＝代入，得x2＝，
∴|OP|＝＝＝.故选A.
12．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 (　　)
A．5　　　　 B．4　　　　 C.　　　　 D.
答案：C
解析：如下图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，

过焦点F作直线x＋2y＋10＝0的垂线，此时d1＋d2最小，
∵F(1,0)，则d1＋d2＝＝，选C.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)
13．(2009·宁夏、海南，13)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
答案：y＝x
解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，∴＝1，抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y＝4x1①，y＝4x2②，①－②得y－y＝4(x1－x2)，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴＝1，∴直线l的斜率为1，且过点(2,2)，∴直线方程为y－2＝x－2，即y＝x.
14．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则实数p＝__________.
答案：p＝4
解析：抛物线的焦点F为(，0)，
双曲线－y2＝1的右焦点F2(2,0)，
由已知得＝2，∴p＝4.
15．下图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水位下降1m后，水面宽为________．

答案：2m
解析：如图建立直角坐标系，

将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2
∴x2＝－2y，代入B(x0，－3)得x0＝
故水面宽为2m.
16．(2010·黄冈高三2月份调研)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道＋为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：________________________________________________，当椭圆方程为＋＝1时，＋＝______________________________________________.
答案：过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则＋为定值　
解析：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，则＋＝为定值．当椭圆方程为＋＝1时，＋＝.
总结评述：可以先猜测在抛物线中成立的命题在椭圆里面也成立．再计算在这个具体的椭圆里面，所求的定值．对于解析中关于椭圆的一个恒等式：“＋＝”是一个经常用到的式子，在以后的学习过程中希望大家多总结．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
17．(本小题满分10分)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线y＝x＋1与椭圆交于P、N两点，求|PN|.
解析：(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵b＝1，又设右焦点F为(c,0)，
则＝3，解得c＝，∴a＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设直线与椭圆的交点为P(x1，y1)、N(x2，y2)，
则
解方程组得解
∴直线与椭圆的交点为P(0,1)，N(－，0)．
∴|PN|＝＝2.
18．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2x，定点A的坐标为(，0)．
(1)求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)设B(a,0)，求抛物线上的点到点B的距离的最小值d.
解析：(1)设P(x，y)为抛物线上任一点，|PA|2＝2＋y2＝2＋2x＝2＋，∵x∈[0，＋∞)，∴x＝0时，|PA|min＝，此时P(0,0)．
(2)|PB|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋2a－1(x≥0)．①当a－1≥0，即a≥1时，在x＝a－1时，|PB|＝2a－1；②当a－1<0，即a<1时，在x＝0时，|PB|＝a2，故d＝
19．(本小题满分12分)已知双曲线－＝1的离心率e＞1＋，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？
解析：设在左支上存在P点，使|PF1|2＝|PF2|·d，由双曲线的第二定义知
＝＝e，即|PF2|＝e|PF1 |①
再由双曲线的第一定义，得|PF2|－|PF1|＝2a .②
由①②，解得|PF1|＝，|PF2|＝，
∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
∴＋≥2c. ③
利用e＝，由③得e2－2e－1≤0，
解得1－≤e≤1＋.
∵e＞1，
∴1＜e≤1＋与已知e＞1＋矛盾．
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．
20．(2009·武汉市高三年级2月调研考试)(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x＋y－＝0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|＝2，且∠AOB＝.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足·＝0，求|MN|的最小值．
解析：(1)依题意，设直线l：x＋y＝与椭圆Γ：＋＝1交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由∠AOB＝，知x1x2＋y1y2＝0，而x1＝(1－y1)，x2＝(1－y2)，代入上式得到：
4y1y2－3(y1＋y2)＋3＝0 ①
由|AB|＝2知：
2|y1－y2|＝2，即|y1－y2|＝1，
不妨设y1＞y2，则y2＝y1＋1， ②
将②式代入①式求得：或，
∴A(，)，B(－，)或A(，0)，B(0,1)，
又A(，)，B(－，)不合题意，舍去．
∴A(，0)，B(0,1)，
故所求椭圆Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知M、N是椭圆＋y2＝1上的两点，且OM⊥ON，
故设M(r1cosθ，r1sinθ)，N(－r2sinθ，r2cosθ)，
于是r(＋sin2θ)＝1，r(＋cos2θ)＝1，
又(r＋r)(＋)＝2＋＋≥4，
从而|MN|2·≥4，即|MN|≥，
故所求|MN|的最小值为.
21．(2009·石家庄市高中毕业班复习数学质量检测)(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞)的离心率为，双曲线C与该椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点(0，)为圆心，1为半径的圆相切．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线y＝mx＋1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过点M(－2,0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．
解析：(1)设双曲线C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，c＞0.
由已知＝＝，
得a＝2，c＝，
设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，
依题意，＝1，解得k＝±1.
∴双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x.
故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a1，则2a＝c2＝2，得a＝1.
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
(2)由得(1－m2)x2－2mx－2＝0，
∴直线与双曲线C的左支交于A、B两点，
∴解得1＜m＜.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝m(x1＋x2)＋2＝，
由中点坐标公式得AB的中点为(，)，
∴直线l的方程为x＝(－2m2＋m＋2)y－2，
令x＝0，得(－2m2＋m＋2)b＝2，
∵m∈(1，)，b的值存在，∴－2m2＋m＋2≠0，
∴b＝＝
而－2(m－)2＋∈(－2＋，0)∪(0,1)，
∴故b的取值范围是(－∞，－2－)∪(2，＋∞)．

22．(2010·唐山市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知直线kx－y＋1＝0与双曲线－y2＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求k的取值范围；
(2)若x轴上的点M(3,0)到A、B两点的距离相等，求k的值．
解析：(1)由得(1－2k2)x2－4kx－4＝0.
∴
解得：－1<k<1且k≠±.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝
设P为AB中点，则P(，＋1)，即P(，)，
∵M(3,0)到A、B两点的距离相等，
∴MP⊥AB，∴KMP·KAB＝－1，
即k·＝－1，解得k＝，或k＝－1(舍去)．
∴k＝.

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