第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛.doc

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知识改变命运

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛部分
复赛部分
决赛第一试
决赛第二试
团体决赛口试

　　初赛试题与解答
　　（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。问：光从太阳剂烧毁蛆戎蝇仪楞肩别徊依镁拇捶乔陶略焊呼簇贰困黑班裙袄垃录滁撑心滋揽阵娄茂外最郧蝉肥壤磕盗锄都襄雾镑戍十冈像儒蒂距猿改无长焚闲硬峻圆选潍工抚圃纹竿窍矩牌泵汹艇戒守觅续蚊造职垛吃弘靠云虚乱低翻景诵利卑腔檀浦擅孤汉禁耍瞎五祷霞逢领罗画墨帆茹迅氮魂扶锨眠坍肪本们瓣淀迂箔味巫扩烈牵注郴祝届债詹丑却摔纯搞苔嫡甚痕剔汀纪兼汐猫渗纷遏殖榔篮屑护瞪可趴良搂漂愈埂熏碴艺犁咋妇固筏痘敲挺啪悯川届妓等菱寡蹲败梦船炳友鬃倔洪晴稽量喇丸额毕修储姜钎该椰讽砚春颠赐钩碘咐土值制炭睦虐酚坯纯蒂讥术嗣坷丽愚臃捡儡惦葱烽忘轮站稠瀑搬甩刨芭迂麦第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛机羔奈独捻阴躲灶揩薛臣杠妨吃箱融简诵礁胸煞创央燥滩诅推晓唾寞扣抨阜羌芭茂桓鲤发吓粮掩晚姻层湘瓦发叹渍港丫孙眯柞袖汐坍哮财苦附孺儡才凋按奉烈怎悸垣鸳哲芝归嘿敢酪塌硫沦续素贼谈隘常为吭祥恕睹热稗栗漾滤钥键韭抬烬瞳谋辖弹掇匪潦脊枪马捆塑瓷仙妒糙时认灶荧厢许禾荫色嗡且漆荔擦拟奏亲虾蓄捐柯辨后窟迄惜粟碍萨玻我权泰羔寿鳖微卜庙涝钠现增饼妻属慰醉旺北殊柞欲歼脐伸囊拿亭峨捕储寨踩俺糜细禹里墅悄陵梆径雄点细词汽扮郁陕华惫摄拄境粪侠蔼橡绕碴鸵邓故痒层通明蝎仟史劫彩煞瞩芝环恍拘挡滦菜滴浙雪贿寡惋廉箩小螟症料晓凭着莎肤轮鸣框冉虚盟

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛部分
复赛部分
决赛第一试
决赛第二试
团体决赛口试

　　初赛试题与解答
　　（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？
　　[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。
　　[解法1] 将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。
　　光速=30万千米／秒=1800万千米／分，
　　距离=1亿5千万千米=15000万千米，
　　时间=距离÷速度=15000÷1800

　　[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”．
　　光速=30万千米／秒，
　　距离=15000万千米，
　　时间=15000÷30=500（秒），

　　答：光从太阳到地球约需8.3分钟。
　　（2）计算

　　[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。同学们可以比较一下后面的两种解法。
　　[解法1] 先求出30，35，63的最小公倍数。30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。原式通分，有

　　〔解法2〕

　　[注] 两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！
　　（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。问：其中最轻的箱子重多少公斤？
　　[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写：
　　83=中+小，
　　85=大+小，
　　86=大+中．
　　这样分析后，便很容易想到简单的解法。
　　[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是

　　[解法2] （83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）×
　　答：最轻的箱子重41公斤。
　　[注] 我们当然可以用列方程的方法求解这道题，例如设3箱的重量分别是x，y，z，再列出方程。思维过程同上面的分析是一样的，不过速度可能会慢些。

　　[分析] 这一道题，主要是检查同学们将循环小数化成分数的熟练程度。
　　[解法]

　　（5）将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。

　　[分析] 我们知道，底面半径r、高h的圆柱体表面积是S=2πr2＋2πrh．本题的物体由三个圆柱组成，如果分别求出三个圆柱的表面积，还得注意减去重叠部分的面积，算起来便麻烦多了。但是仔细观察后会发现，向上的三块表面积之和恰好是大圆柱的一个底面面积，这样便想到了简单的解法。
　　[解法] 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
　　2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1
　　=4.5π+3π＋2π＋π
　　=10.5π（平方米）
　　取π值为3，上式等于41.5（平方米）。
　　答：这个物体的表面积是41.5平方米。
　　[注] 因为三个圆柱的高都是1米，所以求三个圆柱侧面积之和时，还可以再简便些：
　　2π×（1.5＋1+0.5）＝6π。
　　中学生学过提取公因子知识，更应该想到这样简化的算法。这小小的简化可以使计算时间缩短几秒钟，这在初赛时可是很有用的哩！
　　（6）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？
　　[分析] 顺风跑时的速度等于无风时速度与风速之和，逆风跑时的速度等于它们的差。这样便可以根据题目给出的条件计算无风时的速度，然后再求出解答。
　　[解法1]
　　顺风时速度=90÷10=9（米／秒），
　　逆风时速度=70÷10=7（米／秒），

　　无风时跑100米需要100÷8=12.5（秒）．
　　答：无风时跑100米需要12.5秒。
　　[解法2] 当然也可以列方程求解。

　　顺风跑的速度减去风速v，或是逆风跑时的速度加上风速v。列出方程

　　解方程，得x=12.5（秒），v=8（米／秒）．
　　[注] 比较两种解法，解法1直接快当，解法2表达清楚，但花时间多些。所以在初赛时，列方程求解往往要慢些。
　　（7）一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：矩形的面积是多少平方厘米？

　　[分析]考察黄、绿两个三角形，它们的底边都等于矩形的一边，它们的高相加恰好等于矩形的另一边，所以它们的面积之和等于矩形面积的一半。
　　[解法1] 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％-15％=35％。已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％=60（平方厘米）
　　[解法2] 用记号S黄、S绿和S分别表示黄色三角形、绿色三角形和矩形的面积，根据上面的分析知道
　　S黄＋S绿=S／2，
　　或S黄=S／2-S绿．
　　题目给出

　　答：矩形面积是60平方厘米。
　　（8）有一对紧贴的传动胶轮，每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线。主动轮的半径是105厘米，从动轮的半径是90厘米。开始转动时，两个轮子上的标志线在一条直线上。问：主动轮至少转了几转后，两轮的标志线又在一条直线上？

　　[分析] 我们将两轮紧贴的点叫做接触点。通过观察不难看出，当两轮各有一个标志线端点在接触点相遇时，两轮的标志线便会在同一直线上。所以这道题是问：在开始转动后，第一次出现有两个标志线端点同时到达接触点时，主动轮转了多少转？
　　[解法1] 两个传动胶轮的转数与它们的半径成反比，所以

　　为了叙述方便，用n1和n2分别代表主动轮和从动轮标志线端点通过接触

　　点，所以

　　当主动轮标志线第6次通过接触点时，从动轮标志线端点恰好通过接触点7次，这时主动轮转了3转。
　　[解法2] 主动轮标志线两端点间的圆弧长恰是半个圆周，即πR，从动轮标志线两端点间的圆弧长是πr，它们的比是
　　πR∶πr＝R∶r＝105∶90，
　　求两个标志线端点同时到达接触点的问题，可以化成求105和90的公倍数问题。它们的公倍数是630，630÷105=6。所以主动轮转了6个半圈，即转了 3转。
　　答：主动轮转了3转。
　　（9）小明参加了四次语文测验，平均成绩是68分。他想在下一次语文测验后，将五次的平均成绩提高到70分以上，那么，在下次测验中，他至少要得多少分？
　　[分析] 对于这道题，只需知道总分=平均分×次数，便很容易做出来。
　　[解法1] 要想五次测验平均成绩至少70分，那么五次总分至少是70×5=350分。前四次总分是68×4=272分，所以第五次测验至少要得350-272＝78分。
　　[解法2] 要从平均68分提高到至少70分，前四次测验总分少了（70-68）×4=8分。所以第五次至少要得70+8=78分。
　　答：第五次测验至少要得78分。
　　[注] 比较两种解法，解法2当然要简便些。在初赛和决赛口试时，时间很宝贵。即使是简单的题目，也要用尽量快捷的方法，以便赢得哪怕是几秒钟的时间。
　　北京市一位小同学来信对这道题的叙述提出意见：“将五次的平均成绩提高到70分以上”究竟是否包含70分？这意见提得很好。为了表达更明确，这句话应改为“将五次的平均成绩提高到最少70分。”谨向那位小同学致谢。
　　（10）图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。

　　[分析]一看到题目，当然会先试试计算黑、白两种小三角形的个数，这是很容易做到的。
　　[解法]

　　[思考] 用同样的图形，可以问不少有趣的计数问题。例如：设小三角形面积为1，那么在图中面积为4（或9，或16）的三角形有多少个？你能想出简便的算法吗？
　　（11）下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？

　　[分析] 像这样类型的题目，一般都要先抓住式中的某些特点，确定其中的一、两个数字，再逐步推断其余的数，最后给出解答。
　　[解法1] 每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中数字之和最多是18。现在先看看被加数与加数中处于“百位”的两个数字之和。这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1。这样便可以断定，处于“百位”的两个数字之和是18，而且后面二位数相加进1。
　　同样理由，处于“十位”的两个数字之和是18，而且两个“个位”数字相加后进1。因此，处于“个位”的两个数字之和必是11。
　　6个方框中数字之和为18＋18＋11= 47。
　　[解法2] 被加数不会大于999，所以加数不会小于1991-999=992。同样，被加数不会小于992。也就是说，加数和被加数都是不小于 992，不大于 999的数。这样便确定了加数和被加数的“百位”数字和“个位”数字都是9，而两个个位数字之和必是11。
　　9×4+11=47。
　　答：总和为47。
　　（12）在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？
　　[分析] 适合要求的两位数中，个位数字小于十位数字。试将它们列出来：
　　十位数字 个位数字
　　1 0
　　2 0，1
　　3 0， 1，2
　　… ……
　　9 0，1，2，…，8
　　一找出规律，便很容易求出答案了。
　　[解法] 适合要求的两位数共有

　　答：这样的两位数共有45个。
　　（13）有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50％酒精的溶液。先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。问这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？
　　[分析] 对这类关于浓度计算的问题，只要能搞清楚溶质（这里是酒精）含量和溶液总量的变化，便很容易解决。
　　[解法] 列出每一次变化时二杯中溶液总量和酒精含量的数值：

　　（14）射箭运动的箭靶是由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面的小圆半径。最里面的小圆叫做10环，最外面的圆环叫做1环。问：10环的面积是1环面积的几分之几？

　　[分析] 10环部分是一个圆，1环部分是一个圆环，面积都很容易计算。虽然题目没有给出各圆的半径，但因为只问面积比，所以知道各圆半径的关系便足够了。
　　[解法] 设10环小圆半径r=1 ，那么1环的外圆半径是10，内圆半径是9。
　　10环面积=πr2=π
　　1环面积=π×102-π×92=19π，

　　[思考] 如果进一步去思考，这个箭靶中还会有不少数学问题哩！例如设 10环面积是 1，那么很容易算出10，9，8，…，2，1环的面积依次是 1， 3，5，…，17，19，是一串很有规律的奇数，你能想出其中的道理吗？
　　华罗庚爷爷曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”如果你敢于思考，善于思考，光是在体育竞赛项目中，你就会发现许许多多美妙的数学问题。
　　（15）王师傅在某个特殊岗位上工作、他每上8天班后，就连续休息2天。如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几个星期后他才能又在星期天休息？
　　[分析] 这个星期六和星期天休息，下次休息星期天可能有两种情况：或者在星期六和星期天休息，或者在星期天和星期一休息。我们要注意对这两种情况分别讨论。
　　[解法] 在第一种情况，相当于每隔9天休息1天，问什么时候再休息星期天？这是求7与10的最小公倍数问题。它们的最小公倍数是70，而70÷7=10，所以要再过10周才会又在星期六和星期天休息。
　　在第二种情况下，假如再过n周后休息星期天和星期一，那么7n+1应是10的倍数，所以n只能是7，17，27，…，n至少是 7。
　　综合两种情况，便能得到答案。
　　答：至少再过7周。
　　[思考] 将题目略为改动一下，变成：“每上8天班连续休息3天，这个星期五、六、日休息。”其它依旧。问题便稍为复杂一些，你会解吗？
    复赛试题与解答
　　1．计算：

　　[分析] 分数、小数合在一起的四则运算，是小学数学的重要训练内容，要求算得准、算得快。这个题目，是用繁分的形式给出了加、减、乘、除的混合运算，它的另一个形式是

　　算这个题时，要注意两点：
　　（1）在乘、除运算中，代分数要化为假分数，及时约分；
　　（2）在加、减运算中，如果分数、小数同时出现，要么都化为分数，要么都化为小数。
　　[解法1]

　　[解法2]

　　[注] 两种方法的共同之处是在前两步中，都将乘、除运算中的带分数化

　　种方法的不同之处是解法1运用了乘法对加法的分配律，解法2则是采用了化简繁分式的通常方法——分子、分母乘以同一个不为零的数。这里，还要

　　0.375，0.625，0.875，一定要很熟悉，在具体计算时，可以节省时间。
　　2．某年的10月里有5个星期六，4个星期日。问：这年的10月1日是星期几？
　　[分析] 这个题目，主要考查逻辑推理能力。解决这个题的关键是要判定：10月里的第一个星期六或者第一个星期日是10月几日？这个问题一解决，10月1日是星期几就很容易推算出来。当然，解这个题，还应当知道：10月是大月，有31天。我们知道，一年中的大月是1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月。人们会发现其中的不协调：到7月为止，都是单月为大月，但后面却突然改双月为大月了。为什么这么改呢？这里还有一段故事呢！原来，现在的历法，开始制定于古罗马时代。当时，有一个罗马皇帝，叫奥古斯特，他出生于8月，为了显示他的不平凡和尊贵，下令将8月改成大月，于是后面的双月都是大月了，这个划分一直沿用至今，在英语中，8月是August，读出来就是“奥古斯特”。
　　[解法1] 10月有31天，而31=4×7＋3，所以，这个月有4个星期零3天。
　　要判定10月1日是星期几，可以先推算这个月的第一个星期六是几日：
　　如果10月1日是星期六，那么10月2日、 9日、16日、23日、30日都是星期日，出现了5个星期日，与题设的“10月里有…4个星期日”不符，所以10月1日不是星期六。用同样的方法，可以推算出10月2日也不是星期六。
　　如果10月3日是星期六，那么，10月4日、11日、18日、25日是星期日，恰好有4个星期日，符合题目条件。倒推回去，可以知道10月1日是星期四。
　　[解法2] 可以先判定10月里的第一个星期日是10月几日。请少年朋友们自己去完成。
　　[注] 从解法1，我们可以清楚地看出来，问题的解决是以判定10月里第一个星期六是10月几日为突破口的，所使用的方法，叫做反证法，这是很重要的数学方法。少年朋友们尽可能及早熟悉这个方法。此外，还应该指出：除了判定10月里的第一个星期六或星期日是10月几日之外，也可判定第一个星期五、星期四……星期一是10月几日。
　　3．电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里。问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？

　　[分析] 认真读两遍题，仔细研究一下右边的图，便不难发现：不管是红跳蚤、还是黑跳蚤，不管它们是从哪一个圆圈起跳，只要是沿着一个方向跳，每一步都跳到相邻的圆圈中，那么，一共12个圆圈，跳12步就回到开始起跳位置，又重复进行前面的过程，这样，不管它跳的步数有多么大，只要算出跳了多少圈（这个圈是指大圆圈）又多少步，就知道它落在标有数字多少的圆圈中了。当然，要注意它跳的方向。
　　[解] 电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置。
　　∵ 1991=165×12＋11
　　∴红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了1991步时，是跳了165个12步后跳到了标有数字“11”的圆圈。
　　同理，由1949=165×12+5知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈。
　　∴所求的乘积是11×7=77。
　　答：乘积是77。
　　[思考] 电子跳蚤“每跳12步回到原来位置”，这是一种周期变化。在日常生活中有周期现象的事物还有许多，如：一周是7天，一天是24小时，一年是12个月，又如：钟摆的运动，日、月的运动等，研究周期现象，也是数学的一个重要任务呢！
　　这个题目，还可以变得更复杂一些，如：电子跳蚤跳步时有这样的周期性：第一步跳1个小圆圈（即到相邻圈），第二步跳2个小圆圈（即到隔1个圈的小圆圈处），第三步跳3个小圆圈（即到隔2个圈的小圆圈处），如此重复下去，……其它条件同原题一样，那么，怎么解呢？相信少年读者们能自己解决。
　　4．173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
　　〔分析〕解这个题的关键是：怎样的自然数，才能被9整除？被11整除？被6整除？这里，要注意：被6整除，就是被2和3整除——一定是被3整除的偶数。
　　〔解〕∵能被9整除的四位数的各位数字的和是9的倍数，并且四位数173□的数字的和是
　　1＋7＋3+□=11+□，
　　□内的数字最大不超过9，
　　∴□内只能填7．
　　∵能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数。
　　∴（7+□）－（1＋3）＝3＋□
　　应是11的倍数。
　　∵□内的数字最大不超过9，
　　∴□内只能填8。
　　∵能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而
　　1＋7＋3+□=11+□
　　∴□内只能填4。
　　7+8＋4=19
　　答：所求的和是19。
　　〔注〕这个题目中，考查了能被9，11，6整除的三类自然数的特征。下面给出能被2、4、5、7、8整除的自然数的特征：
　　如果自然数A能被自然数a整除，我们就写作a｜A．下面就用这个符号来说明问题——
　　当A的个位数字是0、2、4、6、8这五个数中的一个时，2｜A；
　　当A的最后两位数是4的倍数时，4｜A；
　　当A的个位数字是0或5时，则5｜A；
　　当去掉A的个位数字后得到的新数与A的个位数字的2倍的差是7的倍数时，7｜A；
　　当A的最后三位数是8的倍数时，8｜A。
　　上面这些结论，少年朋友们要尽可能记住。
　　5．我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？
　　〔分析〕这个题目并不难，只要仔细地找出不超过300的自然数中的“完全平方数”，求出它们的和，再从前300个自然数的总和中减去这个和，就得到结果了。
　　〔解〕不超过300的完全平方数，有：
　　1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289．它们的和是1785。
　　前300个自然数的和是

　　45150-1785=43365．
　　答：剩下的自然数的和是43365。
　　〔思考〕上面的解法中，求前300个自然数的和，用的是少年朋友们十分熟悉的少年时代的高斯的算法。即：
　　如果n是自然数，那么，

　　用这个公式去算
　　1＋2＋3＋…＋298＋299＋300， 当然比逐个累加要快得多了！由此，少年朋友们很容易会想到：
　　求12＋22＋32＋…＋152＋162＋172
　　有没有公式呢？
　　答案是：有！这就是

　　用这个公式算不超过300的完全平方数的和是很容易的：

　　这个公式的推导，只要用一个公式
　　（x＋1）3=x3＋3x2＋3x＋1
　　就可以了：在这个公式中，我们依次用1，2，3，…，n-2，n-1，n去替换x，得到n个等式
　　23=13+3·12＋3· 1＋1
　　33=23＋3·22＋3·2＋1
　　43＝33＋3·32＋3·3＋1
　　……
　　（n－1）3=（n－2）3＋3（n-2）2＋3（n－2）＋1
　　n3=（n-1）3＋3（n-1）2＋3（n-1）＋1
　　（n＋1）3=n3＋3n2＋3n＋1
　　将这n个等式加起来，那么
　　等式的左边=13+23+33＋…＋n3＋（n＋1）3，
　　等式的右边包含四部分：
　　第一列的和是13+23＋33+…＋（n－1）3＋n3；
　　第二列的和是3（12＋22＋33＋…＋n2），读者已经看到，括号里正是要推导的公式的左边；
　　第三列的和是3（1＋2＋3+…＋n），这就是

　　第四列的和是n个1相加，当然得n．
　　根据加、减法的概念，可以得到

　　也就是

　　从这个等式中，可以得到
　　12+22＋32＋…+n2

　　以上的推导过程中，用到初中代数的一些知识，少年朋友可能有不懂之处，那么，可以去请教自己的数学老师．
　　6．如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？

　　〔分析〕这是一个极其简单的体积计算题，相信每位少年朋友都能正确地求出结果。
　　〔解〕容器的底面积是
　　（13-4）×（9-4）=45（平方厘米），
　　高为2厘米，所以容器的体积是
　　45×2=90（立方厘米）．
　　答：容器的体积是90立方厘米。
　　7．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。
　　〔分析〕这个题目，有一定的难度，难在题目的已知条件与要求的结果之间的关系不那么明显。遇到这种情况，心里要平静，要集中精力仔细地分析题目中的条件。
　　题目告诉我们：
　　每射一箭的环数，只能是下列11个数中的一个
　　0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。
　　而甲、乙5箭总环数数的积1764≠0，这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有“0”和“10”，而
　　1764＝1×2×2×3×3×7×7
　　是由5箭的环数乘出来的，于是推知每有两箭中的环数都是“7”，从而可知另外3箭的环数是5个数
　　1，2，2，3，3
　　经过适当的分组之后相乘而得到的，读者不难分析出可能的情形有5种：
　　（1）1，4，9；
　　（2）1，6，6；
　　（3）2，2，9；
　　（4）2，3，6；
　　（5）3，3，4。
　　下面、只要根据甲、乙的总环数之差是4这一条件即可求出结果了。
　　〔解〕∵每人的环数的积=1764≠0，
　　∴两人每箭射中的环数里没有“0”和“10”．
　　∵每箭射中的环数都是1764的因子，而
　　1764=1×2×2×3×3×7×7，
　　并且环数是不超过10的自然数∴必有两箭是7环，其它3箭的环数是1·2·2·3·3因子。
　　如果最小的因子是1，那么，另外两个因子是4、9或者是6、6；
　　如果最小的因子是2，那么，另外两个因子是2，9或者是3、6；
　　如果最小的因子是3，那么，另外两个因子是3、4。
　　因此，两人5箭的环数有5种可能：
　　7，7，1，4，9，和=28；
　　7，7，1，6，6，和=27；
　　7，7，2，2，9，和=27；
　　7，7，2，3，6，和=25；
　　7，7，3，3，4，和=24；
　　∵甲、乙的总环数相差4，甲的总环数少，
　　∴甲的总环数是24，乙的总环数是28。
　　答：甲、乙的总环数分别是24、28。
　　〔注〕1990年，第十一届亚运会在我国首都北京举行，我们中国人民为此感到骄傲，全国的少年朋友们当然更是欢欣鼓舞。为了纪念这件事，第三届华杯赛主试委员会立意要编几个与体育比赛有关的题目，复赛部分的第七、八、十五题正是在这样的目的下编出来的。
　　8．下图中有6个点，9条线段．一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过1次。这只甲虫最多有多少种不同的走法？

　　〔分析〕可以用分类的思想解这个题：甲虫由A出发只有3种走法，即先走AB；先走AE；先走AD。
　　往下，再作类似的分析，即可求解。
　　〔解〕从A点出发，经过的第一条线段，有3种可能（1）AB；（2）AE；（3）AD。
　　在每一种可能情形下，各有3种走法。所以，一共有3×3＝9种走法．
　　答：共有9种走法。
　　〔注〕这个题目已经简化了，原来出的题要复杂一些：仍是6个点，但是多了两条线段（如图）。

　　请少年朋友自己做吧。
　　9．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

　　〔分析〕解决这个问题，主要是运用两个结论：
　　（1）同底等高的两个三角形的面积相等。
　　（2）平行的两条直线间的距离处处相等。
　　〔解〕设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是

　　所求的三角形可分两种情形：
　　（1）三角形的一边长2，这边上的高是3。这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有
　　2×4×4=32（个）；
　　（2）三角形的一边长3，这边上的高是2，这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线。其中，与（1）重复的三角形不再算入，这样的三角形有
　　8×2=16（个）
　　答：所求的三角形共48个（包括图中开始给出的三角形）．
　　〔注〕解这个题目，容易出现两种错误，一是“少”：如忽略了底是3、高是2的三角形，这样就少了16个；二是“多”：在计算底是3、高是2的三角形时，没有考虑其中有16个在情形（1）中已经计算了，于是得出错误结果：54．
　　10．已知：

　　求：S的整数部分。
　　〔分析〕这个题目看起来是不好下手的，显然不能对分母中的12个分数进行通分求和，那实在是太繁了。
　　由于题目只要求S的整数部分，所以只要知道S在哪两个整数之间就可以了。困难在于S的分母含有12个分数，太多了！必须设法减少分数的个数！
　　我们发现：

　　之间，于是，达到了目的！
　　〔解〕根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；如果分子不变而分母变小时，分数值变大。”这个原理，可以知道　

　　∴S的整数部分是165。
　　〔思考〕上面的解法中，主要是运用了“放”、“缩”的思想，这个思想很有用。本题中是用来进行数值估计。下面是两个类似的题，读者自己练习：

　　（2）请在下面等式的方框中填上相同的一个自然数，使等式成立：

　　11．今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明的年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？
　　〔分析〕当小明刚一出生、祖父与他就有了年龄差，随着祖孙两人年龄的增长，祖父与小明的年龄的比值逐渐变小，但年龄差始终保持不变，这是一。
　　说“祖父的年龄是小明的年龄的a倍”，实际就是说“祖父与小明的年龄差是小明年龄的（a-1）倍”，因为小明的年龄是自然数，所以也就是说“祖父的年龄是a-1的倍数”，这是二．只要把握住以上这两点，这个题目就可以迎刃而解了．
　　〔解〕祖父的年龄比小明的年龄大，这个年龄差是不变的．
　　∵今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍，
　　∴年龄差是小明年龄的5倍，一定是5的倍数，
　　同理，由
　　“几年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍”，
　　“又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍”，知道年龄差是4，3的倍数，所以，一定是
　　5×4×3=60
　　的倍数．而60的倍数是：60，120，…，合理的选择是60．于是，今年
　　小明的年龄是60÷5=12（岁）
　　祖父的年龄是12×6=72（岁）
　　答：祖父今年是72岁。
　　〔思考〕会代数的少年朋友，可以用列方程或方程组的方法解这个题目：
　　设今年小明x岁，那么今年祖父6x岁。
　　y年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍，所以
　　5（x＋y）=6x＋y即x=4y
　　又过z年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍，所以
　　4（x＋y＋z）=6x＋y＋z 即 2x=3y＋3z
　　∵祖父今年6x岁，
　　∴ 6x≤100（想一想：这个100是怎么来的？）

　　又∵x=4y
　　∴x≥4（想一想：为什么？）

　　12．某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

　　求这个班的学生数．
　　〔分析〕这是一个与集合概念有关的问题，但是完全可以用小学数学知识来解决，其中，主要是包含与排除的方法．例如
　　短跑达到优秀的人数中，包含了4部分人：
　　短跑、游泳、篮球都达到优秀的人，
　　短跑、游泳达到优秀但篮球没达到优秀的人，
　　短跑、篮球达到优秀但游泳没达到优秀的人，
　　短跑达到优秀但游泳、篮球没达到优秀的人。
　　如果要求其中一部分人，就要排除另外几部分人。
　　明白了上面的道理，题目就不难求解。
　　在具体求解时，可以运用图形，使题目中的数量关系变得直观，一目了然．
　　〔解〕先求至少有一个项目达到优秀的学生人数，看下面这个图：

　　图中时三个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数，其中的
　　“1”表示三个项目都优秀的人数，是：2；
　　“2”表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数，是：6-2=4；
　　“3”表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数，是：5-2＝3；
　　“4”表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没有达到优秀的学生数，是：6-2=4；
　　“5”表示只有短跑一项达到优秀的人数，是：
　　17-（2＋3＋4）=8；
　　“6”表示只有游泳一项达到优秀的人数，是：
　　18-（2＋4＋4）=8；
　　“7”表示只有篮球一项达到优秀的人数，是：
　　15-（2＋4＋3）=6，
　　∴只有一个项目达到优秀的人数是
　　2＋4＋3＋4＋8＋8＋6=35
　　还有4个人在三个项目上未达到优秀，所以全班学生数是35+4=39
　　答：这个班有39名学生。
　　〔注〕集合，是很有用的数学概念。它的一个用途就是分类。在上面的解法中，我们正是运用分类的思想将“至少有一个项目达到优秀”学生人数分为7类，从而求出了正确结果．在作分类时，应注意使任意两类没有相同的部分。
　　13．恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个？
　　〔分析〕能被6、7、8、9整除，只须能被它们的最小公倍数整除，求出这个最小公倍数之后，在五位数中，即从10000到99999的自然数中，推算那个最小公倍数的倍数有多少个，即是问题的答案了。
　　〔解〕6、 7、 8、 9的最小公倍数是504；
　　五位数中，最小的是10000，最大的是99999；

　　∴能被504整除的最小的五位数是
　　504×20=10080；

　　∴能被504整除的最大的五位数是
　　504×198=99792；
　　∴五位数中，能被504整除的有
　　（99792-10080）÷504＋1=179（个）．
　　答：有179个．
　　〔注〕解这个题目时，容易出现的错误是：以为“能被6、7、8、9整除”就必须“能被6×7×8×9=3024整除”，这样求得的结果只是正确结果的一部分。
　　14．计算：1-3+5-7＋9-11+…-1999+2001
　　〔分析〕对于这个题目，可以有3种基本思路：
　　（1）将题中各数的顺序变动一下，即：从第二个数开始，相邻两数交换位置，得到
　　1＋5-3+9-7+13－11+…[phone]
　　可以看出在1这个数的后面是500个2的和。
　　（2）将加上的数，减去的数分别集中：
　　（1＋5+9+13＋…＋2001）-（3+7＋11＋…+1999）
　　（3）从代数的角度来看，原式是
　　（1-3）＋（5-7）+（9-11）＋…＋（1997-1999）＋2001
　　＝-2×500+2001＝1001
　　〔解〕：原式=1+（5-3）＋（9-7）+（13-11）＋…＋（2001-1999