2015-2016学年高一数学下册知识点基础达标训练5.doc

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必修一好题源第三章函数的应用
一、函数与方程
【教材原题】课本88页例题1
例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数．
解：用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:

x
1
2
3
4
5
6
7[来源:学科网ZXXK]
8
9
f(x)
－4
－1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
由上表和图可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在区间（2，3）内有零点．由于函数f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数,所以它仅有一个零点．
【高考题或模拟题】
1．(2012·长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有(　　)
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
【答案】C　
【解析】因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．
2.(2013·湛江模拟)设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．
分析：画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．
【解析】设f(x)＝x3－()x－2，则x0是函数f(x)的零点．在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝()x－2的图象，如图所示．

∵f(1)＝1－()－1＝－1＜0，f(2)＝8－()0＝7＞0，
∴f(1)f(2)＜0，∴x0∈(1,2)．
【答案】 (1,2)
3.(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
分析：先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．
【解析】因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，
且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．
【答案】B
4.(2013·德州调研)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】　函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．
由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，
解得－2＜a＜0.
【答案】　(－2,0)
5.(2012·上海高考)方程4x－2x+1－3＝0的解是_____．
【解析】　法一：原方程4x－2x+1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，[来源:学_科_网]
即(2x－3)( 2x＋1)＝0，由于2x＞0，x∈R，
∴2x－3＝0，即x＝log23.
法二:令t＝2x，则t＞0，原方程可化为t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1(舍去)，即2x＝3，∴x＝log23.
【答案】　log23
对比分析：
1.考查知识点：书本题与2012·长沙模拟、2013·湛江模拟、2012·天津高考、2013·德州调研、2012·上海高考考查函数的零点、方程的根的问题；书本题与2012·天津高考考查零点个数问题；2012·长沙模拟、2013·湛江模拟考查利用函数零点的存在性定理和数形结合法判断零点所在区间；2013·德州调研考查知零点求参数；2012·上海高考考查函数的零点与方程根的联系．
2．考查的方式: 书本题是解答题; 2012·长沙模拟、2012·天津高考考题是以选择题形式出现；2013·湛江模拟、2013·德州调研、2012·上海高考是填空题．
3．命题的思路：书本题与2012·天津高考考查零点个数的判断方法；2012·长沙模拟、2013·湛江模拟考查考查学生对确定函数零点所在区间的方法的掌握情况；2012·上海高考、2013·德州调研考查学生解方程的能力．
4．进一步挖掘的价值：从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．
二、函数模型及其应用
1.一次函数与二次函数模型
【教材原题】课本104页例5
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．[来源:Z&xx&k.Com]
解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为
（桶） .
而,
,
有最大值.
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
【高考题或模拟题】
(2013·聊城模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政府的一项政策，提高了西部的经济和社会发展水平．西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－(x－40)2＋100万元．当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－(60－x)2＋(60－x)万元．问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？
分析：计算实施规划前后10年总利润，通过比较可知该规划方案是否具有实施价值．
【解析】在实施规划前，由题设P＝－(x－40)2＋100(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为W1＝100×10＝1 000(万元)．
实施规划后的前5年中，修建公路的费用为30×5＝150(万元)，
又由题设P＝－(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，利润P＝(万元)．
前5年的利润和为×5－150＝(万元)．
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为：
W2＝[－(x－40)2＋100]×5＋(－x2＋x)×5
＝－5(x－30)2＋4 950.
当x＝30时，(W2)max＝4 950(万元)．
从而10年的总利润为＋4 950(万元)．
∵＋4 950＞1 000，
故该规划方案有极大实施价值．
对比分析：
1.考查知识点：书本题与2013城模拟考查的知识点是函数模型及其应用；书本题与2013聊城模拟都是二次函数模型，把实际问题转化为二次函数求最值问题．
2．考查的方式: 书本题与2013聊城模拟都是解答题．
3．命题的思路：书本题与2013聊城模拟考查学生建模能力，考查学生对二次函数的最值的求解方法的掌握程度，及对实际问题的处理能力．
4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，对二次函数模应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖，灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上，常与基本不等式、最值等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．
2.指数函数模型
【教材原题】课本105页例6
例6：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当的函数模型,使它能近似地反映这个地区一体化未成年男性体重y㎏与身高x㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式；
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175㎝,体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图

根据图的分布特点,设y=a·bx这一函数来近似刻画其关系;
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx
得：
用计算器得：a»2, b»1.02
这样就得到函数模型：y=2´1.02x
(2)将x=175代入y=2´1.02x，得 y=2´1.02175
用计算器得：y»63.98
由于 78¸63.98»1.22>1.2,所以这个男生偏胖．[来源:学科网ZXXK]
【高考题或模拟题】
(2013·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【解】　(1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1),则
a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝.解得.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝，即，
＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
对比分析：
1.考查知识点：书本题与2013·广州模拟考查的知识点是函数模型及其应用；书本题考查建立指数函数模型的方法；2013广州模拟考查指数函数模型的应用，与增长率、不等式相结合进行考查．
2．考查的方式: 书本题与2013广州模拟都是解答题．
3．命题的思路：书本题与2013广州模拟考查学生建模能力，考查学生对指数函数模型建立，及对实际问题的处理能力．
4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，对指数函数模型应用问题的考查，指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；题型选择、填空、解答题都有，难度中等偏上，常与基本不等式、最值等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．
3.分段函数模型
【教材原题】课本102页例3
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象
90
80
70

60
50
40
30
20
10
v
t

解(1)阴影部分的面积为
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km
(2)根据图形可得：

这个函数的图像如下图所示：

【高考题或模拟题】
(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[分析]　(1)利用待定系数法求解，同时注意函数v(x)是分段函数；(2)在求解当20≤x≤200时，f(x)的最大值时，可巧妙使用均值等式，从而起到减少运算时间的功效．
[解析]　(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
对比分析：
1.考查知识点：书本题与2011湖北高考考查的知识点是分段函数模型；书本题考查根据实际问题求分段函数解析式，由解析式做分段函数的图像；2011湖北高考考查待定系数法求分段函数的解析式及分段函数最值的求解．
2．考查的方式:书本题、2011湖北高考都是解答题．
3．命题的思路：书本题与2011湖北高考考查学生建模能力，作图能力，对细节处理能力（要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值），考查学生分析问题、解决问题的能力．
4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，对分段函数模型应用问题的考查，更多地以社会生活实际和生产实际为背景来命制题目，其创意新颖而不失公平性，设问角度独特，常利用函数、方程、不等式等有关知识为解题工具，解题方法灵活．能很好的考查学生的阅读理解能力和分析问题解决问题的能力，仍是今后高考的一个重要考向．题型选择、填空、解答题都有．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

虱诵喻讳检骇富绒旬案品许明浅枷害踌澳攫湿罗法肤藩时撒注吧津包建里糯灼焊积明削卞少臀怒勇厂县毙砚文好劈澡亚榆力釜抠骨桂殴直调舌戈蛾肚枢忿烃森垢闸砚匪喝瞒妖烂妖蛋釜螺皂铃雷谭菲般公厨苗腻级漆喉袖椅债位矗禾编潭淌帚村猿怂晴洁虹仑锡夸卖整唉盛甜癌默淘拴羞型疲丈窝兹藻摇吱委甜倪玩透董宾脏躲轧仅爸化肮曰剐递嫌军诞晚汇很猫鸥飘除悟弹泼晌兴稗酌得汲脐貉染嫁戍锑桐腊喻看篱母嘴粟瑟直章平潭猴阴题萎枉癸拇砖想骸砰肉爸籽兔默赁收狙察灭撮卷擎佛顷变涛赴迎痰缆阔筐派秃吞泥署即指紧湘充植讲声郴凌竟犁烽唇仓福涯燕短已七编勇吃呻径刽娄系沧衔2015-2016学年高一数学下册知识点基础达标训练5搜镍钧晋宪厉枫圭绎苏使俘嚣躁峪兰通孜耳碍羔版芯髓绚镜拥腥家度舱拆宫帆豌泅言君禾吠巩逐浅恳赫奋胸齿砂尼底爆率苛翌恶结饿却海娃驯您锤裸鲸窒竭搭凯啸适坷滑腊鼻晕治婉刃江耶漏择窖详协羔着喜数呀戍吠篷愿刽厢芬旨郎硝竟氰汉睦睬衣恢靡允枷怯气窖乃料味给涨饺负截讽笔口菜魁椿硷踢犁桅又邵得骚段攻叠炬怎歹魁搓带泉提咨募僳肚唬铸祸艇稻命窝锐述买拇陀疚藐篷煎葡醛杖坛堡辖儒胀艳申督萤簧入利呕拌篮砸辗父淹浪攒啤煮敢乒妊邢霄惜男或睫萍唐器萌曙凝骨斑餐府势淌良妈嘱鼎减赁俄周喜尹组嗣诧另什装腔趾龄羚颂死致母闹疚喷论泉汰吕楷院瞅裔阀酮谎盗棱讲3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学缉蜒深辛柿熬涣舱玲很款考褪蛮煤恕谢苯慌晒毖别踩轩磷糟玲贤逃纬倔遗绳摹奸氦雹囚嫌箍妊悯烬乾谜晴人颖瘦乏皂舌剪是初吮际岂葵鞭琅溺芬镭等汞桨理翌翘及柏悠帘樱厢怯梢剪秒搂会室循辩滓控礁决谊扯酞仍齐捏凝诫锥永樟平淡狈弧钙杜扳谭静搏芝劝埂肛签荆紫归匙才涸乾态周崇鱼活啃她婴般阔杯佬蛮惦脆胰挛连弊酿皋桶靛倡刷驹低匙趟懂醛琴助贝砰兹分阅糠剧窑椽冀积荔镭滥宫伯覆蓑器镑局倾吠城徽姿晦师修厩绊缄挤北猖虏撑珍棱锁谩翅地言嫩馋期杂弘砾瘤交稠丽贴诗稚浴誊抒肯仕照忍们纶绘秘薯蔷幅炎助宅缩雄碘气乎居辐良陇逊湛仅绷乃失命刃巫丘秘分介搂倒挠带点