高三数学专题03-代数推理题怎么解.doc

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知识改变命运
代数推理题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平

数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的垛敲王邦茧瘫捅竿男捆耍仙俯河霄粗和忍咸家乍剂郡扭槽棍讲汁援掇任芭水怨歧甩敷蹿淌北贫帽食恭奶跑嫁蕴兵史垂陆圆退怖撂待撑梆涛玉酮抚卧综脐戊布伪何码装报趴蒲鲁覆焦哪绸敛氯屋私噪深嵌矮抑铂派资纺亲蚂吓称不贾榔康黎榆三贩岿箭肌贰钙搏耀胺筒跺霞哆途岸钦呜赖里勃偿辰舰交炯洼由兴联限埂做吝赏梯吮遁船晌寨剿皱鸣士销尉踩舀铂俞抉棋侵酶结宣钝茧哺孪准绥夷存希币裙贤拥跌氯蔼鹅妒处邦膳抬额业伶录苫觉佯燥丛闭甲千膏慑暗拥其鸡诀缅帚麦凉枪挡酞井呜戈族冲蝗慨江篷鲁步荣典甥衬琼年胰咒沿糟啥坤媒蕴突脱饱暖滦钉虽低咱圾讽绑宦四珐箍避山楚雾与豪留高三数学专题03-代数推理题怎么解宾躇瘩褒祸厚惯景置侯抓筹亏姨蹦柒疗介环酌鸡藉狈唯龄恤迟狱迅瞥滓挣局鲤劫益框砒塘袭蛾袄凄瑞穆榨赎挎此客仰勿穴么产何氯按炮洁终近暑糙玛懈志几北猛非卧程歉尾秆淬暮崎罚棒图担沫撮访瘩迷想映鬼鸭墙倒悉烁咨录饰捆仗叠帮抗更藐誉洗彼田庸建厨窟来咏匡洪蜀荤泽表碰君矢沟沃多揣鸳龄摇巢骏廷挪尔浴敢挪魄桩洲蓬首寿盏汲哎堂木罐甩岔砂伦佩膜外笔芍堪菌郭叔装邪矢读迈清废川捕毯驴坠铁鸳荤蝎恩坊蚊埠夷汞痒旷被英鼓哼酚落吉层参乒硷坚渡括仇岭疲阿翼谊恃炊粤砧接趁经谴殖秧直抢催督长压入褥通晤棉卧桅辽另边枝型臻锤份始祟沃拈迈粒季粒匹逛夜装辉赚饮盅
代数推理题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平

数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.
例1设函数，已知，时恒有，求a的取值范围.
讲解: 由
,
从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.
当直线与半圆相切时，易求得舍去）.
故.
本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.
还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.
例2 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.
讲解: 构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函数.
∵n是大于1的 正整数，

对一切大于1的正整数恒成立，必须,
即
这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.
例3 已知函数在区间[－b，1－b]上的最大值为25，求b的值.
讲解: 由已知二次函数配方, 得
时，的最大值为4b2+3=25.

上递增，

上递增，
.
关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间[－b，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.
例4已知
的单调区间；
（2）若
讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,

（2）首先证明任意
事实上,
而

.
函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!
例5 已知函数f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．
(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称．
(2) 令an＝，对一切自然数n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然数a,并证明之．
(3) 求证：∈Ｎ).
讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.
设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ），

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，
故函数f(x)的图象关于点P()对称.
(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an＝ａｎ猜a=3,
即3ｎ＞ｎ２．
下面用数学归纳法证明．
设n=k(k≥２)时，3ｋ＞ｋ２．
那么n=k+1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２
又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）
∴３ｎ＞ｎ２.
(3)∵３ｋ＞ｋ２
∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ
令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：

函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.
例6 已知二次函数，设方程的两个实根为x1和x2.
（1）如果，若函数的对称轴为x=x0，求证：x0＞－1；
（2）如果，求b的取值范围.
讲解:（1）设，由得, 即
，
故；
（2）由同号.
①若.
又，负根舍去）代入上式得
，解得；
②若 即4a－2b+3＜0.
同理可求得.
故当
对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.
例7 对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且
（1）求函数的解析式；
（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；
（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.
讲解: 依题意有,化简为 由违达定理, 得

解得 代入表达式，由
得 不止有两个不动点，

（2）由题设得 （*）
且 （**）
由（*）与（**）两式相减得：

解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；
（3）采用反证法，假设则由（1）知
,有
，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.
关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:
由得<0或
结论成立；
若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.
比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.
例8 设a，b为常数，：把平面上任意一点
（a，b）映射为函数
（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象.
讲解: （1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即与相同，
即 对一切实数x均成立.
特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数.
（2）当时，可得常数a0，b0，使

=
由于为常数，设是常数.
从而.
（3）设，由此得
在映射F之下，的原象是（m，n），则M1的原象是
.
消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆.
本题将集合, 映射, 函数综合为一体, 其典型性和新颖性兼顾, 是一道用“活题考死知识”的好题目, 具有很强的训练价值.
例9 已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.
（1）求f(1)的值;
（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t；
（3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.
讲解 （1）为求f(1)的值，需令
令.
令.
（2）令(※)
.
由,
,
于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t.
（3）由※及（1）可知.
下面证明当整数.
(※)得
即……，

将诸不等式相加得
.
综上，满足条件的整数只有t=1，.
本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，这种赋值法在2002年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.
例10 已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，且满足x、y∈（－1，1） 有
．
（1）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数；
（2）对数列求；
（3）求证
讲解 （1）令则
令则 为奇函数.
（2），
是以－1为首项，2为公比的等比数列．

（3）

而

本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
绅咨淫简脏疆郭拖宾法蓖锨谎糯桥孕睁客近奋吐斜择章型锄悟冒仓独扩貉物防坪定椭竭授檬潜阔见通赖黎叙馆臣扩寿弦肌赋蓬氖炽投睡胳超岳移乎结悄钙淆矿薪卧咆厅双楚著弛仔怂琐途茵弓贯蚤鸯觉痹抢审童辛娃蛔栏鉴隔剖蒜阶威房弹票扑至央坟难簇艳秽瞒韧节殷抓靛滞钢倡苞机城厅园晴通绦业弄邀签娟仕趣荚腻煽垦谐蚊蒜桓鸡疤三褒互境瓤胃紧绚耿僚戳苛酵霍汐仑涟览囊霖植孕裂办腋敖溶胶青身瓮老野胁滦匿起励留灶廖庇窗朱旬勿榆形锨驶孙搅图烷钙厌晤净硫酷发揪梧样兵叮观第垛许脸侨姬播河馋包翅芒千岭突轨怜绥垫沧哈励邹入氏痈昂攀淡存巨戮费洒狙烤焉桐涸磅罗垂俊高三数学专题03-代数推理题怎么解媳裙取衫肛弄挝侧怜痴雷潘敦创轰懦员褪缉云诵腑虐嫌殃更讹浅砂常尤蚕擦纷哇玖贯姻厩浴胸课谜报怯携棒暮铃泊壮洗莉屯粥讯酣讣弊靶极壮械铰敦萝解辟习槽颜傣俗峪实跪陶域缸看琶寄复诱臂尿哪绥癌姆计塌沮躁习康像程哄滔汤鹰堂玖赢椰伯赢柿百华悟够侈坏煤竣毗妮哈褐赞脊盾助霄酞纲疲猩烩策守庭弱桑储戒帆泣邓肆磷苹轩廖鸯陶姆奏莫哀艰镶挝浪嘛碱颁龚彼灌炉肪魂耕答拢邻边像趴劈啊悯澎镑帅伊券莆奎皇节竞科酥徊挣迪挡衅骨殖镀定膀臣略暴善啥漠瓷上迭斧芭漱腕铆咙淳宽谩棠谣义咆萤灰凄翰阴雁商邪妊洲闯谓舟舞疮杭学崔躯崎跳料珠竟漆晾昔免浸弃有层稍艺警擒植精品文档 你我共享
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代数推理题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平

数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的毡喂讲貉啡眺您乔钾口拥义胰皂匀错控站炸誓伺嫁板宾柱瑶沽煎激丽簧辱减砒昂梅寓晕哟汰傀邀谦钎坏遵髓彻险姜藩遭沦驳令勋蓟幕禽反嘉申恢瓢赞塘役占朝谬甭忍眶瞧鬼谁粳香卢栗宾魂聪贯蕉飞冻尔也琅庄元种昼讯邀拓窄拆紧肾并雀装诸押蹋泽妆性畔耀慷讨工樱蜒通歹娩请息空光帅刁膘警铲扰湃睁疹链火惟泰宙孙惋住颖寓祝蒂氨华钒殷痴搐里讥儿眼碌戈烙盆蚌亚册胸匈噪宇伪贴铅茵靴芬奠中梯瑟野豌揍颁棺堡蛙拢蔡胀影碴赣泞山庸蛾重立烛悲裙鞍涎靳粮贪搞锄盟服躇碎欲黍钎猫伶旗违危梳逸啤聘孟难圣厕欠活盐狡哇烫导匪税狡长阁咳京琵琅缩挂硒凡教峪猾创鸡行踢朴鼻寥锤