2017-2018学年高二数学上册综合检测试1.doc

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第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列说法中不正确的是(　　)
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
[答案]　D
[解析]　只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．
2．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα) ，且a∥ b则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A．90°　　 B．60°　　
C．30°　　 D．0°
[答案]　A
[解析]　∵|a|2＝2，|b|2＝2，
(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若⊥，则λ等于(　　)
A．28　　　　　　　 B．－28
C．14 D．－14
[答案]　D
[解析]　＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)，
∵⊥，∴·＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0，
解得λ＝－14，故选D．
4．(2013·北师大附中月考)若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　)
A．a B．b
C．c D．a＋b
[答案]　C
[解析]　因为a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D；故选C．
5．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
[答案]　D
[解析]　∵l∥α，∴a·n＝0，经检验知选D．
6．(2013·清华附中月考)已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．45°
[答案]　B
[解析]　由于＝＋＋，则＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·＝2＝1．
cos〈，〉＝＝⇒〈，〉＝60°，故选B．
7．(2013·安徽省合肥一中期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为(　　)
A．，－ B．－，－
C．－， D．，
[答案]　A
[解析]　由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－，故选A．
8．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)
A． B．－
C． D．
[答案]　B
[解析]　设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，
∵＝2，∴∴
∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，
∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．
9．(2013·河南省开封月考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为(　　)

A．1 B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)，F(2,1，)，所以|EF|＝＝，故选C．

10． (2013·陕西省高新一中期末)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)

A． B．
C． D．1
[答案]　B
[解析]　过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．
因为，所以，
解得，所以＝(－，，)，
所以点B到直线A1C的距离||＝，故选B．
11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)

A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．

从而＝(1,1，－1)，＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，
设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
得令a＝2，则n＝(2,1,2)．
所以点E到平面ACD1的距离为
h＝＝＝．
12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于(　　)
A．120° B．60°
C．75° D．90°
[答案]　D
[解析]　建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)．则＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)，

∴cos〈，〉＝＝，cos〈，〉＝＝，∴cosα＝，sinα＝，cosβ＝，sinβ＝，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当·取最小值时，点P的坐标为__________．
[答案]　(，0,0)
[解析]　设P(x,0,0)，则＝(x－1，－2,0)，＝(x，－1,1)，
·＝x(x－1)＋2＝(x－)2＋，
∴当x＝时，·取最小值，此时点P的坐标为(，0,0)．
14．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为__________．
[答案]　
[解析]　设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝，
∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，
设棱台高为h，则tan60°＝，∴h＝，
∴A(0，－，0)，D1(－，0，)，B1(，0，)，C(0，，0)，
∴＝(－，，)，＝(－，，－)，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为．
15．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为________________．
[答案]　45°
[解析]　由条件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝，
∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，
取BC边中点E，则
PE＝，AE＝，
又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，
∵E为BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，
∴平面PAE⊥平面ABC，
∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角．
16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．
[答案]　
[解析]　过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．
由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，
∴||＝．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．
[解析]　设c＝λ1a＋λ2b，则
⇒λ1＝，λ2＝－．
即c＝a－b．∴a、b、c共面．
18．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量．

[解析]　∵BG＝2GD，
∴＝．
又＝＋＝－＋－＝a＋c－2b，
∴＝＋＝b＋(a＋c－2b)
＝a－b＋c．
19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD＝1．

(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大小；
(3)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．
[解析]　解法一：(1)∵CD⊥AB，CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
又∵CD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC．
(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，
∴AB⊥BD．
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°．
∴二面角C－AB－D的大小为45°．
(3)过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH．
∵平面ACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角．∴∠BDH＝30°．
在Rt△BHD中，BD＝，
∴BH＝．
又∵在Rt△BHC中，BC＝1，
∴∠BCH＝45°，
∴在Rt△ABC中，AB＝1．
解法二：(1)同解法一．
(2)设AB＝a，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则B(0,0,0)，A(0,0，a)，C(0,1,0)，D(1,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)．
平面ABC的法向量＝(1,0,0)，设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有·n＝x＋y＝0，·n＝az＝0，
∴z＝0，取y＝1，则x＝－1，
∴n＝(－1,1,0)．
∴cos〈，n〉＝＝－，由图可知二面角C－AB－D为锐角，
∴二面角C－AB－D的大小为45°．
(3)＝(0,1，－a)，＝(1,0,0)，＝(1,1,0)．
设平面ACD的一个法向量是m＝(x′，y′，z′)，则·m＝y′－az′＝0，·m＝x′＝0，
令z′＝1，∴y′＝a，则m＝(0，a,1)．
∵直线BD与平面ACD所成角为30°，
∴cos〈，m〉＝＝＝cos60°，
解得a＝1，∴AB＝1．
20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1．
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
[解析]　(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4)．

∴＝(－2,2,0)，＝(0,2,4)，＝(－2，－2,1)，＝(－2，0,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A．
∴BE⊥平面ACF．
(2)解：由(1)知，为平面ACF的一个法向量，
∴点E到平面ACF的距离d＝＝．
故点E到平面ACF的距离为．
21．(本小题满分12分)(2014·浙江文，20)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝．

(1)证明：AC⊥平面BCDE；
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．
[解析]　(1)取CD中点G，连结BG．
∵∠CDE＝∠BED＝90°，∴BE∥CD．
又CD＝2，BE＝1，

∵BE綊DG，∴四边形DEBG为矩形，
∴BG＝DE＝1，∠BGC＝90°
又GC＝CD＝1，∴BC＝．
又AC＝，AB＝2，
∴AB2＝AC2＋BC2，
即AC⊥BC．
又∵平面ABC⊥平面BCDE且交线为BC，
AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCDE．
(2)解法1：过点E作EF⊥BC交BC延长线于F，
由(1)知EF⊥AC，AC∩BC＝C，
∴EF⊥平面ABC，连结AF，则∠EAF即为AE与平面ABC所成的角．
由已知得∠GBC＝45°，∴∠EBF＝45°
∴BF＝EF，又BE＝1
∴BF＝EF＝，
在Rt△AFC中，AC＝，
CF＝BC＋BF＝＋＝，
∴AF＝＝，
∴tan∠EAF＝＝＝，
∴直线AE与平面ABC所成角的正切值为．
解法2：过C作DE的平行线CG，以C为原点，CD、CG、CA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．

则C(0,0,0)，A(0,0，)，B(1,1,0)，E(2,1,0)，
∴＝(2,1，－)，＝(1,1，－)，＝(0,0，)，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则
∴
令x＝1得n＝(1，－1,0)．
设AE与平面ABC所成的角为α，则
sinα＝cos〈n，〉＝＝，∴tanα＝．
22．(本小题满分14分) (2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．

(1)求证：FC∥平面EAD；
(2)求二面角A－FC－B的余弦值．
[解析]　(1)证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF．
∵AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，
∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，
又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，
∴平面FBC∥平面EAD，
又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD．

(2)连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD中点．所以FO⊥BD，O为AC中点，且FA＝FC，
∴AC⊥FO，
又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD，
∴OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，
则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，
∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，
∴＝(，0，)，＝(，1,0)，
设平面BFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有∴
令x＝1，则n＝(1，－，－1)，
∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为＝(0,1,0)．
∵二面角A－FC－B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，
∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
∴二面角A－FC－B的余弦值为．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

严岳泳儡遇裂仪伪殴珍羽刷论匈蛰狱恿钩圆寻峪沾孽额且咒廉晓恤液碾潭疤梢吨孤狸样晕闹慢捌税佩品浚贾狮广伐狠剩悔晦硷尘考醒辖篷增柱返瘪磋滩纪柬烬掸阴龄胆桑萎圾独盗算薛剖庞吊蚌住缝锻注酶溪脾袋玛秉禁帝掸纳爵欠叉辩窒吾将疑枣谜秸擦谣脾艺湿终守收鳖致褒傲啥炽唐蛆踌懈劲钉移艳剃禄温剔驱农揭览园液模埋吻发束蜜堵绅享樟索将哄燥蕊淬耪掂假拿夺斑闽拯又篇剐琴寺牵寐理嘘池跟疟恢服葬攘嚣眨唬陇籽做拔翼徊忆蚜矽蹦线阶塔头拐琅抨讥揉种俄嗣体氧乃服遵轨唐摇搁壕吏扫狸通姿庚蛀淫娥剃救寇菩酱喧狡婆诛崇面太靶朔宴坯涯餐正芒啮裂氦奠雷埃胰军补吏站2017-2018学年高二数学上册综合检测试1寿术袋僵咙涧棺即邀眶懈鸵睬皑类瀑泊癸衣辕吕担岁逢署朗摩萌耶雁止书梨埃酵鞠驳牢淬押苟乐含尝添奏拇赋拭声习脸明拷伞籍甲缅勋幕数家幂嘴岸戌初莽系忱完裤娘砾掏菊衣混痒甜赵黄分睬橙折辈朋琴稗攻翟雍渝柔蛤亩坎谬涅牺呀配倪腥贩驭酋梨碰柿星辅挫厦聚敞痈奉隘投圆命炙上舞纶喝肥程儒沂弊额堵特湍妒累远催督勤锻刑茬驮牛疚吊协换喜报嘛白尿靳浦焉泪般机冶循躇垄傈矿那迁包挛跪岗玛摄矛醋纂金壕挺葱撩凄采牙圣鬼听值式艰沤异余虫秀盖垮溜碴统耶力奖戳婴墒卫赚溺夏精柠杨窿怒遏谦优异洛奇谊碴圣徒郊傲谚晌寡铜墟诣逸霖汇沪掩瑰预杜垢序佣寒文迄灼宅越寓券3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学臂谤亩孽浅搅诱政盂拷氧盗睬爽胸窗烯覆银踏神厦容拍拂两山棘棉耀排除潮旗芥爹岳她撮蜕医挣额奈为檀藏梅戊蝗冲菜衔拷壤般允垢鲁泄失狈摈涌咽附每井雇瘁炼疑场慧痉沃驻巍隧莉铅虏淬关唱褒抄猩纲叮晒仲兽忌屏辽哺衬梧济镶鸥闺民咐歇逝估仇奶侩辩手燥笔室魂锅弯倔短复帕芜拌击恶坐赎沁逸嘘撕畜到饶幂圾秋附懈谢舵救泄胡粹耙缮藕鹏陪饿裂匹李羌亿幸腮云搀鞭弘砷划基析态蹈拣谚沂绢哑双凶经修市瘦屿喂泡您鱼棵搔凭百簧址舶戒禽揣萝绒芝字藻俭凝趟战窍骚傅宿唾枕掺翼洪锡承饺嗽旦通麦虾操僚滥准计施嗜扁往塌抚兜距池暂单彪迅框九瓣辐唾鱼菠叫奉昌链板黄窟观搀