2015届高考数学第一轮基础巩固训练题66.doc

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第7讲　函数的图像

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝x|x|的图像大致是(　　)．

解析　函数y＝x|x|为奇函数，图像关于原点对称．
答案　A
2．(2013·青岛一模)函数y＝21－x的大致图像为(　　)．

解析　y＝21－x＝x－1，因为0＜＜1，所以y＝x－1为减函数，取x＝0时，则y＝2，故选A.
答案　A
3．(2013·福建卷)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是(　　)．

解析　函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln 1＝0，综上选A.
答案　A
4．(2014·新余模拟)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图像是(　　)．

解析　易知f(x)为偶函数，故只考虑x＞0时f(x)＝lg(x－1)的图像，将函数y＝lg x图像向x轴正方向平移一个单位得到f(x)＝lg(x－1)的图像，再根据偶函数性质得到f(x)的图像．
答案　B
5．(2013·山东卷)函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为(　　)．

解析　函数y＝xcos x＋sin x在x＝π时为负，排除A；易知函数为奇函数，图像关于原点对称， 排除B；再比较C、D，不难发现当x取接近于0的正数时y>0，排除C.
答案　D
二、填空题
6．函数y＝(x－1)3＋1的图像的对称中心是________．
解析　y＝x3的图像的对称中心是(0,0)，将y＝x3的图像向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y＝(x－1)3＋1的图像，所以对称中心为(1,1)．
答案　(1,1)
7．若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则a的取值范围是________．
解析　画出y＝|ax|与y＝x＋a的图像，如图．只需a>1.

答案　(1，＋∞)
8．(2013·长沙模拟)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的范围是________．

解析　当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图像可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即f(x)＝a有两个交点，所以由图像可知0＜a≤1.
答案　(0,1]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．

解　(1)f(x)＝＝1－，函数f(x)的图像是由反比例函数y＝－的图像向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图像如图所示．
(2)由图像可以看出，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
10．设函数f(x)＝x＋的图像为C1，C1关于点A(2,1)对称的图像为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．
解　(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，
∴g(x)＝x－2＋.
(2)由消去y得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝(m＋6)2－4(4m＋9)，∵直线y＝m与C2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.
当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；
当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2013·河南三市调研)若实数x，y满足y＝|x－1|，则y关于x的函数图像的大致形状是(　　)．

解析　∵y＝|x－1|，∴它的图像是将y＝|x|＝的图像向右平移一个单位得到的，故选B.
答案　B
2．函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式<0的解集为(　　)．

A．
B.
C．
D．{x|－1＜x＜1}
解析　当x∈(0,1)时，cos x>0，f(x)>0；
当x∈时，cos x>0，f(x)<0；
当x∈时，cos x<0，f(x)<0，
当x∈(－1,0)时，cos x＞0，f(x)＞0；
当x∈时，cos x＞0，f(x)＜0；
当x∈时，cos x＜0，f(x)＜0.
故不等式<0的解集为
.
答案　C
二、填空题
3．(2013·西安中学模拟)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是________．

解析　由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图，
记y＝k(x＋1)＋1，
∴函数y＝k(x＋1)＋1的图像过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图像知，方程有四个根，
即函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1的图像有四个交点，
故kAB＜k＜0，kAB＝＝－，∴－＜k＜0.
答案　
三、解答题
4．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
解　f(x)＝
作出图像如图所示．

原方程变形为
|x2－4x＋3|＝x＋a.
于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图像．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，
由⇒x2－3x＋a＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－.
由图像知当a∈时方程至少有三个不等实根．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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