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学科:数学
专题:点线面综合问题
如图所示,在边长为12的正方形中,点B、C在线段AD上,且AB = 3,BC = 4,作分别交于点B1,P,作分别交于点,将该正方形沿折叠,使得与重合,构成如图2所示的三棱柱.
(I)求证:平面;(II)求多面体的体积.
题1
已知a、b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
题2
设、、是三个互不重合的平面,、是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( ).
A.若,,则 B.若,,,则
C.若,,则 D.若,,,则
题3
圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5cm的正方形ABCD,则圆柱侧面上从A到C的最短距离为( ).
A.10cm B.cm C.cm D.cm
题4
空间四边形ABCD的各边及两条对角线的长都是1,点M在边AB上移动,点Q在边CD上移动,则P, Q的最短距离为______.
题5
如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则当M满足条件_________时,有MN∥平面B1BDD1.
题6
正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q 分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点.点P在对角线BD1上,且=,给出下列四个命题:
①MN∥平面APC;②C1Q∥平面APC;③A,P,M三点共线;④平面MNQ∥平面APC.
其中正确命题的序号为( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
题7
如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=AD=2.点E为AB中点.
(1)求三棱锥A1-ADE的体积;(2)求证:A1D⊥平面ABC1D1;(3)求证:BD1∥平面A1DE.
题8
设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( ).
A.不存在 B.只有1个 C.恰有4个 D.有无数多个
课后练习详解
题1
答案:见详解.
详解:(Ⅰ)证明:由题知:,,,∴.
又∵,∴平面;
(Ⅱ)由题知:三棱柱的体积.
∵和都是等腰直角三角形,∴,,
∴四边形.
∴多面体的体积.
题2
答案:C
详解: c与b不可能是平行直线,否则与条件矛盾.
题3
答案:D.
详解:对于A,若,,可以平行,也可以不垂直相交;
对于B,若,,,则可以平行;
对于C,若,,则可以在平面.
题4
答案:B.
详解:
将圆柱的一半侧面展开如图:可知.
根据勾股定理可得:.
即点A到点C的距离是.
题5
答案:.
详解:当M, N分别为中点时,由于AB,CD为异面直线,则M,N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短,连接BN, AN 则CD⊥BN,CD⊥AN,且AN=BN, 则NM⊥AB
同理:连CM,MD可得MN⊥CD.则MN为AB,CD的公垂线
由于AN=BN=,则在Rt△BNM中,.
题6
答案:M∈线段FH.
详解:当M点满足在线段FH上有MN∥面B1BDD1.
题7
答案:C.
详解:
E,F分别为AC,MN的中点,G为EF与BD1的交点,显然△D1FG∽△BEG,故==,即BG=BD1,又=,即BP=BD1,故点G与点P重合,所以平面APC和平面ACMN重合,MN⊂平面APC,故命题①不正确,命题④也不正确,结合选项可知选C.
题8
答案:.
详解: (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AB=1,E为AB的中点,所以,AE=.
又因为AD=2,所以S△ADE=AD·AE=×2×=.又AA1⊥底面ABCD,AA1=2,
所以三棱锥A1-ADE的体积V=S△ADE·AA1=××2=.
(2)因为AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,
所以AB⊥A1D.因为ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.
又AD1∩AB=A,AD1⊂平面ABC1D1,AB⊂平面ABC1D1,
所以A1D⊥平面ABC1D1.
(3)设AD1,A1D的交点为O,连结OE.
因为ADD1A1为正方形,
所以O是AD1的中点,在△AD1B中,OE为中位线,所以OE∥BD1.
又OE⊂平面A1DE,BD1⊄平面A1DE,所以BD1∥平面A1DE.
题9
答案:D.
详解;设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n,直线m、n确定了一个平面β.作与β平行的平面α,与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形.而这样的平面α有无数多个.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光,千里冰封,万里雪飘。
望长城内外,惟余莽莽;
大河上下,顿失滔滔。
山舞银蛇,原驰蜡象,
欲与天公试比高。
须晴日,看红装素裹,分外妖娆。
江山如此多娇,引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武,略输文采;
唐宗宋祖,稍逊风骚。
一代天骄,成吉思汗,
只识弯弓射大雕。
俱往矣,数风流人物,还看今朝。
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