高一数学下册课时堂堂清复习题19.doc

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两角和与差的三角函数

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·福建高考)函数f(x)＝sinxcosx的最小值是
(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．－
C. D．1
解析：∵f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f(x)min＝－.
答案：B
2．(2009·陕西高考)若3sinα＋cosα＝0，则的值为
(　　)
A. B.
C. D．－2
解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则＝＝＝，故选A.
答案：A
3．(2009·湖南郴州三模)函数y＝sinxsin＋sincos2x的最大值和最小正周期分别为
(　　)
A．1，π B．2,2π
C.，2π D.，π www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
解析：y＝sinxsin＋sincos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，则其最大值和最小正周期分别为1，π，故选A.
答案：A
4．已知sin(α－)＝，则cos(α＋)的值等于
(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：∵sin(α－)＝，
∴sin(－α)＝－，
∴cos(α＋)＝cos[－(－α)]
＝sin(－α)＝－.
答案：C
5．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，其中α＋β∈，α－β∈，则sin2β＝ (　　)
A. B．－
C．1 D．－1
解析：∵2β＝(α＋β)－(α－β)，
∴sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)．
又sin(α＋β)＝，α＋β∈(，π)∴cos(α＋β)＝－， www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
sin(α－β)＝－，α－β∈(－，0)，
∴cos(α－β)＝，
∴sin2β＝×－(－)×(－)＝.
答案：A
6．已知cos＋sinα＝，则sin的值是
(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：由已知得cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，得sin＝，
sin＝－sin＝－，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·上海高考)函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1≥1－.
答案：1－
8．函数y＝cos2x－sinx的最小值为__________．
解析：y＝(1－2sin2x)－sinx
＝－2(sin2x＋sinx)＋1
＝－2(sinx＋)2＋.
∵sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，y取得最小值－2.
答案：－2
9．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(－x)的值为__________．
解析：f(x)＋f(－x)
＝＋ www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
＝＝
＝＝＝.
答案：
10．cot20°cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°＝__________.
解析：原式＝tan70°cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°
＝tan70°(sin10°＋cos10°)－2cos40°
＝·2·sin40°－2cos40°
＝·2·2sin20°cos20°－2cos40°
＝4cos220°－2cos40°
＝2(2cos220°－1)＋2－2cos40°＝2.
答案：2
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知cos＝，x∈.
(1)求sinx的值；
(2)求sin的值．
解：(1)因为x∈，
所以x－∈，
于是sin＝＝. www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
sinx＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
(2)因为x∈，
故cosx＝－＝－＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－，
cos2x＝2cos2x－1＝－.
所以sin＝sin2xcos＋cos2xsin
＝－.
12．(15分)已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinα·cos(α＋β)．
(1)若α＋β＝，求tanβ的值；
(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．
解：(1)∵α＋β＝，
∴sinβ＝sin(－β)cos＝sin(－β)
＝(cosβ－sinβ)，化简得：sinβ＝cosβ，
∵β是锐角，∴tanβ＝.
(2)由已知得：sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，
∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
∴tanβ＝＝
＝＝≤＝.
当且仅当＝2tanα，
即tanα＝时，tanβ取得最大值，
此时，tan(α＋β)＝＝.
13．(20分)(2009·江西高考)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.
(1)求A，C；
(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.
解：(1)因为tanC＝，即＝，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，
得sin(C－A)＝sin(B－C)，
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又因为sin(B－A)＝cosC＝，
则B－A＝或B－A＝(舍去)，
得A＝，B＝.∴A＝，C＝.
(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，又＝，即＝，得a＝2，c＝2.

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