微分方程模型经济数学建模课件西安交通大学戴雪峰省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学建模西安交通大学理学院西安交通大学理学院戴戴 雪雪 峰峰E-mail:E-mail:第1页微分方程模型微分方程模型（动态模型）第2页一、人口模型一、人口模型以前惯用这么方法：设人口增加率为r，今年人口为a0，那末一年后为a0(1+r)，两年后就为a0(1+r)2，k年后人口为ak=a0(1+r)k。这个公式前提是年增加率r保持不变。第3页1、指数增加模型、指数增加模型（Malthus model）基本假设基本假设：人口增加率为常数或者说单位时间内人口增加量与当初人口成正比。第4页分析与建模：记时刻t人口为x(t).视x(t)连续、可微，记初始时刻t=0时人口为x0，人口增加率r，r是单位时间内x(t)增量与x(t)百分比系数，在t到t+t内，人口增量为第5页当 有 表明人口按指数规律无限增加（）第6页该模型与前面模型区分在于：前面模型r为年增加率，而该模型r为单位时间人口增加。将t以年为单位离散化，模型表示:人口以er为公比等比数列增加，这时r表示年增加率，而通常 ，代入模型得：，能够看到，前面模型不过是指数增加模型离散形式近似表示。第7页2、阻滞增加模型、阻滞增加模型（Logistic model）将r表示为人口x(t)函数r(x)，r(x)应为减函数。最简单假设r(x)=r-sx，r、s0，这里r相当于x=0时增加率，称为固有增加率。显然任意x0，r(x)r。为了确定s意义，引入自然资源和环境条件所容纳最大人口数量xm（称最大人口容量）。第8页当x=xm时，增加率应为零，即r(xm)=0。表达了对人口增加阻滞作用。第9页称为阻滞增加模型。指数增加模型修改为：该模型缺点：xm不易得到（伴随生产力发展，xm能够改变）dx/dtxm/2xmX(t)xmXm/2x0t拐点第10页前面两种模型都是确定型，是只考虑人口总数连续时间模型。现在还发展了考虑人口年纪分布模型（随机性模型），还有离散时间模型等等。3、更复杂人口模型人口增加与人口按年纪分布相关。第11页设在时刻t，年纪小于r人口数量为 为人口年纪密度函数 年纪在r和r+r之间人数为p(r,t)r。记 为时刻t年纪r人单位时间死亡率，即在t,t+t内年纪在r,r+r内死亡人数为第12页现考虑t时刻年纪在r,r+r内人数为p(r,t)r，当经过t时间后，这部分人年纪就在r+t，r+r+t内人数为p(r+t,t+t)r，第13页第14页婴儿出生率记为f(t)，即 第15页由此偏微分方程可解得p(r,t)，解为:对于人口问题，还能够考虑更多因数。在此不作深入讨论。第16页二、新产品销售量二、新产品销售量 一个耐用新产品进入市场后，普通会经过一个销售量先增加，然后下降过程，称为产品生命周期（Product Life Cycle），简记为PLC。PLC曲线可能有若干种情况，其中有一个为钟型，试建立数学模型分析此现象。第17页1、问题分析信息传输普通有两个路径：部分人使用而对产品有所评价并传输开来，使其周围人们得到了相关产品信息，这是来自消费者内部信息。广告、亲眼看到商品等来自消费者以外信息；因为是耐用消费品，所以普通不会重复购置，故产品累计销售量能够认为是购置者人数。第18页2、建模与求解 设K为潜在消费者总数，n(t)为t时刻购置了该产品人数，在时间段 t,t+t 中，n由两部分组成，n1是由来自消费者外部产品信息造成购置者增量；n2是由来自消费者内部传输产品信息造成购置者增量。第19页第20页第21页三、放射性废物处理问题三、放射性废物处理问题 美核管会这么处理放射性废物：把废物装入密封圆桶中,扔到水深300英尺海里。这么是否会造成放射性污染？自然引发了社会各界关注。核管会一再确保,圆桶非常坚固,决不会破漏。人们却对此表示怀疑,认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂。终究谁意见正确呢?第22页问题关键：问题关键：圆桶能承受多大速度碰撞，圆桶在和海底相撞时速度有多大？试验发觉：圆桶在40英尺秒冲撞下会发生破裂.圆桶重量：W527.436（磅），圆桶受浮力：B470.327（磅）圆桶受到阻力：Dv（测得C0.08）。取垂直向下坐标，以海平面为坐标原点，第23页第24页第25页第26页第27页四、药品在体内分布四、药品在体内分布 用微分方程研究实际问题时，惯用一个“房室系统”观点考查问题。依据研究对象特征或研究不一样精度要求，把研究对象看成一个整体（单房室系统），或将其剖分成若干个相互存在某种联络部分（多房室系统）。交换环境内部单房室系统均匀分布第28页房室系统含有以下特征：考查对象均匀分布（普通并非均匀分布，采取了一个简化方法一集中参数法），房室中考查对象数量或浓度（密度）改变率与外部环境相关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡。用房室系统方法来研究药品在体内分布。在于介绍建模方法。第29页药品分布单房室模型假设假设：体内药品在任一时刻都是均匀分布，设t时刻体内药品总量为x(t)；系统处于一个动态平衡中，即成立关系式 机体环境药品总量假设药品均匀分布第30页药品分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药品当前浓度成正比，即 第31页情况1：快速静脉注射 在快速静脉注射时，总量为D药品在瞬间被注入体内。设机体体积为V，则能够近似地将系统看成初始总量为D，浓度为D/V，只输出不输入房室，即系统可看成近似地满足微分方程：第32页其解为：药品浓度：（负增加律MalthusMalthus模型）机体环境只输出不输入房室第33页与放射性物质类似，医学上将血浆药品浓度衰减二分之一所需时间称为药品血浆半衰期：第34页情况2：恒速静脉点滴 药品以恒速点滴方式进入体内，即:则体内药品总量满足：第35页解为：或易见：机体环境恒定速率输入房室第36页对于屡次点滴，设点滴时间为T1，两次之间间隔为T2，则在第一次点滴结束时病人体内药品浓度可由上式得出。其后T2时间内为情况1。故：第37页（第一次）类似可讨论以后各次点滴时情况，区分只在初值上不一样。(第二次点滴起，患者体内初始药品浓度不为零)。第38页情况3：口服药或肌注 口服药或肌肉注射时，药品吸收方式与点滴时不一样，药品即使瞬间进入了体内，但它普通都集中与身体某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药品被吸收速率与存量药品数量成正比，记百分比系数为K1，即若记t时刻残留药品量为y(t)，第39页则y满足：因而：D为口服或肌注药品总量 第40页所以：解得：y(t)x(t)K1yK1x环境机体外部药品第41页从而药品浓度：上述三种情况体内血药浓度改变曲线:第42页轻易看出，快速静脉注射能使血药浓度马上到达峰值，惯用于抢救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定差异，主要表现在血药浓度峰值出现在不一样时刻，血药有效浓度保持时间也不尽相同（为达治疗目标，血药浓度应到达某一有效浓度，并使之维持一特定时间长度）。已求得三种常见给药方式下血药浓度C(t)，当然也轻易求得血药浓度峰值及出现峰值时间，因而，也不难依据不一样疾病治疗要求找出最正确治疗方案。第43页上述研究是将机体看成一个均匀分布同质单元，故被称单房室模型，实际上并非这么。药品进入血液，经过血液循环药品被带到身体各个部位，又经过交换进入各个器官。所以，要建立更靠近实际情况数学模型就必须正视机体部位之间差异及相互之间关联关系，这就需要多房室系统模型。第44页五、传染病问题 某传染病正在流行，试问得病人数是怎样改变？1 问题研究传染病流行期间，得病人数随时间改变规律。记 x(t)患病人数占总人数百分比第45页第46页第47页第48页第49页第50页小结：用微分方程建立数学模型规则，常有以下几个：1）工程师标准：在能处理问题前提下，模型越简单越好。第51页2）房室系统：（隐含假设：个体无差异）n(t)生死入出（r=生育率-死亡率）当r为常数时是指数模型(Malthus)。第52页伴随人口增加，资源有限，人们生活水平下降，身体体质下降，出生率下降，而死亡率增加，所以r会随时间改变，模型修改为 第53页为了简单，设r(t)为线性函数：为Logistic模型。在房室系统中，个体视为无差异是与实际是不一样。不一样年纪阶段，其生育率、死亡率是不一样，能够对该模型继续改进。第54页3）竞争项乘积率（统计筹算律）（P-P模型）第55页第56页下面举一个数模竞赛题（99年全国竞赛题）：现有直径1km小行星撞击南极，南极冰层厚1km。试问对人类会产生多大影响？第57页第58页第59页第60页第61页第62页第63页第64页