高三数学能力提升达标检测36.doc

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课时提升卷(六)
比　较　法
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.设a,b,m都是正数,且a<b,则下列不等式中恒成立的是　(　　)
A.<<1 B.≥
C.≤≤1 D.1<<
2.“a>1”是“<1”的　(　　)
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设a,b∈R+,A=+,B=,则A,B的大小关系是　(　　)
A.A≥B B.A≤B
C.A>B D.A<B
4.(2013·杭州高二检测)已知下列不等式:①x2+3>2x;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1).
其中正确的个数为　(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
5.设a>0,b>0,下列不等式中不正确的是　(　　)
A.a2+b2≥2ab B.+≥2
C.+≥a+b D.+≤
6.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则a5与b5的大小关系为　(　　)
A.a5>b5 B.a5<b5
C.a5=b5 D.不确定
二、填空题(每小题8分,共24分)
7.(2013·威海高二检测)已知0<x<1,a=2,b=1+x,c=,则其中最大的是　　　　.
8.若x是正数,且x3-x=2,则x与的大小关系为　　　　.
9.设A=+,B=(a>0,b>0),则A,B的大小关系为　　　　.
三、解答题(10～11题各14分,12题18分)
10.已知a>0,b>0,求证:+≥+.
11.若a,b,m,n都为正实数,且m+n=1.
求证:≥m+n.
12.(能力挑战题)已知函数f(x)=x2+ax+b,当p,q满足p+q=1时,证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x,y都成立的充要条件是0≤p≤1.

答案解析
1.【解析】选A.真分数的分子、分母同加上一个正数,分数值增大,可知A正确.
2.【解析】选A.因为a>1,所以<1.
而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.
3.【解析】选C.因为A2-B2=(+)2-()2=2>0,所以A>B.
【变式备选】已知a>b>0,c>d>0,m=-,n=,则m与n的大小关系是(　　)
A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n
【解析】选C.因为a>b>0,c>d>0,
所以m2=ac+bd-2,n2=ac+bd-bc-ad,
所以m2-n2=bc+ad-2=(-)2≥0.
所以m2≥n2,又m>0,n>0,所以m≥n.
4.【解析】选C.①x2+3-2x=(x-1)2+2>0,
所以①正确;②当a=b时,a5+b5=a3b2+a2b3,
所以②不正确;③a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+
b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以③正确.
5.【解析】选D.+-=-
==>0.
6.【解析】选A.由等比数列的性质知a5=,
由等差数列的性质知b5=2b3-b1,
所以a5-b5=-2b3+b1
==>0,
所以a5>b5.
7.【解析】因为0<x<1,所以a>0,b>0,c>0,
又a2-b2=(2)2-(1+x)2=-(1-x)2<0,
所以a2-b2<0,所以a<b.
又c-b=-(1+x)=>0,
所以c>b,所以c>b>a.
答案:c
8.【解析】由x3-x=2知x2-1=,
所以(x2-1)(x2+1)=(x2+1)=2>4,
即x4-1>4,从而x4>5,所以x>.
答案:x>
9.【解题指南】本题可考虑使用作商法,另外化简时可考虑使用基本不等式.
【解析】因为==×=≥=1(当且仅当a=b时,等号成立).
又因为B>0,所以A≥B.
答案:A≥B
10.【证明】=
=
=≥=1,
所以+≥+.
【一题多解】本题还可用以下方法证明:+-(+)=
=.
因为+>0,>0,(-)2≥0,
所以+≥+.
11.【证明】因为()2-(m+n)2
=ma+nb-m2a-n2b-2mn
=m(1-m)a+n(1-n)b-2mn
=mn(-)2≥0,
又>0,m+n>0,
所以≥m+n.
12.【证明】pf(x)+qf(y)-f(px+qy)
=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b
=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy
=pq(x-y)2(因为p+q=1).
充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1].
所以pq≥0,所以pq(x-y)2≥0,
所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),
则pq(x-y)2≥0,
因为(x-y)2≥0,所以pq≥0.
即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1.
综上,原命题成立.

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沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
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