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第一章 1.2.1
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列四个方程中表示y是x的函数的是( )
①x-2y=6;②x2+y=1;③x+y2=1;④x=.
A.①② B.①④
C.③④ D.①②④
解析: 判断y是否为x的函数,主要是看是否满足函数的定义,即一对一或多对一,不能一个自变量对应多个y值,故③错,选①②④.故选D.
答案: D
2.函数f(x)=0+的定义域为( )
A. B.(-2,+∞)
C.∪ D.
解析: 要使函数式有意义,必有x-≠0,
且x+2>0,即x>-2且x≠.
答案: C
3.已知函数f(x)=x2+px+q满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值是( )
A.5 B.-5
C.6 D.-6
解析: 由f(1)=f(2)=0,得
∴∴f(x)=x2-3x+2,
∴f(-1)=(-1)2-3×(-1)+2=6.
答案: C
4.下列函数:(1)y=;(2)y=;(3)y=1(-1≤x<1).与函数y=1相等的函数的个数是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析: (1)要求x≠0,与函数y=1的定义域不同,两函数不相等;(2)虽然化简后y=1,但要求t≠-1,即定义域不同,不是相等函数;(3)显然定义域不同,故不是相等函数.
答案: D
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知f(x)由下表表示
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
则函数f(x)的定义域是________,值域是________.
解析: 观察表格可知函数f(x)的定义域是{1,2,3},值域是{1,2}.
答案: {1,2,3} {1,2}
6.设f(x)=,则f(f(a))________.
解析: f(f(a))===.
答案: (a≠0,且a≠1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.求下列函数的定义域.
(1)y=+;
(2)y=.
解析: (1)由已知得⇒
∴函数的定义域为.
(2)由已知得:
∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,
得x≠-3,x≠-1.
∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).
8.已知函数f(x)=-,
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求f(-1), f(12)的值.
解析: (1)根据题意知x-1≠0且x+4≥0,
∴x≥-4且x≠1,
即函数f(x)的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).
(2)f(-1)=-=-3-.
f(12)=-=-4=-.
(10分)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)与f, f(3)与f;
(2)由(1)中求得结果,你能发现f(x)与f有什么关系?并证明你的发现;
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 013)+f+f+…+f.
解析: (1)∵f(x)=,
∴f(2)==,
f==,
f(3)==,
f==.
(2)由(1)发现f(x)+f=1.
证明如下:
f(x)+f=+
=+=1.
(3)f(1)==.
由(2)知f(2)+f=1,
f(3)+f=1,
…
f(2 013)+f=1,
∴原式=+=2 012+=
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