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新东方考研数学强化班新东方考研数学强化班主讲：胡主讲：胡 雷雷第1页第一章第一章函数、极限、连续第2页1.函数函数1.定义：设变量x在某实数R中任意取一个数时，另一变量y按一确定法则总有确定实数与其它对应，则称y是x函数，x成为自变量，R成为函数定义域，记作y=f(x),xR.注意：定义中有两个关键点：1定义域R，它表示自变量x取值范围.2对应法则f(),他表示给定x值，求y方法。第3页2.函数性态函数性态1.单调性判别方法方法（1）用定义本身,设 是否为正（或为负），从而推得f(x)是单调递增或者单调递减。方法（2）利用导数来进行判断,对可导函数y 而言，若 则y单调递增；若 ，则y单调递减。第4页2.函数性态函数性态2.奇偶性判别方法：方法（1）.定义本身就是奇偶性原理与方法f(x)=f(-x)，f(-x)=-f(x)。方法（2）.间接法1.奇函数导数必定是偶函数，偶函数导数是奇函数2.偶函数原函数中仅有一个是奇函数。第5页2.函数性态函数性态3.奇函数一切原函数都是偶函数。4.f(x)-f(-x)为奇函数，f(x)+f(-x)为偶函数。第6页2.函数性态函数性态3.周期性定义：f(x+T)=f(x)，则称f(x)是以T为周期周期函数。判别方法：方法1，定义本身就是一个最基本判别方法。只需计算f(x+T)是否等于f(x)即可。第7页2.函数性态函数性态方法2：间接法1.由sinx,cosx周期为 能够推出 sin2x,cos2x，2.f(x)是可导周期函数 仍为周期函 数（且周期不变）。第8页2.函数性态函数性态注意：f(x)周期为T，那么（1）.例1.第9页2.函数性态函数性态（2）.例2.第10页2.函数性态函数性态（3）.若 例3.若f(x)为连续周期为T奇函数，那 么 周期为T（因 为）第11页2.函数性态函数性态3.有界性判别方法：方法1：定义本身就是一个判别方法。不过值得注意是，方法原理即使很简单，但要找到M却十分困难，因为 本身包括不等式放大或缩小，技巧性极强。普通情况下，对此并不尤其要求，只需掌握基本，比如：由 在（-，+）上有界第12页2.函数性态函数性态方法2：间接法(1).若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上有界(2).若f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界(3).若f(x)在开区间(a,b)上连续，且 存在，存在 f(x)在开区间（a,b）上有界(4)若 在含x0区间上无界第13页2.函数性态函数性态第14页第15页第16页第17页第18页第19页第20页第21页第22页第23页第24页第25页第26页考研真题题型种类分析考研真题题型种类分析题型1.求题型2.求题型3.求 0型极限题型4.求-型极限题型5.求 0有界量型极限题型6.求题型7.极限中常数确定第27页考研真题题型种类分析考研真题题型种类分析题型8.函数性质（单调性，奇偶性等）题型9.无穷小比较或确定无穷小阶题型10.数列极限存在判定或证实或求解题型11.函数极限存在判定或证实或求解题型12.函数连续性讨论或证实题型13.函数间断点判定或证实题型14.与极限相关定理命题（介值定 理，保号性，单调有界等）第28页考研真题题型种类分析考研真题题型种类分析题型15.求n项和数列极限题型16.求函数表示式题型17.求函数值域题型18.数列收敛性判定或数列极限求解第29页题型题型1.求求1.第30页2.设 则 _.3.求极限.题型题型1.求求第31页题型题型2.求求1.求极限第32页2.题型题型2.求求第33页3.题型题型2.求求第34页题型题型3.求求 0型极限型极限1.第35页题型题型3.求求 0型极限型极限2.第36页题型题型3.求求 0型极限型极限3.第37页题型题型4.求求-型极限型极限1.第38页题型题型4.求求-型极限型极限2.第39页题型题型5.求求 0有界量型极限有界量型极限1.第40页题型题型6.求求1.第41页题型7.极限中常数确定1.若 则a等于第42页题型7.极限中常数确定2.若 则a=_，b=_.第43页题型题型8.函数性质（单调性，奇偶性等）函数性质（单调性，奇偶性等）1.函数 在以下哪个区间内有界 A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)第44页题型题型9.无穷小比较或确定无穷小阶无穷小比较或确定无穷小阶(1)当 时，与 等价无穷小量 是（）A.B.C.D.第45页题型题型9.无穷小比较或确定无穷小阶无穷小比较或确定无穷小阶(2)当 时，与 是等价无穷小，则 （A）（B）（C）（D）第46页题型题型9.无穷小比较或确定无穷小阶无穷小比较或确定无穷小阶(3)已知当 时，函数 与 是等价无穷小，则 （A）k=1,c=4 （B）k=1,c=-4 （C）k=3,c=4 （D）k=3,c=-4 第47页题型题型10.数列极限存在判定或证实或求解数列极限存在判定或证实或求解1.第48页题型题型11.函数极限存在判定或证实或求解函数极限存在判定或证实或求解1.设 0 求：（1）（2）第49页题型题型12.函数连续性讨论或证实函数连续性讨论或证实1.设函数 在（-，+）内连续，则c=_.第50页题型题型12.函数连续性讨论或证实函数连续性讨论或证实2.设 其导函数在 x=0 处连续，则 取值范围是_.第51页题型题型13.函数间断点判定或证实函数间断点判定或证实1.函数 可去间断点 个数为（）(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个第52页题型题型13.函数间断点判定或证实函数间断点判定或证实2.函数 无穷间断点为:(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.第53页题型题型13.函数间断点判定或证实函数间断点判定或证实3.函数 在-,上第一类间断点是x=_.(A)0 (B)1 (C)(D)第54页题型题型14.与极限相关定理命题（介值定与极限相关定理命题（介值定 理，保号性，单调有界等）理，保号性，单调有界等）1.设 在a,b上连续,且 (A)最少存在一点 (B)最少存在一点 (C)最少存在一点 (D)最少存在一点第55页题型题型14.与极限相关定理命题（介值定与极限相关定理命题（介值定 理，保号性，单调有界等）理，保号性，单调有界等）2.设函数f(x)在0，+）上可导，f(0)=0,且 证实：存在a0,使得 第56页题型题型16.求函数表示式求函数表示式1.设函数 f(x)在(-,+)上有定义，在区间 0,2上，若对任意 x 都满 足 其中 k 为常数，（1）写出f(x)在-2,0上表示式；（2）问k为何值时，f(x)在x=0处可导。第57页题型题型17.求函数值域求函数值域1.参考题型8.第58页题型题型18.数列收敛性判定或数列极限求解数列收敛性判定或数列极限求解1.设 则数列Sn有界是数列an收敛（）(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)非充分也非必要条件第59页题型题型18.数列收敛性判定或数列极限求解数列收敛性判定或数列极限求解4.证实：对任意正整数n，都有 成立；设 证实数列an收敛。第60页题型题型18.数列收敛性判定或数列极限求解数列收敛性判定或数列极限求解5.证实方程 在区间 内有且仅有一个实根；.记中实根为 xn，证实 存在，并求此极限。第61页题型题型18.数列收敛性判定或数列极限求解数列收敛性判定或数列极限求解3.第62页第63页第64页第65页第66页第67页第68页第69页第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学题型1.与导数或微分概念和性质相关命题题型2.求复合函数导数或微分题型3.求隐函数导数或微分题型4.函数极值或最值判定或求解题型5.函数拐点或者凹凸性判定或者求解题型6.求一元函数高阶导数题型7.函数在某一区间最少存在一点或者两点使某一式子成立判定或证实第70页第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学8.函数不等式或文字不等式证实或判定9.求一元函数在一点切线方程或法线方程10.求曲线渐进线11.函数图形相关命题12.方程根判定或证实第71页题型题型1.与导数或微分概念和性质相关命题与导数或微分概念和性质相关命题1.第72页题型题型1.与导数或微分概念和性质相关命题与导数或微分概念和性质相关命题2.设函数y=f(x)含有二阶导数，且 f(x)0,f(x)0,x为自变量x在点x0处增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应增量与微分 ，若x0，则（）（A）0dyy （B）0ydy （C）ydy0 （D）dyy0第73页题型题型1.与导数或微分概念和性质相关命题与导数或微分概念和性质相关命题3.已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则 （A）-2f(0)（B）-f(0)（C）f(0)（D）0第74页题型题型2.求复合函数导数或微分求复合函数导数或微分1.设函数f(x)在x=2某邻域内可导，且 f(x)=ef(x),f(2)=1,则 f(2)=_.第75页题型题型2.求复合函数导数或微分求复合函数导数或微分2.设函数第76页题型题型3.求隐函数导数或微分求隐函数导数或微分2.第77页题型题型4.函数极值或最值判定或求解函数极值或最值判定或求解1.设函数f(x),g(x)含有二阶导数，且 g(x)0.若g(x0)=a是g(x)极值，则 fg(x)在x0取极大值一个充分条件 是（）（A）f(a)0 （C）f(a)0第78页题型题型4.函数极值或最值判定或求解函数极值或最值判定或求解3.曲线 拐点是（）（A）(1，0)（B）(2，0)（C）(3，0)（D）(4，0)第79页12.方程根判定或证实方程根判定或证实3.设 则 零点个数为（）（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.第80页题型题型5.函数拐点或者凹凸性判定或者求解函数拐点或者凹凸性判定或者求解1.若曲线 有拐点（-1，0），则b=_.第81页题型题型5.函数拐点或者凹凸性判定或者求解函数拐点或者凹凸性判定或者求解2.设函数y=y(x)由方程 确定，试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近凹凸性。第82页题型题型6.求一元函数高阶导数求一元函数高阶导数1.第83页题型题型6.求一元函数高阶导数求一元函数高阶导数2.第84页参数方程导数参数方程导数1.第85页题型题型7.函数在某一区间最少存在一点或者两函数在某一区间最少存在一点或者两点使某一式子成立判定或证实点使某一式子成立判定或证实1.设函数f(x)在0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且第86页题型题型7.函数在某一区间最少存在一点或者两函数在某一区间最少存在一点或者两点使某一式子成立判定或证实点使某一式子成立判定或证实2.设函数f(x),g(x)在a,b上内二阶可导，且存在相等最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证实：第87页题型题型7.函数在某一区间最少存在一点或者两函数在某一区间最少存在一点或者两点使某一式子成立判定或证实点使某一式子成立判定或证实3.已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证实：第88页8.函数不等式或文字不等式证实或判定函数不等式或文字不等式证实或判定1.证实：第89页8.函数不等式或文字不等式证实或判定函数不等式或文字不等式证实或判定2.设f(x),g(x)在0,1上导数连续，且 f(0)=0,f(x)0,g(x)0.第90页8.函数不等式或文字不等式证实或判定函数不等式或文字不等式证实或判定3.证实：当0ab0）,求L方程第98页罗尔定理罗尔定理1.设f(x)在0,1三阶可导，且f(0)=f(1)=0.设F(x)=x2f(x),求证：在(0,1)内存在c，使得F(c)=0.第99页罗尔定理罗尔定理罗尔定理逆向使用过程中，需要找到原函数，下面对一些常见原函数进行归类。第100页罗尔定理罗尔定理1.求原函数时惯用公式第101页罗尔定理罗尔定理2.求原函数时惯用公式第102页罗尔定理罗尔定理假如原函数求不出来，前面方法就不适用了，这种情形下，有时把证实f(x)在（a,b）存在零点转为证实(x)f(x)在(a,b)存在零点，其中(x)在(a,b)内恒正，深入转化为证实(x)f(x)原函数F(x)（F(x)=(x)f(x)）导数F(x)在(a,b)存在零点（因为f(x)原函数求不出来，但(x)f(x)原函数可能求得出来）。第103页罗尔定理罗尔定理比如：证实f(x)+P(x)f(x)-Q(x)在(a,b)存在零点,等价于证实(x)f(x)+P(x)f(x)-Q(x)在(a,b)存在零点，其中(x)为(a,b)内任意恒正函数,受求解一阶线性方程积分因子法启发,取 时，有第104页罗尔定理罗尔定理这就转化证实辅助函数 导函数在(a,b)存在零点。第105页罗尔定理罗尔定理【例1】f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，f(a)=b,f(b)=a.求证：存在 使【例2】f(x)在1,2上连续，在(1,2)上可导，f(1)=1/2,f(2)=2.求证：存在属于(1,2)使第106页罗尔定理罗尔定理【例3】f(x)在a,b连续，(a,b)上可导，f(a)=f(b)=0.求证存在属于(a,b),使f()=f()分析：以上三题要证结论分别是 （1）f()+f()=0 （2）f()-2f()=0 （3）f()-f()=0第107页第108页第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学题型1.求不定积分或原函数题型2.已知函数图形判断原函数图形题型3.定积分计算题型4.定积分比较题型5.定积分等式或不等式判定或证实题型6.求平面图形面积题型7.求旋转体体积第109页第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学题型8.函数与其原函数性质判定或证实题型9.求含有定积分或变上限积分方程题型10.反常积分计算或收敛性判定题型11.定积分应用第110页题型题型1.求不定积分或原函数求不定积分或原函数1.求第111页题型题型1.求不定积分或原函数求不定积分或原函数2.计算不定积分第112页题型题型1.求不定积分或原函数求不定积分或原函数3.求第113页题型题型1.求不定积分或原函数求不定积分或原函数4.已知 且 f(x)=_.第114页一元函数积分学一元函数积分学1.求第115页题型题型15.求求n项和数列极限项和数列极限1.第116页一元函数积分学一元函数积分学2.求第117页题型题型3.求隐函数导数或微分求隐函数导数或微分1.设可导函数y=y(x)由方程第118页题型题型4.函数极值或最值判定或求解函数极值或最值判定或求解2.求函数 单调区间与极值。第119页5.求一元函数积分学一元函数积分学第120页5.分析：利用惯用结论一元函数积分学一元函数积分学第121页6.求一元函数积分学一元函数积分学第122页5.解：一元函数积分学一元函数积分学第123页5.请熟悉以下结论：一元函数积分学一元函数积分学第124页5.请熟悉以下结论：一元函数积分学一元函数积分学第125页5.请熟悉以下结论：一元函数积分学一元函数积分学第126页7.求一元函数积分学一元函数积分学第127页8.一元函数积分学一元函数积分学第128页9.求求f(x)表示式一元函数积分学一元函数积分学第129页10.设f(x)连续，且一元函数积分学一元函数积分学第130页1.设函数y=f(x)在区间-1,3上图形为 题型题型2.已知函数图形判断原函数图形已知函数图形判断原函数图形第131页题型题型2.已知函数图形判断原函数图形已知函数图形判断原函数图形1.第132页题型题型3.定积分计算定积分计算1.设 第133页题型题型3.定积分计算定积分计算2.设 则第134页题型题型3.定积分计算定积分计算3.第135页题型题型3.定积分计算定积分计算4.第136页题型题型4.定积分比较定积分比较1.设 则I,J,K大小关系是（）（A）IJK （B）IKJ （C）JIK （D）KJ0.已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及 x=t(t1)所围成曲边梯形绕x轴旋转一周 所得立体体积值是该曲边梯形面积值 t倍，求改曲线方程。第171页例题【1】设y=ex(c1sinx+c2cosx)为某二阶线性常系数齐次方程通解,求该微分方程。分析：考查线性方程性质.第172页解法(1)：由题设知y1=exsinx,y2=excosx是该方程两个线性无关解。它们所对应特征根为1=1+i,2=1-i.特征方程为 (-(1+i)(-(1-i)=2-2+2=0 故所求方程为y-2y+2y=0.第173页解法(2)：y1=(exsinx)=ex(sinx+cosx),y1=2excosx y2=(excosx)=ex(sinx-cosx),y2=-2exsinx 分别代入y+a1y+a2y=0得 故所求方程为y-2y+2y=0.第174页例题【2】设有三个不一样y1，y2，y3是某二阶线性非齐次方程解，求其通解。第175页分析：由线性非齐次方程任“两个 解差”必是对应齐次方程 解，这个结论很显然，直 接，主要！这就是线性方程 性质。第176页第177页第178页第179页第180页第五章第五章 多元函数微分学多元函数微分学题型1.多元函数在一点偏导数存在判定题型2.求多元复合函数偏导，全导或 全微分题型3.多元函数极值判定或求解或应用题型4.二元函数在一点可微判定或求解第181页题型题型1.多元函数在一点偏导数多元函数在一点偏导数存在判定存在判定1.第182页题型题型2.求多元复合函数偏导求多元复合函数偏导、全导或全微分全导或全微分1.设二元函数第183页题型题型2.求多元复合函数偏导求多元复合函数偏导、全导或全微分全导或全微分2.函数f(u,v)由关系式 fxg(y),y=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)0,则第184页题型题型2.求多元复合函数偏导求多元复合函数偏导、全导或全微分全导或全微分3.函数z=f(x,y)满足第185页题型题型2.求多元复合函数偏导，求多元复合函数偏导，全导或全微分全导或全微分4.设函数f(u)可微，且f(0)=1/2,则 z=f(4x2-y2)在点(1,2)处全微分第186页题型题型2.求多元复合函数偏导，求多元复合函数偏导，全导或全微分全导或全微分5.设f(u,v)是二元可微函数，第187页题型题型2.求多元复合函数偏导，求多元复合函数偏导，全导或全微分全导或全微分6.设z=z(x,y)是由方程x2+y2-z=(x+y+z)所 确定函数，其中含有二阶导数，且 -1时.(1)求dz (2)第188页题型题型3.多元函数极值判定或求解多元函数极值判定或求解或应用或应用1.设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y1(x,y)0 已知（x0,y0）是f(x,y)在约束条件(x,y)=0下 一个极值点，以下选项正确是（）（A）若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0 （B）若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)0 （C）若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)=0 （D）若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0第189页题型题型3.多元函数极值判定多元函数极值判定或求解或应用或求解或应用3.设函数z=f(x,y)全微分为dz=xdx+ydy,则点（0,0）（）（A）不是f(x,y)连续点 （B）不是f(x,y)极值点 （C）是f(x,y)极大值点 （D）是f(x,y)极小值点第190页题型题型3.多元函数极值判定多元函数极值判定或求解或应用或求解或应用3.已知函数f(x,y)在点（0,0）某个邻域内 连续，且 （A）点（0,0）不是f(x,y)极值点 （B）点（0,0）是f(x,y)极大值点 （C）点（0,0）是f(x,y)极小值点 （D）依据所给条件无法判断点（0,0）是否为f(x,y)极值点 第191页题型题型4.二元函数在一点可微判定二元函数在一点可微判定或求解或求解1.第192页题型题型4.二元函数在一点可微判定二元函数在一点可微判定或求解或求解2.第193页题型题型4.二元函数在一点可微判定二元函数在一点可微判定或求解或求解第194页第195页第196页第197页第198页第六章第六章 多元函数积分学多元函数积分学题型1.二重积分计算题型2.二重积分交换积分次序题型3.二重积分比较第199页题型题型1.二重积分计算二重积分计算1.第200页题型题型1.二重积分计算二重积分计算2.f(x)在0,1有连续导数，f(0)=1,且第201页题型题型1.二重积分计算二重积分计算3.第202页题型题型1.二重积分计算二重积分计算1.第203页题型题型2.二重积分交换积分次序二重积分交换积分次序1.第204页题型题型2.二重积分交换积分次序二重积分交换积分次序2.第205页题型题型3.二重积分比较二重积分比较1.第206页题型题型3.二重积分比较二重积分比较2.设区域 f(x)为D上正值连续函数，a,b为常 数，则第207页题型题型3.二重积分比较二重积分比较3.如图，正方形 被其对角线划分 为四个区域 （A）I1（B）I2（C）I3（D）I4第208页题型题型3.二重积分比较二重积分比较4.设函数f连续，若 其中Du,v为图中 阴影部分，则第209页(A)vf(u2)(B)v/uf(u2)(C)vf(u)(D)v/uf(u)题型题型3.二重积分比较二重积分比较第210页第211页第212页第213页第214页第215页第216页第217页第七章第七章 无穷级数无穷级数题型1.无穷级数敛散性判定题型2.无穷级数和题型3.求函数幂级数展开，求幂级数收敛域或收敛半径或函数第218页题型题型1.无穷级数敛散性判定无穷级数敛散性判定1.第219页题型题型1.无穷级数敛散性判定无穷级数敛散性判定2.第220页题型题型1.无穷级数敛散性判定无穷级数敛散性判定3.第221页题型题型1.无穷级数敛散性判定无穷级数敛散性判定4.第222页题型题型2.无穷级数和无穷级数和1.第223页题型题型2.无穷级数和无穷级数和2.第224页题型题型2.无穷级数和无穷级数和3.第225页题型题型3.求函数幂级数展开，求幂级数求函数幂级数展开，求幂级数收敛域或收敛半径或函数收敛域或收敛半径或函数1.第226页题型题型3.求函数幂级数展开，求幂级数求函数幂级数展开，求幂级数收敛域或收敛半径或函数收敛域或收敛半径或函数2.第227页题型题型3.求函数幂级数展开，求幂级数求函数幂级数展开，求幂级数收敛域或收敛半径或函数收敛域或收敛半径或函数3.第228页第八章 经济学相关应用题型1.弹性相关知识考查题型2.边际函数与最优解相关知识考查第229页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用定义：设函数y=f(x)在x可导，则称导数f(x)为f(x)边际函数。f(x)在x0处值f(x0)为边际函数值。第230页例例1.微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用第231页例2微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用第232页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用我们在边际分析中，讨论函数改变率与函数改变量均属于绝对误差范围内讨论，在经济问题中，仅仅用绝对误差概念不能对问题进行深入分析，比如：甲商品每单位价格10元，涨价1元，乙商品每单位价格200元，也涨价1元，两种商品价格绝对改变量都是1元，哪个商品涨价幅度更大呢？第233页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用我们只要用他们与原价格相比就能取得问题解答，甲商品涨价10%,乙商品涨价为0.5%，显然甲商品涨价幅度比乙商品涨价幅度更大，所以，有必要研究函数相对改变量与相对改变率。第234页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用例3.设函数为y=x2 ,当x从4增加到5时，对应y从16增加到25，即自变量x绝对增加量x=1，函数y绝对增量y=9,又第235页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用即当x=4增加到x=5时,x增加了25%,y对应增加了56.25%，我们分别称x/x与y/y为自变量与函数相对改变量（或相对增量）。假如在本例中，在引入下式第236页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用定义：设函数y=f(x)在x处可导，函数相对改变量与自变量相对改变量 称为 函数f(x)从x到x+x 两点间弹性，当 x0时，极限称为f(x)在x处 弹性，记作yx,即第237页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用即 因为yx也为x函数，故也称它为f(x)弹性函数。第238页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用需求价格弹性和总收益需求价格弹性和总收益 因为需求函数普通为价格递减函数，它边际函数小于零，故其价格弹性取负值，所以，在经济学中要求需求价格弹性为：第239页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用这么，需求价格弹性便取正值，即使如此，我们在对需求价格弹性作经济意义解释时，也应了解为需求量改变与价格改变是反方向，假如某商品为适应市场需求欲适当降低价格时，会不会降低其收益呢？即使价格会使单位商品降低收益，但降价会使销售量增加，反而可能使总收益增加。第240页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用依据需求价格弹性定义应有以下结论：结论 若需求量相对增加大于价格相对降低，则总收益要增加。经济学中有以下定义：若商品需求价格弹性DP1，则该商品需求量对价格富有弹性，即价格改变将引发需求量较大改变；若DP=1，则商品含有单位弹性，即价格上升百分数与第241页微积分在经济学中应用微积分在经济学中应用 需求下降百分数相同；若DP0).（2）并用弹性Ed说明价格在何范围内改变 时，降低价格反而使收益增加。第261页第262页第263页第264页第九章第九章 向量与曲线积分、曲面积分向量与曲线积分、曲面积分题型1.空间曲线旋转方程以及与向量相关知识点考题题型2.三重积分题型3.第一类曲线积分题型4.第二类曲线积分题型5.格林公式题型6.求曲面表面积题型7.第一类曲面积分第265页第九章第九章 向量与曲线积分、曲面积分向量与曲线积分、曲面积分题型8.第二类曲线积分题型9.高斯公式题型10.斯托克顿公式第266页题型题型1.空间曲线旋转方程以及与向量空间曲线旋转方程以及与向量相关知识点考题相关知识点考题1.椭球面S1是椭圆 绕x轴旋转而 成，圆锥面S2是过点(4,0)且与椭圆 相切直线绕x轴旋转而成。（1）求S1及S2方程 （2）求S1与S2之间立体体积第267页题型题型1.空间曲线旋转方程以及与向量空间曲线旋转方程以及与向量相关知识点考题相关知识点考题2.点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0 距离z=_.第268页题型题型2.三重积分三重积分1.第269页题型题型3.第一类曲线积分第一类曲线积分1.已知曲线 第270页题型题型4.第二类曲线积分第二类曲线积分1.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中 部分，则曲线积分第271页题型题型4.第二类曲线积分第二类曲线积分1.计算曲线积分 其中L是曲线y=sinx上从点（0,0）到 点（,0）一段。第272页题型题型5.格林公式格林公式1.已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 x2+y2=2x到点（2,0），再沿圆周 x2+y2=4到点（0,2）曲线段，计算曲线积分第273页题型题型7.第一类曲面积分第一类曲面积分1.第274页题型题型7.第一类曲面积分第一类曲面积分2.设曲面 则第275页题型题型9.高斯公式高斯公式1.计算曲面积分 其中是曲面z=1-x2-y2(z0)上侧第276页题型题型9.高斯公式高斯公式2.设是由锥面 与半球面 围成空间区域，是整个边界外侧，则第277页题型题型9.高斯公式高斯公式3.设曲面是 上侧 则第278页第279页第280页第281页第282页第283页第284页第285页第286页第287页第288页第289页第290页第291页第292页第293页第294页第295页第296页第297页第298页第299页第300页第301页第302页第303页第304页第305页第306页第307页