高一数学下册暑假知识点梳理检测题18.doc

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第三十六讲　直接证明与间接证明
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证明法
解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
故选B.
答案：B
2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为(　　)
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn≤xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1”的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选B.
答案：B
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
答案：D
4．已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是(　　)
A.<1　　　　　　　 B．a2>b2
C．|a＋b|>|a－b| D.>
解析：<1⇔<0⇔a(a－b)>0.
∵a>b，∴a－b>0.而a可能大于0，也可能小于0，
因此a(a－b)>0不一定成立，即A不一定成立；
a2>b2⇔(a－b)(a＋b)>0，
∵a－b>0，只有当a＋b>0时，a2>b2才成立，故B不一定成立；
|a＋b|>|a－b|⇔(a＋b)2>(a－b)2⇔ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；
由于>⇔>0⇔(a－b)·a2b2>0.
∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确．故选D.
答案：D
5．(2009·杭州市模拟)已知函数f(x)＝x，a，b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：因为当a，b∈(0，＋∞)时，≥≥，且函数f(x)＝x，在R上为减函数，所以A≤B≤C，故选A.
答案：A
6．设0<x<1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是(　　)
A．a B．b
C．c D．不能确定
解析：易得1＋x>2>.
∵(1＋x)(1－x)＝1－x2<1，又0<x<1，即1－x>0.
∴1＋x<.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．否定“任何三角形的外角都至少有两个钝角”其正确的反设应是________．
解析：本题为全称命题，其否定为特称命题．
答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角
8．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．
解析：y2＝()2＝a＋b＝>＝x2.
答案：x<y
9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．
解析：因为a＋b＝(a＋b)＝＋＋10≥16(当且仅当＝，即b＝3a时取等号)，a＋b≥μ恒成立⇔μ≤(a＋b)min，
所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，
故0<μ≤16.
答案：(0,16]
10．(原创题)如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是________．
解析：∵a＋b>a＋b⇔(－)2·(＋)>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知a，b，c是不等正数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
证明：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋.
12．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.
求证： ＋≤2.
证明：要证 ＋≤2.
只要证：a＋＋b＋＋2≤4，
∵由已知知a＋b＝1，
故只要证： ≤1，
只要证：(a＋)(b＋)≤1，
只要证：ab≤，
∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴ab≤，
故原不等式成立．
13．(2010·浦东模拟)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边．求证：＋＝.
解：要证明＋＝，只需证明＋＝3，只需证明＋＝1，只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需证明c2＋a2＝ac＋b2.
∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°，
则余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，
∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命题成立，得证．

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