2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题38.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　由得交点坐标为(0,0)，(1,1)．
因此所求图形面积为S＝(x2－x3)dx
＝＝.
2.

如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝sinxdx＝－cosx|＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是＝＝.
3．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx等于(　　)
A．0 B．4
C．8 D．16
[答案]　D
[解析]　∵原函数为偶函数，
∴在y轴两侧的图像对称．
∴对应的面积相等．
原式＝2f(x)dx＝8×2＝16.
4．若(2x＋)dx＝3＋ln2，且a>1，则a的值为(　　)
A．6 B．4
C．3 D．2
[答案]　D
[解析]　(2x＋)dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1，
故有a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2.
5．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
[答案]　B
[解析]　F ′(x)＝x(x－4)
令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，
由F ′(x)得F(x)＝x3－2x2.
∵F(－1)＝－，F(0)＝0，
F(4)＝－，F(5)＝－.
∴最大值为0，最小值为－.
6．(2013·北京高考)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)
A. B．2
C. D.
[答案]　C
[解析]　依题意，l的方程为y＝1，它与抛物线相交弦的长为4，所求的面积S＝4－2dx＝4－2·|＝.选C.

二、填空题
7. |x＋2|dx＝________.
[答案]　
[解析]　原式＝(－x－2)dx＋ (x＋2)dx＝.
8．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a，则a＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查了定积分求解封闭图形的面积．S＝
dx＝x|＝a＝a，解得a＝.
9．(2013·湖南高考)若x2dx＝9，则常数T的值为________．
[答案]　3
[解析]　本题考查了积分的运算．
x2dx＝|＝＝9，∴T＝3.
三、解答题
10．求下列定积分：
(1)(x2－x)dx；

[解析]　(1)(x2－x)dx＝＝－.

能力强化训练
一、选择题
1．与定积分∫dx相等的是(　　)
A.∫sindx B.∫|sin|dx
C．|∫sindx| D．以上结论都不对
[答案]　B
[解析]　∵1－cosx＝2sin2，
∴∫dx
＝∫|sin|dx＝∫|sin|dx.
2．定积分dx的值为(　　)
A．9π B．3π
C.π D.π
[答案]　C
[解析]　由定积分的几何意义知dx是由曲线y＝，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故dx＝＝π.故选C.
二、填空题
3．计算定积分(x2＋sinx)dx＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查了定积分的知识，
(x2＋sinx)dx＝(x3－cosx)|
＝－cos1－(－－cos1)＝.
4．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)，则a＝________.
[答案]　－1或
[解析]　 f(x)dx＝－1(3x2＋2x＋1)dx
＝(x3＋x2＋x)|＝4＝2f(a)．
f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，
解得a＝－1或.
三、解答题
5．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动．求：
(1)t＝4s的位置；
(2)在t＝4s内运动的路程．
[解析]　(1)在时刻t＝4时该点的位置为
(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|
＝(m)，
即在t＝4s时刻该质点距出发点m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＋|(t3－2t2＋3t)||＋(t3－2t2＋3t)|
＝＋＋＝4(m)
即质点在4s内运动的路程为4m.
6．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c　(a≠0)，
则f ′(x)＝2ax＋b.
由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得
，即，
∴f(x)＝ax2＋(2－a)．
又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx
＝[ax3＋(2－a)x]|＝2－a＝－2，∴a＝6，
从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；
当x＝±1时，f(x)max＝2.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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