高二数学下册同步强化训练题30.doc

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专题8 概率与统计
第4讲 排列、组合与二项式定理（理）
一、选择题
1．从10名大学毕业生中选3人，担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85　　　　 B．56　　　　
C．49　　　　 D．28
[答案]　C
[解析]　丙不入选的选法有C＝＝84(种)，
甲乙丙都不入选的选法有C＝＝35(种)．
所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84－35＝49种．
2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　　)
A．504种 B．960种
C．1008种 D．1108种
[答案]　C
[解析]　甲、乙相邻的所有方案有AA＝1440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：AA＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有4AA＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1440－2×240＋48＝1008种，故选C.
3．(2011·陕西二检)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有(　　)
A．6种 B．12种
C．16种 D．24种
[答案]　D
[解析]　第一步，选出1门作为甲、乙两人相同的选修课程，不同的选择方法有C种；第二步，再从剩下的3门中任选2门分别给甲、乙两人，不同的选择方法有A种，由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有CA＝24种．故选D.
4．(2011·福建理，6)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)
A．80 B．40
C．20 D．10
[答案]　B
[解析]　(1＋2x)5展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝2得T3＝40x2，∴x2的系数为40，故选B.
5．(2011·陕西理，4)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)
A．－20 B．－15
C．15 D．20
[答案]　C
[解析]　Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r
＝C(－1)r2(12－3r)x
令12－3r＝0，∴r＝4，∴T5＝C＝15.
6．(2011·江南十校联考)若(x2－)9(a∈R)的展开式中x9的系数是－，则sinxdx等于(　　)
A．1－cos2 B．2－cos1
C．cos2－1 D．1＋cos2
[答案]　A
[解析]　由题意得Tr＋1＝C(x2)9－r(－1)r()r
＝(－1)rCx18－3r，令18－3r＝9得r＝3，
所以－C＝－，解得a＝2，
所以sinxdx＝(－cosx)|＝－cos2＋cos0＝1－cos2.
7．(2011·大纲全国卷文，9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(　　)
A．12种 B．24种
C．30种 D．36种
[答案]　B
[解析]　从4人中任选2个选修甲课程共有C＝6种选法．
其余2人各自从乙、丙课程中任选1门有C·C＝4种选法，根据分步计数原理共有6×4＝24种选法．
8．(2011·新课标卷理，8)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)
A．－40 B．－20
C．20 D．40
[答案]　D
[解析]　依题意：(1＋a)(2－1)5＝2，得a＝1.
所以(x＋)(2x－)5＝x(2x－)5＋(2x－)5.
∴xC(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－r·Cx6－2x，
∴r＝3时，得常数(－1)323C＝－40，
∴C(2x)5－r(－)5＝(－1)r·25－rCx4－2r，
∴r＝2时得常数(－1)2·22C＝80.
所以常数项为80－40＝40，故选D.
二、填空题
9．(2011·安徽理，12)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
[答案]　0
[解析]　a10＝C(－1)11＝－C，a11＝C(－1)10＝C，所以a10＋a11＝C－C＝C－C＝0.
10．(2011·北京理，12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
[答案]　14
[解析]　依题意：①一个2三个3的四位数有4个；②两个2两个3的四位数有C＝6个；③三个2一个3的四位数有4个，合计14个．
11．(2011·山东泰安)从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________(用数字作答)．
[答案]　8424
[解析]　问题分为两类：一类是字母O、Q和数字0出现一个，则有(C·C·C＋C·C)·A种；另一类是三者均不出现，则有C·C·A种．故共有(CCC＋C·C＋C·C)·A＝8424种．
12．(2011·山东理，14)若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
[答案]　4
[解析]　依题意，通项Tr＋1＝Cx6－r·(－)r
＝(－1)r·Cx6－3r·a.
当r＝2时，为常数项，此时有：C·a＝60，∴a＝4.
三、解答题
13．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
[解析]　(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCC×A＝144种．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
(3)确定2个空盒有C种方法．
4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CC12种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法．
故共有C(CCA＋·A)＝84种．
14．在二项式(＋)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
[解析]　∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，n(n－1)，
∴2·＝1＋n(n－1)，
解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)．
∴Tk＋1＝Cx()k＝C2－kx4－k.
当4－k∈Z时，Tk＋1为有理项，
∵0≤k≤8且k∈Z，∴k＝0,4,8符合要求．
故有理项有3项，分别是
T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.
∵n＝8，∴展开式中共9项，
中间一项即第5项的二项式系数最大．T5＝x.
15．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
(3)可组成多少个能被3整除的四位数？
[解析]　(1)直接法：A·A＝300；间接法：A－A＝300；
(2)由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待．
解法一(直接法)：0在个位的四位偶数有A个；0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位，应有A·A·A个．
综上所述，共有A＋A·A·A＝156个．
解法二(间接法)：从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法．有A·A，其中第一位是0的有A·A个，故适合题意的数有A·A－A·A＝156个．
(3)各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，符合题意有：
①含0、3则需1,4和2,5各取1个，可组成C·C·C·A；
②含0或3中一个，均不适合题意；
③不含0、3，由1,2,4,5可组成A个，所以共有C·C·C·A＋A＝96个．

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