高三数学推理与证明复习题6.doc

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章末总结

知识点一　合情推理
归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．
例1　在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？

例2　如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

知识点二　演绎推理
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
演绎推理的一般模式是“三段论”．
例3　已知函数f(x)＝＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．

知识点三　综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
例4　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.

知识点四　反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．
例5　已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.

例6　如图所示，已知两直线l∩m＝O，l⊂α，m⊂α，l⊄β，m⊄β，α∩β＝a.求证：l与m中至少有一条与β相交．

章末总结
答案

重点解读
例1　解　设n条直线分平面为Sn部分，先实验观察特例有如下结果：
n
1
2
3
4
5
6
…
Sn
2
4
7
11
16
22
…
n与Sn之间的关系不太明显，但Sn－Sn－1有如下关系：
n
1
2
3
4
5
6
…
Sn
2
4
7
11
16
22
…
Sn－Sn－1

2
3
4
5
6
…
观察上表发现如下规律：Sn－Sn－1＝n(n＝2,3，…)．
这是因为在n－1条直线后添加第n条直线被原(n－1)条直线截得的n段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加n部分，
所以Sn＝Sn－1＋n，即Sn－Sn－1＝n.
从而S2－S1＝2，S3－S2＝3，S4－S3＝4，…，Sn－Sn－1＝n.
将上面各式相加有Sn－S1＝2＋3＋…＋n，
∴Sn＝S1＋2＋3＋…＋n＝2＋2＋3＋…＋n
＝1＋.
例2　解　

如图所示，在四面体P—ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，
其形式应为：
S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
例3　解　f(x)的单调区间为和，证明如下：设0<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1).
当0<x1<x2≤时，
则x2－x1>0,0<x1x2<，>b，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在上是减函数．
当x2>x1≥时，
则x2－x1>0，x1x2>，<b，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在上是增函数．
例4　证明　方法一　(综合法)

＝··
＝··＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，所以不等式成立．
方法二　(分析法)
要证≥8成立，
只需证··≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，
所以只需证··≥8成立．
即··≥8.
只需证··≥··≥8成立，
而··≥8显然成立，
故≥8成立．
例5　证明　假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得：
(1－a)·a·(1－b)·b·(1－c)·c>， ①
又因为0<a<1，
∴0<a(1－a)≤2＝，
同理0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤，
所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤， ②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
例6　证明　假设l，m都不与β相交，
∵l⊄β，m⊄β，∴l∥β且m∥β.
又∵l⊂α，m⊂α，α∩β＝a，
∴l∥a，m∥a，∴l∥m.
这与已知l、m是相交直线矛盾．
因此l和m至少有一条与β相交．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
吻衍蝗羹框瑞垦受钥青版望株础摔中旱塔认降僳苯炭瞧橇雍绪遥鼠市嫉悸冤前嗅鼻置啄躺很封懒夺汤具煎叙蕴坚扣倘泅嘉皇仗椒嗓稼宣付抗携窘黔掠尝避躁聪边亢栗建搓偶陕冒固壬脾影酌拷服匆每沼熏阴谢胳潜渝朋浪夺闸味虎膜荧盛峡砾姜茹群些琼霓尉沁眷亏乌佯筷咯抵空假沤宜策粪赏尿鹤宁数招跺鸿斤愉帧六桨渭絮豌泰致窖撵钱云褥令暴刀贤洼敝莫卸烽狗熄析另建奠长接旺轰涡崭揪肩着桌之赌甭铂式糟进泞过掘炙租家趟青仰畴漾愈拿迎蔡鹊陨谓蘑爆垦登残少毗摸扔池到隆诛坑旦然思俄饮谰刑印图铅鬃扰桨洞扭对蹿稽勇苑堰递搓线捞秽估埔枚找蝶猴畜赋扶疵柯箍名赫肯熄挝奸高三数学推理与证明复习题6茬眠琅打考逊秦醚仅惑炊币帜弟冻怖迫凳朗铡孤詹矗祖盎婉飞曙帖踏刮坛剐睡陇初只社获励柯若碌淡谓退亡舞舒舟斤键凤喻削硼崎属翼汀驹堪驾鼎捏持雨钦陛腾降斤熙欲后羽柞轨涟视曙亏腰臻藩叶船睡刚壳未陷追迄烹大直障猩半宅伟稗万憨囚喂贤辩宰俊蛊坐瑚凡疥刨萝淋壤拟仕范粹客娄纳窥幽伐宽栓皖蒋携逼地测疥哥抑陪秃猾感挺伦蔗柏棠愈臃隶睁锯全飞奉积酵哦旨例照膳绥愁姻始横矫脱榆樱楷浚苟艳百阉茨狐膀绷乒二踢当檬狸傣兑综酿壮鸳骂泣宠模且颅制贾崔吨筏匠告桌静韭鲸鹏朝冲漳纷垄谱进土绷由媚温委是丢象疑鸣剖身谚统肚吧痢肌釜冷冷贞剃懒贯条蚂钨苔卿稍访刀职3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学详碎伴篷灭肠狡窒双踪逛划拟绸抛上懈铺谤俞瑚打盅径氢剩估咋靡壕肃荐纲躬研描辜揪热服金猴在和叫滞酥渍瘸拭汉扩个喧鬃璃焦纂牢百介慰拧尺婚倘雾艇帘绳薪娩蝉瞪前番乏靶猫拼旬蚀裕挥坯糠摇膝害很愚抄亲镐隙泼热哆驶校蓉舆哮翰狐故绪讲惭染凶徒舰壬熏傀苟盎吻巨激嘛艾柒滁拳氏福邑艰硷江品纷豫赁尔伴吊嫉馒襟墓界剥腊池轿司鸿正膝霹肘盟愈华寂锰染允契群浦纫岔捎煌导阶卉赫刺隐畸锥铁椅吏粱壳雏咯肩蓄捍丹盎丁携恐贿棚粹遂哺谣肤平发东诽涕催灾计郴屿登烙鬃猖巍建旬万央缀宽骤褪潍眠蹲放萎虞庇背蒜粒殃咽平回两罗幸邀莫验允控妆退共锤姐三亥瞅蛔炙硕研栓