湖北省宜昌市2015-2016学年高一数学上册12月月考试题.doc

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2015-2016学年湖北省宜昌市夷陵区小溪塔高中高一（上）12月月考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．全集U={x∈Z|0＜x≤8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（　　）
A．{5，7} B．{2，4} C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7}

2．15°的弧度数是（　　）
A． B． C． D．

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）
A．y=|x|，y= B．y=×，y=
C．y=1，y= D．y=|x|，y=（）2

4．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是（　　）
A．1.5π B．2.5 C．3π D．5

5．集合A={a2，2a﹣1}，若sin90°∈A，则实数a=（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0

6．已知角α的终边在射线y=﹣上，那么sinα等于（　　）
A． B． C． D．

7．已知tanα=，则等于（　　）
A． B． C．﹣7 D．7

8．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）

9．已知sin（α﹣）=，则cos（）=（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．

10．，，，则tanα=（　　）
A． B． C． D．

11．已知函数，x∈[0，π]，则f（x）的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．

12．设f（x）=，且满足fn（x）=f（fn﹣1（x）），n∈N*，若f0（x）=f（x），则f2015（0）=（　　）
A．0 B． C． D．2015

二、填空题：本大题共4小题，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13．求值：sin120°+cos150°=　　　　　　．

14．已知sinα=，α∈（，π），则tanα=　　　　　　．

15．函数y=2sinx（x∈[0，π]）的值域为　　　　　　．

16．若x∈[0，π），则sinx＜的x取值范围为　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算4；
（2）化简f（α）=．

18．已知角θ的终边经过点P（﹣3a，4a），
（1）当a=1时，求sinθ﹣2cosθ的值；
（2）若sinθ=﹣，求3tanθ+5cosθ的值．

19．已知tan2x﹣tanx﹣6=0，且x为第四象限角，试求：
（1）sinxcos（π﹣x）的值；
（2）2cosx﹣sinx的值．

20．已知f（x）=cos（x+）．
（1）f（）+f（）的值；
（2）若f（x）=，求sin（﹣x）+4cos2（+x）的值；
（3）若x∈（﹣，]，求f（x）的值域．

21．已知函数f（x）=sin2x+cosx﹣1，．
（1）求y=f（x）的值域；
（2）若f（x）﹣a=0有两个不相等的实根，求a的取值范围．

22．设函数f（x）=ax2﹣bx+3，y=f（x）在x∈（﹣∞，1]单调递增，在x∈[1，+∞）单调递减，且有最大值4．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设若g（2+sinθ）≥m2﹣m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围．

2015-2016学年湖北省宜昌市夷陵区小溪塔高中高一（上）12月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．全集U={x∈Z|0＜x≤8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（　　）
A．{5，7} B．{2，4} C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；分析法；集合．
【分析】由集合M，N求出M并N，然后求出全集U，则∁U（M∪N）可求．
【解答】解：由全集U={x∈Z|0＜x≤8}={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，
得M∪N={1，3，5，7}∪{5，6，7}={1，3，5，6，7}，
则∁U（M∪N）={2，4，8}．
故选：C．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．

2．15°的弧度数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】弧度与角度的互化．
【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．
【分析】直接利用角度与弧度互化，求解即可．
【解答】解：∵π=180°，
∴=15°．
故选：A．
【点评】本题考查角度与弧度的互化，是基础题．

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）
A．y=|x|，y= B．y=×，y=
C．y=1，y= D．y=|x|，y=（）2
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】计算题．
【分析】A中的两个函数具有相同的定义域和对应关系，故是同一个函数．而B、C、D中的两个函数的定义域不同，故不是同一个函数．
【解答】解：由于函数y=|x|和 y=具有相同的定义域和对应关系，故是同一个函数，故A满足条件．
由于函数y=×的定义域为{x|x＞2}，而y=的定义域为{x|x＞2，或x＜﹣2}，
故这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故B不满足条件．
由于函数y=1的定义域为R，而函数y= 的定义域为{x|x≠0}，故这两个函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故C不满足条件．
由于函数y=|x|的定义域为R，而函数y=（）2的定义域为 {x|x≥0}，故这两个函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故D不满足条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，属于基础题．

4．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是（　　）
A．1.5π B．2.5 C．3π D．5
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题．
【分析】由扇形面积公式得θr=θr2=5，先解出r值，即可得到θ值．
【解答】解：设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r，则由题意得 θr=θr2=5，
解得 r=2，θ=，
故选B．
【点评】本题考查扇形的面积公式，弧长公式的应用，得到θr=θr2=5 是解题的关键．

5．集合A={a2，2a﹣1}，若sin90°∈A，则实数a=（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】分别令a2=1或2a﹣1=1，求出a的值，结合元素的互异性判断即可．
【解答】解：若sin90°∈A，则1∈A，
∴a2=1，解得：a=±1，
a=1时：2a﹣1=1，不合题意，
a=﹣1时：2a﹣1=﹣3，符合题意，
若2a﹣1=1，解得：a=1，不合题意，
故实数a=﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了元素的互异性原则，考查三角函数值，是一道基础题．

6．已知角α的终边在射线y=﹣上，那么sinα等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】在角α的终边上任意取一点（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得结果．
【解答】解：∵角α的终边在射线y=﹣上，
∴在角α的终边上任意取一点（﹣1，），
则x=﹣1，y=，r=2，
∴sinα==，
故选：A．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，任意角的概念，考查计算能力，是基础题．

7．已知tanα=，则等于（　　）
A． B． C．﹣7 D．7
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanα=﹣，
∴原式===，
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

8．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】常规题型．
【分析】令函数f（x）=0得到lnx=﹣x，转化为两个简单函数g（x）=lnx，h（x）=﹣x，最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．
【解答】解：令f（x）=x+lnx=0，
可得lnx=﹣x，
再令g（x）=lnx，h（x）=﹣x，
在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，
可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），
从而函数f（x）的零点在（0，1），
故选B．

【点评】本题主要考查函数零点所在区间的求法．属基础题．

9．已知sin（α﹣）=，则cos（）=（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】运用﹣α、﹣α的诱导公式，计算即可得到．
【解答】解：sin（α﹣）=，即为
sin（﹣α）=﹣，
即有sin[﹣（+α）]=﹣，
即cos（）=﹣．
故选A．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查三角函数的诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

10．，，，则tanα=（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】把sinα与cosα代入sin2α+cos2α=1中，求出m的值，确定出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．
【解答】解：∵sinα=，cosα=，
∴sin2α+cos2α=1，即+=1，
解得：m=0或m=8，
当m=0时，sinα=﹣，cosα=，此时tanα=﹣；
当m=8时，sinα=，cosα=﹣，与α∈（﹣，0）矛盾，舍去，
则tanα=﹣，
故选：D．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

11．已知函数，x∈[0，π]，则f（x）的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．
【解答】解：函数=﹣sin（2x﹣），x∈[0，π]，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，
求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
结合x∈[0，π]，可得函数f（x）的增区间为[，]，
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．

12．设f（x）=，且满足fn（x）=f（fn﹣1（x）），n∈N*，若f0（x）=f（x），则f2015（0）=（　　）
A．0 B． C． D．2015
【考点】数列与函数的综合．
【专题】函数思想；归纳法；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x）…，归纳出fn+3（x）=fn（x），即可得出f2015（x）的表达式，进而得到f2015（0）=0．
【解答】解：f0（x）=f（x）=，
f1（x）=f（f（x））==，
f2（x）=f（f1（x））==x，
f3（x）=f（f2（x））=f（x）=f0（x），
f4（x））=f（f3（x））=f1（x），
…，
则fn+3（x）=fn（x），
故f2015（x）=f3×671+2（x）=f2（x）=x，
则f2015（0）=0．
故选A．
【点评】本题考查函数的性质，考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是解题的关键．

二、填空题：本大题共4小题，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13．求值：sin120°+cos150°=　0　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；规律型；函数思想；三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．
【解答】解：sin120°+cos150°=sin60°﹣cos30°=﹣=0．
故答案为：0．
【点评】本题可得诱导公式的应用三角函数的化简求值，考查计算能力．

14．已知sinα=，α∈（，π），则tanα=　﹣　．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．
【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，
则tanα==﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．

15．函数y=2sinx（x∈[0，π]）的值域为　[1，2]　．
【考点】指数型复合函数的性质及应用．
【专题】函数思想；数形结合法；转化法；函数的性质及应用．
【分析】先求出指数部分sinx的取值范围[0，1]，再根据指数函数的单调性，得出原函数的值域．
【解答】解：设u（x）=sinx，
当x∈[0，π]时，u（x）=sinx∈[0，1]，
所以，结合指数函数y=2x的单调性得，
①当sinx=1时，原函数取得最大值2，此时x=；
②当sinx=0时，原函数取得最小值1，此时x=0或π；
因此，函数y=2sinx（x∈[0，π]）的值域为[1，2]，
故答案为：[1，2]．
【点评】本题主要考查了指数型复合函数的值域，以及三角函数的图象和性质，属于基础题．

16．若x∈[0，π），则sinx＜的x取值范围为　[0，）∪（，π）　．
【考点】三角函数线．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的求值．
【分析】先令sinx=，解得x=或x=，再根据三角函数线得出不等式sinx＜的解集为[0，）∪（，π）．
【解答】解：当x∈[0，π）时，令sinx=得，
x=或x=，如右图，
要使sinx＜，由图可知，
x∈[0，）∪（，π），
故答案为：[0，）∪（，π）．

【点评】本题主要考查了三角函数线的应用，以及三角函数的求值，体现了数形结合的解题思想，属于基础题．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算4；
（2）化简f（α）=．
【考点】三角函数的化简求值；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】（1）直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可．
（2）直接利用诱导公式化简求解即可．
【解答】解：（1）4=9﹣3×（﹣3）+2=20．
（2）f（α）===﹣cosα．
【点评】本题考查有理指数幂的运算，对数的运算法则的应用，考查了诱导公式的应用，属于基础题．

18．已知角θ的终边经过点P（﹣3a，4a），
（1）当a=1时，求sinθ﹣2cosθ的值；
（2）若sinθ=﹣，求3tanθ+5cosθ的值．
【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．
【解答】解：（1）（1）当a=1时，角θ的终边经过点P（﹣3a，4a），即P（﹣3，4），x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，
∴sinθ==，cosθ==﹣，∴sinθ﹣2cosθ=﹣2（﹣）=2．
（2）若sinθ=﹣，r=|5a|，由 sinθ==﹣，∴a＜0，r=|5a|=﹣5a，
tanθ===﹣，cosθ==，
∴3tanθ+5cosθ=3•（﹣）+3=﹣1．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

19．已知tan2x﹣tanx﹣6=0，且x为第四象限角，试求：
（1）sinxcos（π﹣x）的值；
（2）2cosx﹣sinx的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．
【专题】函数思想；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）解tan2x﹣tanx﹣6=0结合x为第四象限角可得tanx=﹣2，弦化切可得sinxcos（π﹣x）=﹣，代值计算可得；
（2）由题意tanx==﹣2，sin2x+cos2x=1，解方程组结合x的范围可得．
【解答】解：（1）解tan2x﹣tanx﹣6=0可得tanx=3或tanx=﹣2，
又∵x为第四象限角，∴tanx=﹣2，
∴sinxcos（π﹣x）=﹣sinxcosx
=﹣=﹣=﹣=；
（2）∵tanx=﹣2，∴=﹣2，结合sin2x+cos2x=1
可解得或，
∵x为第四象限角，∴，
∴2cosx﹣sinx=
【点评】本题考查同角三角函数基本关系，涉及弦化切和方程组的解法，属中档题．

20．已知f（x）=cos（x+）．
（1）f（）+f（）的值；
（2）若f（x）=，求sin（﹣x）+4cos2（+x）的值；
（3）若x∈（﹣，]，求f（x）的值域．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由条件利用诱导公式化简所给的式子可得结果．
（2）由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得sin（﹣x）+4cos2（+x）的值．
（3）由x∈（﹣，]，利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵f（x）=cos（x+），∴f（）+f（）=cos（+）+cos（+ ）
=﹣sin+cos=．
（2）若f（x）=，则 cos（x+）=，令x+=θ，则x=θ﹣，cosθ=，
∴sin（﹣x）+4cos2（+x）=sin（﹣θ）+4cos2（+θ）=﹣cosθ+4sin2θ
=﹣+4（1﹣cos2θ）=﹣+4（1﹣）=．
（3）若x∈（﹣，]，则x+∈[﹣，]，cos（x+）∈[﹣，1]，
故f（x）的值域为[﹣，1]．
【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．

21．已知函数f（x）=sin2x+cosx﹣1，．
（1）求y=f（x）的值域；
（2）若f（x）﹣a=0有两个不相等的实根，求a的取值范围．
【考点】三角函数的最值；函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的求值．
【分析】（1）先化简函数的解析式，再根据余弦函数的值域，二次函数的性质求得f（x）的最值，可得函数的值域．
（2）由题意可得函数f（x）的图象和直线 y=a=0有两个不同的交点，数形结合求得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+cosx﹣1=﹣cos2x+cosx=﹣+，
由，可得cosx∈[﹣，1]，故当cosx=时，函数f（x）取得最大值为，
当cosx=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，故函数的值域为[﹣，]．
（2）由题意可得函数f（x）的图象和直线 y=a=0有两个不同的交点．
令cosx=t，则g（t）=﹣+ 在t∈[﹣，1]上的图象和直线y=a有两个不同的交点，
故．

【点评】本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．

22．设函数f（x）=ax2﹣bx+3，y=f（x）在x∈（﹣∞，1]单调递增，在x∈[1，+∞）单调递减，且有最大值4．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设若g（2+sinθ）≥m2﹣m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据一元二次函数的性质建立不等式关系进行求解即可．
（2）判断函数g（x）的单调性，利用参数分离法进行求解即可．
【解答】解：∵y=f（x）在x∈（﹣∞，1]单调递增，在x∈[1，+∞）单调递减，且有最大值4，
∴解得：…..（3分），
∴f（x）=﹣x2+2x+3…..（4分）
（2）由（1）=，
则g′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，
∵θ∈R，
∴﹣1≤sinθ≤1，1≤2+sinθ≤3…..（5分）
∴g（x）在[1，3]上是单调减函数…..（9分），
∴当g（2+sinθ）min=g（3）=0…..（10分）
∴m2﹣m≤0，
∴0≤m≤1…（12分）
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数的最值问题是解决本题的关键．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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