高三数学知识点综合复习检测24.doc

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专题六 解析几何
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2011·新课标文，4)椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　e＝＝.
2．(2011·湖北理，4)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)
A．n＝0　 　 B．n＝1　 　
C．n＝2　 　 D．n≥3
[答案]　C
[解析]　由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x轴对称，所以过抛物线焦点F作斜率为(或斜率为－)的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．
3．(文)(2011·陕西理，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
[答案]　B
[解析]　准线x＝－2，∴＝2，∴p＝4，开口向右，
∴y2＝8x.
(理)(2011·广东文，8)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
[答案]　A
[解析]　由题意作图可知，圆C的圆心到(0,3)的距离等于到直线y ＝－1的距离，所以C的圆心轨迹为抛物线．
4．(2011·福建5月质检)已知椭圆＋＝1(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
[答案]　B
[解析]　S△ABF＝×2b×c＝×2b×＝≤＝2，当且仅当b2＝2时，△ABF面积的最大值取2，故应选B.
5．(2011·福州二次检测)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)
A．y＝2x2 B．y2＝2x
C．x2＝2y D．y2＝－2x
[答案]　B
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则，两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故应选B.
6．(文)已知椭圆＋＝1满足条件m，n，m＋n成等差数列，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵m，n，m＋n成等差数列，∴2n＝m＋n＋m，即n＝2m，在椭圆中a＝＝，b＝，
∴c＝，e＝＝＝.选B.
(理)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则ΔPF1F2的面积等于(　　)
A．24 B．36
C．48 D．96
[答案]　C
[解析]　∵双曲线方程为－＝1，∴a＝3，c＝5.
∴|F1F2|＝2c＝10.
由|PF2|＝|F1F2|知|PF2|＝10.
设P(x0，y0)，∵F2(5,0)，
解
解得|y0|＝，∴S△PF1F2＝×10×＝48.
7．(2011·陕西三检)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于(　　)
A．1 B．2
C．2 D．2
[答案]　B
[解析]　由两条直线垂直的充要条件可得：－·＝－1.解得a＝，所以ab＝·b＝＝b＋.又因为b>0，故b＋≥2＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取“＝”．
8．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
[答案]　C
[解析]　x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2，选C.
9．(2011·山东理，8)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案]　A
[解析]　依题意：⊙C方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心C(3,0)，半径r＝2，∴双曲线的右焦点F2为(3,0)，即c＝3.又双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，∴＝2，即b＝2，∴a2＝9－4＝5，故选A.
10．(文)(2011·青岛4月质检)若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
[答案]　A
[解析]　由于还未确定焦点的位置，因此分两种情况进行讨论．∵双曲线渐近线方程为y＝±x，∴a＝b，假设焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1，由图像过点(m，n)，得－＝1，∴m2－n2＝a2，因为m>n，所以等式能够成立；假设焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1，由图像过点(m，n)，得－＝1，∴n2－m2＝a2，因为m>n，所以等式不能够成立，因此焦点在x轴上．
(理)(2011·湘潭五模)已知圆O：x2＋y2＝25，点A(－3，0)、B(3,0)，一条抛物线以圆O的切线为准线且过点A和B，则这列抛物线的焦点的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0)
[答案]　B
[解析]　由题意可知：根据抛物线的定义，抛物线上的点(－3,0)和(3,0)到准线的距离d1、d2与其到焦点(x，y)的距离分别相等，所以＝d1，＝d2，又坐标原点是点(－3,0)和(3,0)的中点，令圆O的半径为R，所以d1＋d2＝2R，所以＋＝d1＋d2＝10，所以点(x，y)满足到两定点(－3,0)和(3,0)的距离之和等于定值，所以点(x，y)的轨迹是椭圆，其方程为＋＝1，当y＝0时，抛物线不可能过点(－3,0)和点(3,0)，所以抛物线的焦点的轨迹方程是＋＝1(y≠0)，故选B.
11．(2011·大纲全国卷文，11)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)
A．4 B．4
C．8 D．8
[答案]　C
[解析]　∵C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，∴C1，C2的圆心都在y＝x上，
由题意：圆C1，C2的圆心坐标(x1，x1)，(x2，x2)为方程
(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根．
即x2－10x＋17＝0
∴x1＋x2＝10，x1·x2＝17
∴|C1C2|＝|x1－x2|＝＝8.
12．(2011·四川理，10)在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为(　　)
A．(－2，－9) B．(0，－5)
C．(2，－9) D．(1，－6)
[答案]　A
[解析]　因为x1＝－4，y1＝16－4a－5＝11－4a；
又∵x2＝2，y2＝4＋2a－5＝2a－1，则经过两点的斜率
k＝＝＝＝－2＋a，
由导数的几何意义，在(x0，y0)处抛物线切线斜率：
y′＝2x＋a|x＝x0＝2x0＋a，由题意：2x0＋a＝－2＋a，
∴x0＝－1，y0＝－4－a，所以切线方程为：
y－(－4－a)＝(－2＋a)(x－1)，利用圆心(0,0)到切线的距离等于半径，则＝r＝，则a＝4，则抛物线y＝x2＋4x－5, 顶点坐标(－2，－9)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)
13．(文)(2011·北京文，10)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
[答案]　2
[解析]　双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为a＝1，又知一条渐近线方程为y＝2x，所以b＝2.
(理)(2011·新课标理，14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．
[答案]　＋＝1
[解析]　依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
14．(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
[答案]　2
[解析]　，∴，
∴a＝1，c＝2，∴e＝＝2.
15．(2011·大连一模)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线＋＝1上，则双曲线的离心率为________．
[答案]　
[解析]　不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y＝x，由得垂足的坐标为(，)，把此点坐标代入方程＋＝1，得＋＝1，化简，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝＝.
16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，则椭圆的方程为________．
[答案]　＋y2＝1
[解析]　∵|－|＝2|－|，
∴||＝2||，
又·＝0，∴⊥.
∴△AOC为等腰直角三角形．
∵||＝2，∴点C的坐标为(1,1)或(1，－1)，
∵点C在椭圆上，
∴＋＝1，又a2＝4，
∴b2＝，故所求椭圆方程为＋y2＝1.

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2011·福建文，18)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
[解析]　(1)由得x2－4x－4b＝0(*)
∵直线l与抛物线相切
∴△＝(－4)2－4×(－4b)＝0
∴b＝－1
(2)由(1)知b＝－1，方程(*)为x2－4x＋4＝0
解得x＝2，代入x2＝4y中得，y＝1
∴A(2,1)
∵圆A与抛物线准线y＝－1相切
∴r＝|1－(－1)|＝2.
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
18．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
[解析]　(1)∵椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)，
∴
即解得
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)∵a2＝4，b2＝3，∴c＝＝1.
∴椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)．
以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，
圆心坐标是(0,0)，半径为2.
以PF为直径的圆的方程为x2＋(y－)2＝，
圆心坐标是(0，)，半径为.
∵两圆心之间的距离为
＝＝2－，
故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．
19．(本小题满分12分)(文)已知双曲线方程x2－＝1.
(1)求证：对一切实数k，直线kx－y－k＋＝0与双曲线均相交；
(2)求以点A(2,1)为中点的弦的方程．
[解析]　(1)由得
(2－k2)x2＋2k(k－1)x－2(k2－2k＋2)＝0(*)
当k＝±时，方程(*)有根；当k≠±时，Δ＝8(k－2)2≥0，故方程(*)总有实根，即直线与双曲线均相交．
(2)设过点A(2,1)的弦的端点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，
则两式相减，
有kP1P2＝＝＝4，
故直线方程为4x－y－7＝0.
(理)(2011·北京文，19)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
[解析]　(1)由已知得，c＝2，＝，
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m
由得
4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则
x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2，
此时方程①为4x2＋12x＝0，
解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，
所以|AB|＝3，
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
20．(本小题满分12分)(2011·新课标全国卷文，20)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
[解析]　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：

消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式△＝56－16a－4a2＞0.
由韦达定理得
x1＋x2＝4－a，x1x2＝.　　　　　①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以
2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0. ②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
21．(本小题满分12分)(文)(2011·厦门模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．
[解析]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
抛物线方程为x2＝4y，其焦点为(0,1)，椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1，
由e＝＝＝，得a2＝5，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得椭圆C的右焦点为F(2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，
显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－2)，
代入＋y2＝1，并整理得
(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，＝(2－x1，－y1)，＝(2－x2，－y2)，
由＝λ1，＝λ2，
得(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，
(x2，y2－y0)＝λ2(2－x2，－y2)，
∴λ1＝，λ2＝，
∴λ1＋λ2＝＋＝＝－10.
(理)(2011·宁夏银川一中5月三模)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足＝2，·＝0，点N的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；
(2)若直线y＝kx＋与(1)中所求点N的轨迹交于不同两点F、H，O是坐标原点，且≤·≤，求k2的取值范围．

[解析]　(1)因为＝2，·＝0，
所以NP为线段AM的垂直平分线，如图，连接AN，则|NA|＝|NM|.
所以|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2>2＝|CA|.
所以动点N的轨迹是以C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a＝2，焦距2c＝2，所以a＝，c＝1，b2＝1.
所以曲线E的方程为＋y2＝1.
(2)设F(x1，y1)，H(x2，y2)，则由，
消去y得(2k2＋1)x2＋4kx＋2k2＝0，Δ＝8k2>0(∵k≠0)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋k2＋1
＝－＋k2＋1＝.
∵≤≤，∴≤k2≤1.
22．(本小题满分14分)椭圆G：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆G上一点，且满足·＝0.
(1)求离心率e的取值范围；
(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5.
(ⅰ)求此时椭圆G的方程；
(ⅱ)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
[解析]　(1)设M(x0，y0)，
∵M在椭圆G上，∴＋＝1，①
又·＝0，
∴(x0＋c，y0)·(x0－c，y0)＝0.②
由②得y＝c2－x，代入①整理得x＝a2(2－)．
又0≤x≤a2，∴0≤a2(2－)≤a2，
解得()2≥，即e2≥，
又0<e<1，∴e∈[，1)．
(2)(ⅰ)当e＝时，设椭圆G的方程为＋＝1，H(x，y)为椭圆上一点，则|HN|2＝x2＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18，其中－b≤y≤b.
若0<b<3，则当y＝－b时，|HN|2有最大值b2＋6b＋9，
由b2＋6b＋9＝50，得b＝－3±5(舍去)；
若b≥3，则当y＝－3时，|HN|2有最大值2b2＋18，
由2b2＋18＝50，得b2＝16.
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，则
，两式相减得x0＋2ky0＝0，③
又直线PQ⊥直线l，
∴直线PQ的方程为y＝－x＋.
将点Q(x0，y0)代入上式得，y0＝－x0＋，④
由③④得Q(k，－)．而Q点必在椭圆内部，
∴＋<1，
由此得k2<，又k≠0，
∴－<k<0或0<k<，
故当k∈(－，0)∪(0，)时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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