2015届高考理科数学第二专题整合检测题53.doc

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专题七十九 坐标系
【高频考点解读】
1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．
2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.
【热点题型】
题型一 极坐标和直角坐标的互化
例1、设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为________________．
【提分秘籍】
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．
【举一反三】
在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________．
【热点题型】
题型二 圆的极坐标方程的应用
例2、在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则|AB|＝________.
【提分秘籍】
解决此类问题的关键还是将极坐标方程化为直角坐标方程．
【举一反三】
在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．
【热点题型】
题型三 极坐标方程的综合应用
例3、如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．

【提分秘籍】
用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．
【举一反三】
从极点O作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程．
解　设动点P的坐标为(ρ，θ)，则M(ρ0，θ)．
∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝.
又M在直线ρcos θ＝4上，∴cos θ＝4，
∴ρ＝3cos θ.这就是点P的轨迹方程．
【热点题型】
题型四 柱坐标系与球坐标系
例4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系A－xyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．

【提分秘籍】
化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(ρ，θ，z)或球坐标(r，φ，θ)，需要对公式
以及进行逆向变换，得到以及
在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可．
【高考风向标】
1．（2014·广东卷）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
2．（2014·湖北卷） (选修4­4：坐标系与参数方程)
已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．
3．（2014·湖南卷）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．
4．(2014·江西卷)(2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
【答案】(2)A　【解析】依题意，方程y＝1－x的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，整理得ρ＝.因为0≤x≤1，所以 0≤y≤1，结合图形可知，0≤θ≤.
5．(2014·辽宁卷)选修4­4：坐标系与参数方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.
6．(2014·陕西卷)C．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．
【随堂巩固】
1．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为(　　)
A．(x＋)2＋y2＝ B．x2＋(y＋)2＝
C．x2＋(y－)2＝ D．(x－)2＋y2＝
答案　D
解析　由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D.
2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是(　　)
A．(1，) B．(1，－)
C．(1,0) D．(1，π)
3．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1
答案　B
解析　由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.
4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是(　　)
A．ρ＝cosθ B．ρ＝sinθ
C．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1
5．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，)，则|CP|＝________.
6．在极坐标系中，点P(2，－)到直线l：ρsin(θ－)＝1的距离是________．
答案　＋1
解析　依题意知，点P(，－1)，直线l为x－y＋2＝0，则点P到直线l的距离为＋1.
7．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
8．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
9．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．

10．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．

11．在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲线C：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．
12．已知点M的极坐标为(6，)，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________．
答案　 (－3，－3)
解析　∵点M的极坐标为(6，)，
∴x＝6cos＝6cos＝6×＝3，
y＝6sin＝6sin(－)＝－6×＝－3.
∴点M的直角坐标为(3，－3)．
∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(－3，－3)．
13．在极坐标系中，点P(2，)到直线l：3ρcosθ－4ρsinθ＝3的距离为________．
14．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．

15．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－)＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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