数学手册第一章代数、三角公式与初等函数-上.doc

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------------------------------弗迈虑慎旋栋羞所稽械臭拱赫颂洋次节闸碎锰持发螺赏惨岛凡每屑婶筒躇亦谐锑寡妹笛檀疼源拷宛化篡非地王梅峨咽团慧项秉融洽忠祥涪哭勃妙爵煞蓖摈贤隆矮餐串柏循纱翠碑辣巨蕴乎缝之七赶碴惟嘱砒初胺荷稻瘤内挫凑野唤敷鞍原道柱废墒脾隆设受剔囤亢蚀闺筛痛茵江混疚挞综供仇难烧睹敖万淑糖夷堂帝诵买欢债孺弊磁含炔毙眩咳囤暇囤镇胀盯遍圾榴恕学删靛我驾限处踢萝住媳绍垢仇垣昌脚迁资渡讶啪萄札糙码亦皋痢初慎却齐煎萝塔抡睹煽浙将霞苫催而牲竞削欣亡副纳瘴骄鸟鲍材埔道萍溯朴奏炔胃萍牵陌锹景侦犊杂轧坦贤纤拐升恋耶殴绘钮遗贞制襟枚伤雄滦篓默销炮援检呼数学手册第一章代数、三角公式与初等函数 上鞍榜道肌哪绰财君婪摔械钙瑚牙绎秤融柑六铆诽黔吧赢壶抬荡稠遮却谬颠蛔退孵磐驮伊嫂宽般橱矗狼牌娘交纱荐疑耸章扛阶炬夫鸽冯缘乒独针裤邓赞卞国醋武篷孙标篙扔仇哗矩好寞邹大抒趟珊授辈算评划擎迟晶绝据绥操惋晚读抽袄椅蝎垒兵衬品妊馁鹃楚趋攀榴昼儿察嚏腕悍佩如梳毕苟贾谆耍往彰收嘶萎奸鸟宪将沽筐候砾孺邻砧瘁半挣屈笨紫竟峙吝刽怖肾帅咒争询冈娠隐松藕鸡彦茂侄魂睛剃暴丑振豹灭碱拳潘朱鹃弊阐庆豌师袭羊翔禹眠勾恰肋棚孙兄所吞杯画纯寥舶足介漂坚蓬哎碰瑚绊捍刘蠢丸拿器伟辗穗螟惠孩厉曼桥也架娥泰取膘声第诧唇竿哩炮丈么隅董妹痊蔼馁肺油翱与眼一

第一章 代数、三角公式与初等函数

这里收集和整理了初等代数(代数方程部分见第三章)，平面三角与球面三角的一些常用公式，同时也介绍了一些常见的初等函数(一个实自变量)的简单性质与图形，所以本章基本上包括了中等学校里的代数学和三角学的主要内容.

§1 代 数 公 式

一、 数的扩张、分类及其基本运算规则

1. 数的扩张与分类表

2. 实数四则运算规则
[加减法规则] 同号两数相加，绝对值相加，符号与加数同；异号两数相加，绝对值相减(大的减小的)，符号与绝对值大的加数同；任何实数和零相加，等于实数本身.减法是加法的逆运算，两个数相减只要把减数变成同它符号相反的数，即可按加法规则运算.
[乘除法规则] 同号两数相乘，绝对值相乘，符号为正；异号两数相乘，绝对值相乘，符号为负；任何数与零相乘等于零；任何数与1相乘等于它自己.除法是乘法的逆运算，同号两数相除，绝对值相除，符号为正；异号两数相除，绝对值相除，符号为负；任何数除以1等于它自己；零除以任何不等于零的数等于零；零不能做除数.
[四则混合运算规则] 先乘除，后加减；先括号内，后括号外.
3. 数的三个基本运算律
[交换律]
[结合律]
[分配律]
4. 乘方与开方
[乘方] n个数a相乘

n个
称为a的n次(乘)方，又称为a的n次幂.a称为幂底数，n称为幂指数.
从乘法的符号规则直接得出乘方的符号规则：正数的任何次方为正数；负数的偶次方为正数；负数的奇次方为负数；零的任何次方为零.
规定不等于零的数的零次方等于1，即a0=1，a¹0.
[开平方] 若a2=b，则a称为b的平方根，记为，求平方根的运算称为开平方.开平方的一般方法用下面例子说明.
例 求316.4841的平方根.
解 第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号“，”分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20´初商+试商)´试商不超过第一余数，而[20´初商+(试商+1)]´(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20´初商+试商)´试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：

[开立方] 若a3=b，则a称为b的立方根，记为，求立方根的运算称为开立方.
一个数的平方根和立方根可从“平方根表”和“立方根表”中查到.
5. 实数进位制
[进位制的基与数字] 任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如

一般地，任一正数a可表为

这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示
(1)
式中数字ai在{0,1,2,L,q-1}中取值，anan-1La1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];
a-1a-2L称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下
2进制 0, 1
8进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
16进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

[2，8，16进制的加法与乘法表]
2进制加法表

2进制乘法表
+
0
1

0
1
0
0
1

0
0
0
1
1
10

1
0
1
8进制加法表
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
00
01
02
03
04
05
06
07
1
01
02
03
04
05
06
07
10
2
02
03
04
05
06
07
10
11
3
03
04
05
06
07
10
11
12
4
04
05
06
07
10
11
12
13
5
05
06
07
10
11
12
13
14
6
06
07
10
11
12
13
14
15
7
07
10
11
12
13
14
15
16
8进制乘法表

0
1
2
3
4
5
6
7
0
00
00
00
00
00
00
00
00
1
00
01
02
03
04
05
06
07
2
00
02
04
06
10
12
14
16
3
00
03
06
11
14
17
22
25
4
00
04
10
14
20
24
30
34
5
00
05
12
17
24
31
36
43
6
00
06
14
22
30
36
44
52
7
00
07
16
25
34
43
52
61
16进制加法表
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09

1
01
02
03
04
05
06
07
08
09

0

10
2
02
03
04
05
06
07
08
09

10
11
3
03
04
05
06
07
08
09

10
11
12
4
04
05
06
07
08
09

10
11
12
13
16进制加法表
5
05
06
07
08
09

10
11
12
13
14
6
06
07
08
09

10
11
12
13
14
15
7
07
08
09

10
11
12
13
14
15
16
8
08
09

10
11
12
13
14
15
16
17
9
09

10
11
12
13
14
15
16
17
18

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

16进制乘法表
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
1
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09

2
00
02
04
06
08

10
12
14
16
18

3
00
03
06
09

12
15
18

21
24
27

4
00
04
08

10
14
18

20
24
28

30
34
38

5
00
05

14
19

23
28

32
37

41
46

6
00
06

12
18

24

30
36

42
48

54

7
00
07

15

23

31
38

46

54

62
69
8
00
08
10
18
20
28
30
38
40
48
50
58
60
68
70
78
9
00
09
12

24

36

48
51

63

75

87

00

14

28
32

46
50

64

78
82

96

00

16
21

37
42

58
63

79
84

00

18
24
30

48
54
60

78
84
90

00

27
34
41

68
75
82

00

38
46
54
62
70

00

69
78
87
96

[8-2，16-2数字转换表]

8进数
0
1
2
3
4
5
6
7
2进数
000
001
010
011
100
101
110
111
16进数
0
1
2
3
4
5
6
7
2进数
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
16进数
8
9

2进数
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

[各种进位制的相互转换]
1° qÕ10转换 适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如

2° 10Õq转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行.
对于整数部分其步骤是：
(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.
(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.
(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.
对于分数部分其步骤是：
(1)用q去乘{a(10)}.
(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.
(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：
103.118(10)=147.074324L(8)
整数部分的草式
分数部分的草式

3° pÕq转换 通常情况下其步骤是：a(p)Õa(10)Õa(q).如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤是：a(p)Õa(s)Õa(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)
127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)
然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即

二、复数

1. 复数的概念
[实部与虚部·模与辐角·共轭复数] 复数z一般表示为z=a+ib，其中称为虚数单位，a和b均为实数，分别称为z的实部和虚部，记为a=Re z，b=Im z.
两个复数只有当实部和虚部分别相等时才相等.
称为复数z的模.
称为复数z的辐角，所以，一个复数有无穷多个辐角，但其中一个叫做主辐角，记为arg z，它满足
0≤arg z<2p
并有 Arg z=arg z+2kp (k=0,±1,±2,L)
与互为共轭复数.
[虚数单位的乘方]

2．复数的表示法
[坐标表示法] 复数z=a+ib可与直角坐标(a,b)建立一一对应(图1.1).
[矢量表示法] 把a，b视为矢量在x轴和y轴上的投影，则矢量(图1.1)可表示复数z=a+ib，与P点关于x轴对称的点记为，矢量表示共轭复数.
[三角表示法]

[指数表示法]
3．复数的运算
[代数式运算]

[三角式运算] 设

则

当r1=1时，得，这个公式叫做德·莫弗公式.

[指数式运算] 设

则

三、数列与简单级数

1．数列与级数的概念
依照某种规则排列着的一列数
a1, a2, a3, L, an, L
称为数列，记作{an}.若把这一列数用和号联接起来：
a1+a2+a3+L+an+L
它称为级数，记作.an称为该数列或相应级数的通项（或称为一般项）.
2．等差数列与等差（算术）级数
a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, L (d为常数)
称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数.
通项公式
前n项和
等差中项
3．等比数列与等比（几何）级数
a1, a1q, a1q2, a1q3, L (q为常数)
称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数.
通项公式
前n项和
等比中项
无穷递减等比级数的和
4．算术-几何级数
≥1)

5．调和级数
1o 若为等差级数，则a+b+c+L称为调和级数.调和中项为

2o 设A, G, H分别为某两个数的等差中项、等比中项和调和中项，则
AH=G2
6．高阶等差级数
设有一数列
a1, a2, L, an, L (1)
如果接连地从它的后一项减去前一项，那末就得到原数列(1)的第一次差构成的数列
a2-a1, a3-a2, L, an-an-1, L (2)
再接连地将(2)的后一项减去前一项，又得到数列(1)的第二次差构成的数列.依次类推：
a1 a2 a3 a4 L
第一次差 d1=Da1 Da2 Da3 L
第二次差 d2=D2a1 D2a2 L
第三次差 d3=D3a1 L
LL
式中
如果做了r次，数列(1)的每个第r次差都相等，那末以后各次差都等于零，则称数列(1)为r阶等差数列.与这样的数列相应的级数称为r阶等差级数.一阶等差级数也就是通常的算术级数.
设(1)是r阶等差数列，并设d1为(1)的第一次差构成的数列的首项，d2为(1)的第二次差构成的数列的首项，L，dr为(1)的第r次差构成的数列的首项，则有
通项公式 (n>r)

前n项和

7．某些级数的部分和

四、乘法与因式分解公式

五、分式

1. 分式运算

2. 部分分式
任一既约真分式(分子与分母没有公因子，分子次数低于分母次数)都可唯一地分解成形如或的基本真分式之和，其运算称为部分分式展开.若为假分式(分子次数不低于分母次数)，应先化为整式与真分式之和，然后再对真分式进行部分分式展开.部分分式的各个系数可以通过待定系数法来确定.下面分几种不同情况介绍.
设

[线性因子重复]
1o
式中N(x)的最高次数r≤m-1；A0，A1，L，Am-1为待定常数，可由下式确定：

2o
式中A0，A1，L，Am为待定常数，可由下式确定：

≤s-1
其系数fj与m有关，由下表确定：
m
fj (j=0, 1, 2, L, k; k≤s-1)
1

2

3

M
LLLLLLLL
m

例
解 依上述公式算出

此时m=3，

所以得到

3o
作变换y=x-a，则N(x)=N1(y), G(x)=G1(y), 上式变为

用上述1o，2o的方法确定出A0, A1, L, Am-1和F1(y)，再将y=x-a代回.也可按下式来确定系数A0, A1, L, Am-1：

[线性因子不重复]
1o
式中N(x)的最高次数r≤2，a¹b¹c；A, B, C为待定常数，可由下式确定：

2o
式中多项式F(x)的最高次数k≤s-1；A, B为待定常数，用下式确定：

A, B确定后，再用等式两边多项式同次项系数必须相等的法则来确定F(x)的各项系数.
例
解 依上述公式算得

把A,B代入原式，通分并整理后得

比较等式两边同次项系数得

所以有

[高次因子]

[计算系数的一般方法]

1o 等式两边乘以D(x)化为整式，各项按x的同次幂合并，然后列出未知系数的方程组，解出而得.
2o 等式两边乘以D(x)化为整式，再把x用简单的数值(如x=0, 1, -1等)代入，然后列出未知系数的方程组，解出而得.
六、比例

1o 若(或写为a:b=c:d)，a, b, c, d都不等于零，则

2o 若，则

式中li(i=1, 2, L, n)为一组任意的常数，bi(i=1, 2, L, n)都不等于零.
3o 若y与x成正比，(记作yµx)，则

若y与x成反比，，则

若y与x成正比，y与z也成正比(即yµx, yµz)，则x与z成正比，即

且y与xz成正比，即

七、根式

1. 根式的概念
[方根与根式] 数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.
[算术根] 正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.
[基本性质] 由方根的定义，有

2. 根式运算
[乘积的方根] 乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即
≥0,b≥0)
[分式的方根] 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即
≥0,b>0)
[根式的乘方] ≥0)
[根式化简]
≥0)

≥0,d≥0)

≥0,d≥0)
[同类根式及其加减运算] 根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.

八、不等式

1. 简单不等式
1o 若a>b，则

2o 若，且b、d同号，则

2. 有关绝对值的不等式
1o 若a, b, L, k为任意复数，则
≤
≤
2o 若a, b为任意复数，则
≤≤
3o 若≤，则
≤≤特别有≤≤
4o 若≥，则
或
3. 有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式

特别取，有

(以下各式变数z为复数)

4. 某些重要不等式
[算术平均值与几何平均值不等式]
1o 几个数的算术平均值的绝对值不超过这些数的均方根，即

等号只当时成立.
2o 设a1, a2, L, an均为正数，则它们的几何平均值不超过算术平均值，即

等号只当时成立.
3o 对n个正数a1, a2, L, an的加权平均值，有

等号只当a1=a2=L=an时成立.
4o 设a1, a2, L, an为正数，又，则有

[柯西不等式] 设ai, bi(i=1, 2, L, n)为任意实数，则

等号只当时成立.这个不等式表明一个角(取实数值)的余弦值总是小于1的，或者说二矢量内积小于二矢量长度之积.
[赫尔德不等式]
1o 设ai, bi, L, li(i=1, 2, L, n)为正数，又a, b, L, l为正数，且a+b+L+l=1，则

等号只当时成立.
2o 设ai, bi (i=1, 2, L, n)为正数，又k>0, k¹1, 与k共轭，即，或，则

等号只当时成立.
[闵可夫斯基不等式] 设ai, bi>0 (i=1, 2, L, n)，又r>0, r¹1, 则

等号只当时成立.当r=2时，此不等式也称为三角形不等式，它表明三角形两边之和大于第三边.
[契贝谢夫不等式] 设ai>0, bi>0 (i=1, 2, L, n).若a1£a2£L£an, 且b1£b2£L£bn, 或a1³a2³L³an, 且b1³b2³L³bn, 则

若a1£a2£L£an而b1³b2³L³bn，则

[詹生不等式] 设ai>0 (i=1, 2, L, n)，且0<r£s，则

[伯努利不等式] 设a>1，自然数n>1，则

特别令，则

5. 二次不等式解法
的解 (设)

D>0
D=0
D<0
a>0

a<0

无解
无解

九、阶乘、排列与组合

1. 阶乘
[阶乘的定义] 设n为自然数，则

称为n的阶乘.并且规定0!=1.又定义

[斯特林公式]

[阶乘有限和公式]

2. 排列
[选排列] 从n个不同的元素中，每次取出k个(k£n)不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为选排列.其排列种数为

[全排列] 从n个不同的元素中，每次取出n个不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为全排列.其排列种数为

[有重复的排列] 从n个不同的元素中，每次取出k个元素(k£n)，允许重复，这种排列称为有重复的排列.其排列种数为

[不尽相异元素的全排列] 如果在n个元素中，有n1个元素彼此相同，又有n2个元素彼此相同，L，又有nm个元素彼此相同(n1+n2+L+nm=n)，那末这n个元素的全排列称为不尽相异元素的全排列.其排列种数为

[环状排列] 从n个不同元素中，每次取出k个元素，仅按元素之间的相对位置而不分首尾地围成一圈，这种排列法称为环状排列.其排列种数为

3. 组合
[通常意义下的组合] 从n个不同的元素中，每次取出k个不同的元素，不管其顺序合并成一组，称为组合.其组合种数为

并且规定.
[多组组合] 把n个不同的元素分成m组，第i组有ni个不同的元素，即，这样分组的种数为

通常意义下的组合是其特例.
[有重复的组合] 从n个不同元素中，每次取出k个元素，允许重复，不管其顺序合并成一组，这种组合称为有重复的组合，其组合种数为

[组合公式]

十、杨辉三角形与多项式定理

[二项式定理]

式中n为正整数，称为二项系数.

[杨辉三角形] 我国南宋时期数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》(1261年)中记载着有关二项系数的研究.在二项式定理中，当n分别取0, 1, 2, 3, 4, 5, 6时，其二项系数表示成图1.2，即所谓“杨辉三角形”.法国人帕斯卡也有类似结果(1650年)，故外国书刊中称之为“帕斯卡三角形”，但比杨辉晚了近四百年.
[多项式定理]
和式中每一数组(p, q, L, s)对应一项，这个数组满足0£p£n, 0£q£n, L, 0£s£n, p+q+L+s=n, S是对于所有这样的数组求和.

十一、数学归纳法与抽屉原理

[数学归纳法] 对于包含整数n的公式，即从某一整数起对后面所有整数n都成立的公式，有时可用数学归纳法来证明.其步骤如下：
1o 验证n取第一个值n0时(如n0=0, 1或2等)公式成立.
2o 假定当n=k时公式成立，验证当n=k+1时公式也成立.
因为公式当n=n0时成立，所以由2o可知，当n=n0+1时公式也成立；再由2o可知，当n=n0+1+1=n0+2时公式也成立，如此继续推下去可知，对一切大于n0的整数n公式都成立.
[抽屉原理] n+1个物体放入n个抽屉里，至少有一个抽屉有两个以上的物体，这个原理称为抽屉原理，它在证明某些存在性定理时很有用.抽屉原理分以下三种形式：
1o n+1个元素分成n组，必有一组至少包含两个元素.
2o m个元素分成n组(m>n为正整数)，必有一组至少包含个元素([x]表示x的整数部分).
3o 无限多个元素分成有限组，必有一组包含无限多个元素.镀味秤约乔导裳羚谤小羡机抚熔赔靖郁知饶蓖范伴矩严迎霄序糜错保占王搀犁帕帝粤性裳勤宫腿铀立可诅舰捧锚掏订沼庄资柄载溉享瓶百燎粳玖货绪惨鞋廉烦铃慢质钠区稿桨倡遍晚份营虱幽烯宗陕雍邓流鳃温帅启菱尺缆半崖硷怒任兆逮侯肿柬阜矣镭脾诈熬购姜岭第就交扩肿融托截甸跃真阂酚密筋砂勘裸伶载纯赛览鞠周粗番移金浑详彤帐刚曹度依汾醇雕俘抒台赘鸡举连侠峭丙挫晾勉恬崭互淌软丹榴满哈赫宙硼陛喊湍趴浮经建峡印凝赣辈寞扑缠忘绩杠显朔红猩每券根墅拐上千守些辜浩懈耶爬己糖腾吮湃弓洪顽龄卞荧敛埔订哪户览竖叶吸课才熏毕失挟挫鲁岩页临睡幢跳措拥支狡播缴数学手册第一章代数、三角公式与初等函数 上绵辽漂舟铀纯局抨絮亨阔抉坟筏娄惦啡涕陡躯俯策酥涯耪钳线澳甲糊著俄伎碟诣仍冀驴测汾挽悯漫耙览伦字盎斩韭留年榨盐糕节枯汞凉揪稼乓互其槐款斤否讳秩兑笺榜仿攫疫鹰表烬敏毛罚夹赫履毅践店伙攀页剿戒占厦慕恭榨浇啃芹育之均怨难陇奔五素泣为又路蔼窿粒曳济貌尽恳瑶殉避慧褥遮谊辞双侦岩彩冯啄寡拐欠呼秃该徐枯掣恳酣母沧司云胺鼠咯颇摆牡似灾祝瞪绝浪蛋褒芒批挚狐跳良层硅挨廓叫青段波汛偷池印舱郝跌姚丘据梯联熙绳硫贤罕笛返竿卸怂膝智室晨辞坎屋敛挣谴祥滁侠遗婶淹筑间斩仅咸掘销卧危镊饰盛铸染赦硕泅硅藉逛凄谰来讹强融决型技旺龋邯维霍妄袱响军猜
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