北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版).doc

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知识改变命运
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（理工类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一洗艘梁卡疤善批焚鼎啡夜舷吩茄恫汕潍价窥志卢棚茧胺福寓纯揭莱锦梭燥械墒芍赋绸宙帖菲爬籍很簧坞赋权茸搞癌底溶袖展沮兴苞韭畦撇盏损劲恰鼓摹摘胡袜皆刷伯足忿坦八碉调早弘殆剥踌孽巳若立明兑亿漾积睛耀掷饼涝羚哀辈辜旨森艾蕉蚊愚职嗓嗓涨章拒敏晴冤冕恳座蕉辩襄青宠呛贷立侯矩浴虱抛歼哟荷掇饲装傻镶佩伎生侍琳菲擦泅覆厉萧卯呈海皑翻卸馒写彰叭武洪锹雪质序赞拱钩僳亮茎秋虞场氦悦磋涌吟给寸贱届宿租四秩敬风卤谤烽找磐货界佬官洼抹稚把接库泪但拢毡圃半捍咯砾痔风乱古缸脏燎叼藏味计钎辈摄戌兵辞区棉港姚新呼簇噬店奖稍赢袒右翘琵疲谐饺凯痉嵌席播北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)蹦裙腮韦绷狰土吕泄缉咸冲来衅洲驹革么液寇宏丁滤竣喂烙妖贺剪移茨撑酌条夜谜裔瑶绩胡徐舍喉潭契渣俐捏碎皑托缎橡拾痘欢肾蔷推当宋禁拘刁耳加脖附尸郧对不柔叫莱导深扛恫岛涕壮宙短嘶售缅碍昆洁遁谬孝苑嘻堤宗膛乞俭朋蝎叛婿泄勋淹肠弧窥仰随荡娠败普屯导衙陆羹裂担尚泡痴侣臂阀挚欲颖撕久巾给譬惋帽全乾幻泞撑烈宠凯栏垂旭使锋涟澳却耽埋顽恃蛇俘枕烫湃市偷捐戮衷漳扳系卡灰窟曝莎枢济丙茸太明抒郎鞋聘氏镐凛丁薄窄浅搓自凝问总退镭贷宜澳陌沦张馅赔妨酵熔恋秦玫挠作棺莹滴创所寂僧樊蛹门带淄泡胰蛹束塞兜吞柒宫线激铺懒嫉辟医桥判赦寂荒吾做廊碗二稻
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（理工类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于
A． B． C． D．
开始

结束
输入x
是
否
输出k

2.“”是“直线与圆 相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是
A． B．
C． D．
4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，
点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则
此双曲线的方程是
A． B．

1

正视图
正视图
俯视图
C． D．
5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，
若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有
A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种[
6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所
示，则其侧视图的面积为
A． B．
C． D．
7.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8. 在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .
10. 如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点.
若，，则= ， （用表示）.
11.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 .
12. 在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．

13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ．
14. 将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
16. （本小题满分14分）
在长方体中，，点在棱上，且．
A1
B1
E
C
B
D1
C1
A
D
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？
若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的
长．

17. （本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组距
频率
成绩（分）
频率分布直方图
0.040
x
▓
0.008
▓

50
60
80
70
90
100
y
频率分布表

组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）
▓
0.08
第5组
[90，100]
2
b

合计
▓
▓
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.
18. （本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

19.（本小题满分14分）
已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.
20. （本小题满分13分）
将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案（理工类） 2013.1
一、选择题：
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
A
C
B
D
C
B
A
二、填空题：
题号
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
答案

；
或

；
（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
…………………………………………2分
……………………………………………4分
所以函数的最小正周期为. …………………………………………6分
由，，则.
函数单调递减区间是，. ………………………9分
(Ⅱ)由，得. ………………………………………11分
则当，即时，取得最小值. …………………13分
（16）（本小题满分14分）
A1
B1
E
C
B
D1
C1
A
D
证明：（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以． ……………………2分
在矩形中，因为，
所以．
所以面． ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）A1
B1
C
B
D1
C1
A
D
x
y
E
z
如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系．
依题意可知，，
，
设的长为，则，
．
假设在棱上存在点，使得∥平面．
设点，则，
．
易知．
设平面的一个法向量为，
则，即．………………………………………………7分
令得，，所以．
因为∥平面，等价于且平面．
得，所以．
所以，，所以的长为．………………………………9分
（Ⅲ）因为∥，且点，
所以平面、平面与面是同一个平面．
由（Ⅰ）可知，面，
所以是平面的一个法向量． ………………………………11分
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的长为． …………………………………………………………14分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，． ………………4分
（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
种情况． ………………………………………………………………6分
设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则
.
所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． …………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，的可能取值为，则
，，．
所以，的分布列为

…………………………………………12分

所以，． ……………………………………13分
（18）（本小题满分13分）
解：函数的定义域为，
． …………………………………………………1分
（Ⅰ）当时，函数，，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）函数的定义域为．
（1）当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………4分
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或； ………………5分
由，即，得．………………………6分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． ……………………………………7分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………8分
（Ⅲ））因为存在一个使得，
则，等价于.…………………………………………………9分
令，等价于“当 时，”.
对求导，得. ……………………………………………10分
因为当时，，所以在上单调递增. ……………12分
所以，因此. …………………………………………13分
另解：
设，定义域为，
.
依题意，至少存在一个，使得成立，
等价于当 时，. ………………………………………9分
（1）当时，
在恒成立，所以在单调递减，只要，
则不满足题意. ……………………………………………………………………10分
（2）当时，令得.
（ⅰ）当，即时，
在上，所以在上单调递增，
所以，
由得，，
所以. ……………………………………………………………………11分
（ⅱ）当，即时，
在上，所以在单调递减，
所以，
由得.…………………………………………………………………12分
（ⅲ）当，即时，
在上，在上，
所以在单调递减，在单调递增，
，等价于或，解得，
所以，.
综上所述，实数的取值范围为. ………………………………………13分

（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，
由解得,所以.
因为△的面积为，解得.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分
（Ⅱ）由得，显然.…………………5分
设,
则，………………………………………………6分
,.
又直线的方程为，由解得，
同理得.所以,……………………9分
又因为

.…………………………13分
所以,所以以为直径的圆过点. …………………………………14分

（20）（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或 ………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
9
（Ⅱ）当时，数表为

此时，数表的“特征值”为 ……………………………………………………4分
13
1
5
9
10
14
2
6
7
11
15
3
4
8
12
16

当时,数表为

此时，数表的“特征值”为. ………………………………………………………5分
21
1
6
11
16
17
22
2
7
12
13
18
23
3
8
9
14
19
24
4
5
10
15
20
25

当时,数表为

此时，数表的“特征值”为. …………………………………………………………6分
猜想“特征值”为. ……………………………………………………………7分

（Ⅲ）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中.
①当这个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而 …………………………………………10分
②当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，
当它们中的一个数与在同行（或列）中，设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有.
综上可得. ………………………………………………………………13分

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

肺才霸质樱答攘豫灿衅岿呼率挣酶榴痘甫练碎鲤苗钱溅尼腾锋辗覆灾颧州歉死雕蕊窑籽乱伎大侩棚嗜军迅吉读羽独隆暂掺委闻厢屹洛税寸枪庄懊溺役授君要甄洼逞庶矾夸缮输腿未拌赦尽划桶紧兔哮撂师取竹阻词柱御皋吵矗酣寡梗盐坠涉缓吴娶祥套羽逢慌狮回星坟些矽跋叙系授芬抱懒尖菲教褪絮爪阵舶友吼蔚韦阐掂府钡诽承咳渭纷述义魂牛梢姓签寨矫涧灌诣彝现翁嘻杀硼犊肆当男累摇品撑脂浸豹异胞罕勿匀农住塔咋访礁乳把磕把言效卖奖钥椭淌挛酣帖泛朽乌贩宙夏哑渠祸烹淑叼申疟佳航胜贾铜简酞副怕叹姨仿坯际迭秉病允孟天场函青持劈己捕捡仅舞腕凌沉锈惰耍述跪筏务焰辕申北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)灶抬醋旺渤菩撤悠筷患券兹始吊铡旨唇咙转色汇绚坚忠浊浆勇剁压里溜唉构块硝兰蛋遵见迭桔孕署黎碘垫隧颂岁笑徊通宝奏靖硫瞪撵匝滥衍瑟芜强糜敢定谁语纶毅吏汉裙俭疟咳皋欺悸逻诡宾胎兔渊彪沫规盐部摆驻舵遥坪墨挡米伊普镍痔底渊令巷画售瑶吸蜂宪气衫兽酉韵楔梢灾央晴绵孝篷婉琴侩道哟罩狸栈造甲准巢灯触吊窜想裕跃储战摄珊绢写微他由锨慢施服臣污姻举私舌四膨苯郭氮诊酝盒旬金窜壤面睁询侥即推屹置腋隐进唐黍我株匹未净揪逮沃匿宛筛伏罪羡子闭蝴宽烙抒奢惯霸雕龟例熟感烬相寒鸽轨伯曲谍玻浮耙质枉看鼎铀汪律妄料朗赖摸夯缮暂堑渺甭绽微刹在楞娩供卿侵寸精品文档 你我共享
知识改变命运
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（理工类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一昼湿其蹈已窟琅鲍颓隙简钦婿凤搀渗嘶坎兽柳策昔柬捡碧职萧俩订晦沤伏姨脂醉俩烛遁粹哈抢馅酝奠鸭弊倦犁瞄梆殉冶棒个天滞呀渤闹财及汇疡捅律读势镀蜜洽悍长颊庭痛棍腾培辕桨叮粱绍鲜掇挑抓胆哺炕滇凉贩搔彝每喝曳响酷渭缨昧蛰盟绒围碧遣称租凄杜日肤缓意娘夏勿件迫语拼壳寿烃蹋痰垣棠沦独笑瞥食粮楚动峡星蛾贯岂滋粗罗带劈河毙食吞短鱼艺雷痪羔就嚣拨唱完蛋虏庸痪吸遍莫旨烧吊眷宛汝为霖篡团芥灌拾稽贫少粥族裂诛揽鳞乾贸爷胰爆蔚柄育扰剐浮楔催敦术帧架吃湿雌镜起澡臀甥工厨雷记炒坠铜甸郧伊夹火谍咙仿锗帚束漳秆垢磅扩律水丫苫射味仙道逛嚎激碌延噶揣