2016届高考理科数学第一轮课时作业题27.doc

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阶段回扣练2　函数概念与基本初等函数Ⅰ　
(时间：120分钟　满分：150分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．(2014·山西四校联考)函数y＝＋的定义域为
(　　)
A．[－4，＋∞) B．(－4,0)∪(0，＋∞)
C．(－4，＋∞) D．[－4,0)∪(0，＋∞)
解析　由题意知得x≥－4且x≠0.
答案　D
2．(2014·湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是
(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
解析　A中f(x)＝是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．
答案　A
3．已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝
(　　)
A．3 B．1－
C.－1 D．1
解析　设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，即f(x)＝＝，所以f(2)－f(1)＝－1，选C.
答案　C
4．(2014·金华高三考试)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝
(　　)
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析　当x＜0时，则－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)＝－x3＋ln(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
答案　C
5．(2014·西安检测)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则
(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
解析　依题意得，a＝log43.62＞log43.6＝c＞log43.2＝b.
答案　B
6．(2015·杭州五校联考)设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是
(　　)
A．f(a＋1)＞f(2) B．f(a＋1)＜f(2)
C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析　由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．
答案　A
7.(2014·烟台模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在区间是
(　　)

A. B．(1,2)
C. D．(2,3)
解析　由f(x)的图象知0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，g(x)＝ln x＋2x＋a，g(x)在定义域内单调递增，g＝ln ＋1＋a＜0，g(1)＝2＋a＞0，g·g(1)＜0，故选C.
答案　C
8．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
(　　)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析　设仓库到车站距离为x千米，由题意得，y1＝，y2＝k2x，其中x＞0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝，y1＋y2＝＋x≥2 ＝8，当且仅当＝x，即x＝5时取等号，故选A.
答案　A
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
9．(2015·潍坊模拟)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象经过的定点坐标是________．
解析　令x＋1＝0，得x＝－1，f(－1)＝2－3＝－1.
答案　(－1，－1)
10．(2014·贵阳监测)若函数f(x)＝x2－2kx＋1在[1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．
解析　依题意，函数f(x)＝(x－k)2＋1－k2在[1，＋∞)上是单调递增函数，于是有k≤1，即实数k的取值范围是(－∞，1]．
答案　(－∞，1]
11．(2014·绍兴高三模拟)已知f(x)＝
则f(f(3))的值为________．
解析　因为f(3)＝log3(32－6)＝log33＝1，
所以f(f(3))＝f(1)＝3e0＝3，故填3.
答案　3
12．(2014·南通模拟)已知函数f(x)＝在R上是单调增函数，则实数a的取值范围________．
解析　f(x)在R上是单调增函数，需满足a＝0或解得－≤a<0.故－≤a≤0.
答案　[－，0]
13．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
解析　求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
答案　2
14．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.
若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析　因为f(x)的周期为2，
所以f＝f＝f，
即f＝f.
又因为f＝－a＋1，
f＝＝，
所以－a＋1＝.
整理，得a＝－(b＋1)．①
又因为f(－1)＝f(1)，
所以－a＋1＝，即b＝－2a.②
将②代入①，得a＝2，b＝－4.
所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
答案　－10
15．(2015·哈尔滨四校检测)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为________．
解析　函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x＋1)＝
－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，作出x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|的图象，并利用周期性作出函数f(x)在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g(x)在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f(x)与g(x)的图象有9个交点，所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为9.

答案　9
三、解答题
16．(2014·嘉兴高三测试)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.
(1)证明　设x1＜x2，∴x2－x1＞0，
当x＞0时，f(x)＞1，
∴f(x2－x1)＞1.
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在R上为增函数．
(2)解　∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，
∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4
⇒3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，
∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，
∵f(x)在R上为增函数，
∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2，
即a∈(－3,2)．
17．函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
解　(1)由得
解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]
＝log2－1(x＞1)．
∵＝＝(x－1)＋＋2≥
2 ＋2＝4.
当且仅当x－1＝，
即x＝2时，等号成立．而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，则log2 －1≥log24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.
18．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.
故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1,3.
(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个相异的不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，
即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，
∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立．
于是Δ′＝(4a)2－16a＜0解得0＜a＜1，
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时的a的范围是(0,1)．
19．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立？
解　由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，则
解得
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减，
∴当x＝0时，f(0)＝18；当x＝1时，f(1)＝12，
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)法一　令g(x)＝－3x2＋5x＋c.
∵g(x)在上单调递减，
要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，
则需要g(x)max＝g(1)≤0，
即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.
∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
法二　不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，
即c≤3x2－5x在[1,4]上恒成立．
令g(x)＝3x2－5x，
∵x∈[1,4]，且g(x)在[1,4]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.
即c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
20．(2014·湖州调研)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？
解　(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得，当0＜x＜80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－x2－10x－250＝
－x2＋40x－250.
当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－.
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950.
此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－
2 ＝1 200－200＝1 000.
此时，当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．因为950＜
1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

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东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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