高三数学知识点综合复习检测2.doc

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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是(　　)
A．直角三角形　　　　　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sin[(A－B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．
答案：A
2．已知sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α
＝1－＝，
又∵α∈，∴sinα＋cosα>0，
∴sinα＋cosα＝.
答案：B
3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos[90°－(x－20°)]
＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)
＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.
答案：B
4．若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α的值是(　　)
A．－ B．－
C．－2 D.
解析：∵点P在y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，
∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)
＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.
答案：C
5．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)
A．1 B.
C．1或 D．1或10
解析：tan(α＋β)＝1⇒
＝＝1
⇒lg2a＋lga＝0，
所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或.
答案：C
6.的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：原式＝
＝
＝＝.
答案：C
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.
解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ
＝sinαcosβ－cosαsinβ，
即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．
∵α、β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinα，
∴α＝.
答案：
8．若tan(－θ)＝3，则＝________.
解析：∵tan(－θ)＝＝3，
∴tanθ＝－.
∴＝
＝＝＝3.
答案：3
9．设f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)的最大值为＋3，则常数a＝________.
解析：f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)
＝cosx＋sinx＋a2sin(x＋)
＝sin(x＋)＋a2sin(x＋)
＝(＋a2)sin(x＋)．
依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.
答案：±
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知α为锐角，且tan＝2.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝，所以＝2，
1＋tanα＝2－2tanα，
所以tanα＝.
(2)＝
＝＝＝sinα.
因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为锐角，所以sinα＝，
所以＝.
11．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，)，sin(β－)＝，β∈(，)．
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，
即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.
又2α∈(0，)，∴cos2α＝＝，
∴tan2α＝＝.
(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，∴cos(β－)＝，
于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝.
又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－.
又2β∈(，π)，∴sin2β＝.
又cos2α＝＝，
∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，))．
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝×(－)－×＝－.
12．(2010·天津高考)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
解：(1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)
＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin(2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，
又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，
所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋)．
又因为f(x0)＝，所以sin(2x0＋)＝.
由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]．
从而cos(2x0＋)＝－＝－.
所以cos2x0＝cos[(2x0＋)－]
＝cos(2x0＋)cos＋sin(2x0＋)sin＝.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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