高考数学专题复习测试卷15.doc

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第十九讲　三角恒等变换
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．已知α是锐角，且sin＝，则sin的值等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：由sin＝得cosα＝，又α为锐角．
∴sin＝－sin＝－
＝－＝－＝－.
答案：B
2.·等于(　　)
A．－sinα B．－cosα
C．sinα D．cosα
解析：原式＝
＝＝cosα.故选D.
答案：D
3．若－2π＜α＜－，则 的值是(　　)
A．sin　　　　　　　　 B．cos
C．－sin D．－cos
解析： ＝
＝ ＝，
∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，∴cos＜0，
∴＝－cos，故选D.
答案：D
4.的结果为(　　)
A．tanα B．tan2α
C．cotα D．cot2α
解析：＝＝tan2α.
答案：B
5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝，
∴(cos2α＋cos2β)＝，
∴(2cos2α－1＋1－2sin2β)＝，
∴cos2α－sin2β＝.
答案：C
6．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是(　　)
A. B.
C. D.
解析：y＝sin2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋
＝sin＋，故选择C.
答案：C
评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的模式．一般地，acosx＋bsinx＝＝(sinφcosx＋cosφsinx)＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，也可以变换如下：acosx＋bsinx＝(cosφcosx＋sinφsinx)＝cos(x－φ)，其中tanφ＝.
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值为____．
解析：设θ＋15°＝α，
原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cosα
＝sinαcos60°＋cosαsin60°＋cosαcos30°－sinαsin30°－cosα＝0.
答案：0
8．(2010·山东潍坊检测)已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
解析：由cos(α＋β)＝sin(α－β)，
得sin＝sin(α－β)，
又－α－β与α－β在同一单调区间内，
故－α－β＝α－β，∴α＝，tanα＝1.
答案：1
9．(tan5°－cot5°)·＝________.
解析：(tan5°－cot5°)·
＝·＝－2··tan10°＝－2.
答案：－2
10．[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________.
解析：原式＝[2sin50°＋sin10°]·
＝··cos10°
＝2sin50°cos10°＋sin10°·2sin40°·
＝2sin50°cos10°＋2sin10°cos50°
＝2sin60°＝.
答案：
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知0＜α＜，0＜β＜且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan＝1－tan2，求α＋β的值．
分析：由的关系可求出α的正切值．再依据已知角β和2α＋β构造α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β.
解：由4tan＝1－tan2
得tanα＝＝.
由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
得3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，
∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.
∴tan(α＋β)＝2tanα.
∴tan(α＋β)＝1.
又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜，
∴α＋β＝.
评析：首先由4tan＝1－tan2的形式联想倍角公式求得tanα，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．
12．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－2.
分析：本题由于＋＝α，－＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式．
解：原式＝1－(sinα＋sinβ)＋sinαsinβ－－

＝1－2sincos＋sinαsinβ－

＝sinαsinβ＋[cos(α＋β)－cos(α－β)]
＝sinαsinβ＋·(－2)sinαsinβ＝0.
评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．
13．已知sin(2α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，求sinα的值．
解：∵<α<π，∴π<2α<2π.
又－<β<0，∴0<－β<.
∴π<2α－β<.
而sin(2α－β)＝>0，
∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.
又－<β<0且sinβ＝－，
∴cosβ＝，
∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]
＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ
＝×－×＝.
又cos2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝，
又α∈，
∴sinα＝.
评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sinβ求cosβ，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．
另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，＋＝等．
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