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课时作业(十九) 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、选择题
1.(2016·四川绵阳月考) 等于( )
A.± B.
C.- D.
解析:===cos60°=。
答案:D
2.(2016·成都外国语学校月考)已知tan(α-π)=,且α∈,则sin=( )
A. B.-
C. D.-
解析:tan(α-π)=⇒tanα=>0。
又因为α∈,所以α∈。
所以sin=cosα=-。选B。
答案:B
3.(2016·泉州期末)已知tanα=2,则=( )
A. B.-
C. D.
解析:方法一:切化弦的思想:因为tanα=2,
所以sinα=2cosα,cosα=sinα。
又sin2α+cos2α=1,故sin2α=。
所以====,故选D。
方法二:弦化切的思想:
因为=====。
故选D。
答案:D
4.(2016·梅州质检)已知α为锐角,且tan(π-α)+3=0,则sinα的值是( )
A. B.
C. D.
解析:因为tan(π-α)+3=0,
所以tanα=3,sinα=3cosα。
因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=。
又α为锐角,故sinα=。
答案:B
5.(2016·唐山二模)已知sinα+cosα=,则tanα=( )
A. B.
C.- D.-
解析:∵sinα+cosα=,
∴(sinα+cosα)2=3,
∴sin2α+2sinαcosα+2cos2α=3。
∴=3。
∴=3。
∴2tan2α-2tanα+1=0。∴tanα=。
答案:A
6.(2016·衡水调研)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinα的值是( )
A. B.
C. D.
解析:由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ=1,解得tanα=3,又sin2α+cos2α=1,α为锐角.故sinα=。
答案:C
二、填空题
7.(2016·山东青岛一模)已知sin=,则cos=__________。
解析:cos=cos=cos=sin=。
答案:
8.(2016·湘潭模拟)sin+cosπ·tan4π-cos+sin=__________。
解析:原式=-sin+cosπ·tan4π-cos+sin=-sin+cosπ·tan4π-cos+sin=-sin+cosπ·tan0-cos+sin=-sin+0-cos+sin=-sin+cos-1=-+-1=-1。
答案:-1
9.(2016·江南十校联考)已知sin=,且-π<α<-,则cos=__________。
解析:∵sin=,又-π<α<-,
∴<-α<,
∴cos=-=-。
答案:-
三、解答题
10.(2016·浙江嘉兴测试改编)已知α为钝角,sin=,求sin的值。
解析:cos=sin
=⇒cos=。
因为α为钝角,即<α<π⇒-<-α<-,所以sin<0,
则sin=-=-。
11.(2016·江苏南京、盐城二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2)。
(1)若x1=,求x2;
(2)过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=S2,求tanα的值。
解析:(1)方法一:因为x1=,y1>0,
所以y1==。
所以sinα=,cosα=。
所以x2=cos
=cosαcos-sinαsin
=×-×=-。
方法二:因为x1=,y1>0,
所以y1==,A,
则=,=(x2,y2)。
因为·=||||cos∠AOB,
所以x2+y2=。
又x+y=1,联立消去y2,
得50x-30x2-7=0,解得x2=-或。
又x2<0,所以x2=-。
方法三:因为x1=,y1>0,
所以y1==。
因此A,所以tanα=。
所以tan==-7。
所以直线OB的方程为y=-7x。
由得x=±。
又x2<0,所以x2=-。
(2)S1=sinαcosα=sin2α。
因为α∈,所以α+∈。
所以S2=-sincos=-sin=-cos2α。
因为S1=S2,所以sin2α=-cos2α,
即tan2α=-。
所以=-,解得tanα=2或tanα=-。
因为α∈,所以tanα=2。
12.(2016·烟台期末)在平面直角坐标系中,角α,β的始边为x轴的非负半轴,点P(1,2cos2θ)在角α的终边上,点Q(sin2θ,-1)在角β的终边上,且·=-1。
(1)求cos2θ;
(2)求P,Q的坐标,并求sin(α+β)的值。
解析:(1)∵·=-1,
∴sin2θ-2cos2θ=-1,
∴-(1+cos2θ)=-1,∴cos2θ=。
(2)由(1)得:cos2θ==,
sin2θ==,
∴P,Q。
∴|OP|==,
|OQ|==,
∴sinα=,cosα=,
sinβ=-,cosβ=,
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×+×=-。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光,千里冰封,万里雪飘。
望长城内外,惟余莽莽;
大河上下,顿失滔滔。
山舞银蛇,原驰蜡象,
欲与天公试比高。
须晴日,看红装素裹,分外妖娆。
江山如此多娇,引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武,略输文采;
唐宗宋祖,稍逊风骚。
一代天骄,成吉思汗,
只识弯弓射大雕。
俱往矣,数风流人物,还看今朝。
薄雾浓云愁永昼, 瑞脑消金兽。 佳节又重阳, 玉枕纱厨, 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后, 有暗香盈袖。 莫道不消魂, 帘卷西风, 人比黄花瘦。
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