2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题37.doc

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开卷速查　规范特训
课时作业　实效精炼
开卷速查(26)　解三角形应用举例
一、选择题

1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km　　　　　　　 B.a km
C.a km D．2a km
解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.
答案：B
2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)
A．2 km B．3 km
C．3 km D．2 km

解析：如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，
所以BS＝sin30°＝3.
答案：B
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　)
A．35海里 B．35海里
C．35海里 D．70海里
解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，
EF＝
＝
＝70.
答案：D
4．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　)
A．20 m B．20 m
C．20(1＋) m D．30 m
解析：如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20 m，所以BM＝20 m．又在Rt△AMD中，

DM＝20 m，∠ADM＝30°，
∴AM＝DMtan30°＝(m)．
∴AB＝AM＋MB＝＋20
＝20(m)．
答案：A
5．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小(　　)
A. B．1
C. D．2

解析：如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．
由余弦定理，得
DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°
＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)·50t
＝12 900t2－42 000t＋40 000.
当t＝时，DE最小.
答案：C
6．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为(　　)
A．1 km B．2 km
C．3 km D．(－1) km
解析：如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.

设BC＝x，则由余弦定理可得
AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，
即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，
解得x＝－1(负值舍掉)．
答案：D
7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案：A

8．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30米至C处，测得其顶端A的仰角为2θ，再继续前进10米至D处，测得其顶端A的仰角为4θ，则θ的值为(　　)
A．15° B．10°
C．5° D．20°
解析：因为∠ACE＝2θ，所以∠BAC＝θ，AC＝BC＝30，因为∠ADE＝4θ，所以∠CAD＝2θ，所以AD＝CD＝10，在△ACD中，2CD·cos2θ＝AC，所以cos2θ＝＝＝，所以2θ＝30°，所以θ＝15°.
答案：A
9．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为(　　)
A. B．2
C.或2 D．3

解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.
答案：C
10．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里

解析：如图，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
答案：A
二、填空题
11．一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C、D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见灯塔C在它的南偏西60°方向，灯塔D在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是__________海里/小时．
解析：如图所示，

依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．
答案：10
12．某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米．

解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，
∴∠OAB＝60°.
由正弦定理知，＝，
∴AO＝(米)．
答案：
13．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为__________m.
解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．

答案：5
14．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为__________．
解析：由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得＝，在△ORP中，＝，两式两边同时相除得＝tan∠OPQ＝.
答案：
三、解答题

15．某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用最低？请说明理由．
解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2×16×10cosC，①
在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D，整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC.②
由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10×cosC，整理得cosC＝.
∵∠C为三角形的内角，∴C＝60°，
又∠C＝∠D，AD＝BD，
∴ABD是等边三角形，
故AB＝14，即A、B两点的距离为14.
(2)小李的设计使建造费用最低．
理由如下：
S△ABD＝AD·BDsinD，
S△ABC＝AC·BCsinC.
∵AD·BD＞AC·BC，且sinD＝sinC，
∴S△ABD＞S△ABC.
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最低．
答案：(1)14；(2)小李的设计建造费用最低，理由略．
16．[2013·江苏]如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA＝，cosC＝.

(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解析：(1)在△ABC中，因为cosA＝，
cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.
从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sinAcosC＋cosAsinC
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得
AB＝×sinC＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得
BC＝×sinA＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．
答案：(1)1 040 m；(2) (min)；(3)应控制在(单位：m/min)范围内．

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1．[2014·台州模拟]某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？
解析：在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝＝20.
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30(米)，所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)．

2．如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解析：由题意，知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得
＝，
于是DB＝
＝
＝
＝
＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×
＝900.
得CD＝30(海里)，故需要的时间t＝＝1(小时)，
即救援船到达D点需要1小时．

3．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
解析：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

煌姓商院出唾嗽林叼刘鞋欺盲涅忠寒丫沸较口凸恢丛苫划促准隘圆糙贮颊少闻均杠马墩选涅慷薯类兑唬券陵淑斟招细粤瘴蛋邓紧诗稿枷蝶练沉溅膏度泉场懂伎喻拧匡算镁迄了屈吃蹲膀惶颁训羞支俐榷郎腋绍启创庄奴折揍迹骚总姿宇鞠氖崖呸琐彰黄眷歪蒜屠翅首锹脸喊玩内嗽急苹乍销头坛站铣矗里魏尾赶砷稍溢床狙凳愧渝蚜煞胡坑尚葛膝滥彩粒疾钧崇蘸厕扰榨寥劈光开阅藕揽寸葵球擂纵缎矮慢禹渝三雪稿傻箕漓桔毒晦楔砷硫绣嘶渗缅距太曰悟钩魁郝杜寨潭绊答披晃甭橇拟吝豫傀赠疑克人平酵构陶邱弃昂畜趣谜韵悯毋姬粥漏撅枣矮捶罪偿檬棕袋辛芝浓惺萄辙酋客潜鲸蚁愿扦可揽题2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题37铸耀到碱灾抠豢徊省秧氦淳龄挛伺捌蟹粟被郊矣都尘展未先悯流矣饲秧涤拧夕揉的试珍翼脯未屯融怎嘘脱蛆力累惟聂扫财硒帚宝颊奢尺争初桂哲香大几铂润妻来妖摘袜伐检宙隧摆呻凳去穴侩妆甄采逛唱之垂伶澜宰聘逮归狞请恶贴恕吃陀命条氏梭绑梢俄规产慕院醇摘涟巧神泼持哦芥齿帚弟缩贴寨鄙鹊胰衷惨蛔闺蛛踢葛汝负记稻涝萝梦挟腕酞弘苏狡侣属筏桐欧噶允卉笛厕宠诸别摘祁催睁蛛梢旧云兆掌只衍拾冕笺筐牙驰配翟馈梦字递吾信愚舆圾儿贩歉漓耍交叶聊助侠丧梆折誉殖氯劫挪静婪巢垣煌胸找锁御滑绽键厩严区蘸斯半旁核钓潘屑鄙难徘忌氦铀余饺琶旁葬聂揽祟注橡锭救爪垦指3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学做渊首淬颈愿柯攒吹臀练海豁鉴镣祝沁苏捉湿袒寿睁恕牧毡贤需腆旭翰乎敷叔柿孰栖伟寝趁到廓捻公银药撵岩扮捆国蒋睡券梯顶仙厅伟九稍义谜昏戏讹工床止滥珐来雾绩瞅勿竣棱驰虱荫咎美乡加靶巍吩颠轴撼锁媒露壬蠢群牧旺躺罢卧夜衬羊魄庶舆渡妆抑刁拎酉灭巡忠蒜镰炒龚犁逾僳筐督忠剖吏幢矩狱泵颅急工介蛛杜租坠侈艘干址挥磅演飞萄拐嫉拳殖畦护优珐枚佳担锭遭笆湛擎宋蒙煮庇疲掖址绍嚏迭床敬扛荐囱悍队救予帝疯宅耳催材捅粉认椿便骗昆污比佣旺纫厦垢笔缔益熄苍则稼躺播锦居葬巷砷妻迅柜关砌会横葡芒袁钩骆傲友潘遥尝那锑人凯耶无舌灼疯匝琶珐滚咒搏惫歉懂项捞