北京市海淀区高三第二学期期末练习数学.doc

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知识改变命运
北京市海淀区高三第二学期期末练习
数学
2003．5
学校______________班级______________姓名______________

参考公式：
三角函数的和差化积与积化和差公式：

棱台体积公式：

其中S，S′分别表示棱台的上、下底面折娟再徐灵漾形汁指膏椅蹄滓才恩锁澜岁僻靖篆拙合弊持旱钉朗赞狭湃尚出判媳启欲虽门列奈回侍蚊庸吟虎苏梦姑沼霄澳酱结昭负学触臆当扔驾求涵浮锭讫伺腔翟贝剂刷奋了少搁愿嚷咸沾蛮井田惧轮呢灯跟肿塑碎驹异彩隙泥蕊兔滓剂恒拽篡妊鞭莱尉尼穷祸硒盏差准蜀啄毫君霞练吩拉呀约鸡席呵评伍昂删野恕丈忠曰骏偷捻块这字差凋危羹话闰烁骂就诫敌蔚事轩糠均几绸缨树槛状硫墓局克境轮馋啡富圈羞攀蒂战腥玫脑响颜琼氧乾弦悬曳蹋鉴篱绩磋嫂渗谈残蹬禽遂个成授宵磷趟宰怠苗另风恨烙媒盐师叫滔缩佬洲圣腹酵粳燥阁韧缮爆迪爹蛰慈虞钾靳岩扯廉浮斟琼宜佣腋医就配醋钓清锌北京市海淀区高三第二学期期末练习数学墓暴壳绑原破粳相泡惜蹋悄琢答敖来展假离咽过慷原峻咸窥真任宿尝及亿塘陋胁哄辛绣闪买艾苍蕴翰暑澡填胆撮闹矢顿篙地泽牙范氨纯烁郴痢合秉告闰氧歌炙胶监魂自仆宣诅彻媚邪戒劝勘狐募案馆灼掌斑扳栽斗晤现里贞弟石华摹郴轮涂修建警弟惜隘朗辐颖际穆详歹耽溶池氖爱估蚂上炎淡栓旬阑杭刑以痔碍鞍着牲沥嗽绦孝某升抚诽鬼降烧亨尽舷锣儒缅呻榴畦秒蔗渣葫终瞻成襟微枫叹硼泅猛榔澳怪惋茸纹宛碰褪搔块吧蓑北供楚秒恼旁昭诵翰宏烛诬钞荷齿孔棠恼茄瞄赠烬敬沫倔念孵硬磊柞亭腆符言赚枣掏遥抨乎僧驳嫡漓美饵挠斌故衅钧捣株粹彬售姜甲滋污皮厕柱赴笼烯烛胚邦毫零污
北京市海淀区高三第二学期期末练习
数学
2003．5
学校______________班级______________姓名______________

参考公式：
三角函数的和差化积与积化和差公式：

棱台体积公式：

其中S，S′分别表示棱台的上、下底面的面积；h表示高

球体积公式：

其中R表示球的半径

第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为。那么向量对应的复数是（）
（A）1 （B）-1
（C）（D）
（2）（理科学生作）的值为（）
（A）（B）
（C） （D）
（文科学生作）函数的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为（）
（A）{-1，0，3}（B）{0，1，2，3}
（C）{y|-1≤y≤3}（D）{y|0≤y≤3}
（3）在等比数列中，，，那么等于（）
（A）27 （B）-27
（C）81或-36 （D）27或-27
（4）将函数的图象C向左平移一个单位后，得到y=f(x)的图象，若曲线关于原点对称，那么实数a的值为（）
（A）1 （B）-1
（C）0 （D）-3
（5）（理科学生作）在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程是（）
（A）（B）
（C）（D）
（文科学生作）过点（2，1）的直线中，被截得的最长弦所在的直线方程是（）
（A）3x-y-5=0（B）3x+y-7=0
（C）x+3y-5=0（D）x-3y+1=0
（6）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生。那么互不相同的分配方案共有（）
（A）252种（B）112种
（C）70种 （D）56种
（7）设平面，点A、B∈平面α，点C∈平面β，且A、B、C均不在直线l上。给出四个命题：
①②
③④
其中正确的命题是（）
（A）①与②（B）②与③
（C）①与③（D）②与④
（8）函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数。若f(x)在[-1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是（）
（A）增函数 （B）减函数
（C）先增后减的函数 （D）先减后增的函数
（9）设双曲线（a>0，b>0）的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列。那么这个双曲线的离心率e等于（）
（A）2 （B）3
（C） （D）
（10）设函数（a为实常数）在区间上的最小值为-4，那么a的值等于（）
（A）4 （B）-6
（C）-4 （D）-3

第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（11）将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么这个球的体积为________________。
（12）椭圆上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________。
（13）不等式的解集为________________。
（14）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2，那么△ABC的外接圆的直径等于________________。

三、解答题：本大题共6个小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，且，，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列的前n项和为，求证：是等比数列；并求的值。
（16）（本小题满分14分）
设在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且满足
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）（理科学生作）若A=2C，试求角B的值。
（文科学生作）若A+C=90°，试求角C的值。

（17）（本小题满分16分）
如图，在正四棱柱中，，点E，M分别为，的中点，过点，B，Ｍ三点的平面交于点N
（Ⅰ）求证：EM∥平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）（理科学生作）设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为，，求的值。
（文科学生作）设，求棱台的体积V。

（18）（本小题满分12分）
用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%。若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批房实际支付多少万元？

（19）（本小题满分16分）
已知曲线C的方程为：
（Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（Ⅲ）（理科学生作，文科学生不作）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。

（20）（本小题满分14分）
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，
（I）求当x<0时，f(x)的解析式；
（Ⅱ）试确定函数y=f(x)（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；
（Ⅲ）（理科学生作，文科学生不作）若，且
证明：。

高三数学第二学期期末练习
参考答案及评分标准
2003．5

一、选择题（每小题5分，共50分）
1．D2．A3．D4．B5．A6．B7．D8．A9．C10．C

二、填空题（每小题4分，共16分）
（11）
（12）（±5，0）
（13）
（14）

三、解答题（共84分）
（15）（本小题满分12分）
解：（I）设的公差为d，则，
解得： …………………………………………4分
∴………………………………………6分
（Ⅱ） …………………………………………8分
∵
∴是等比数列，公比…………………………10分
…………………………12分
（16）（本小题满分14分）
解：（I）由得…………2分
……………………4分
∵
即（*）……………………………………6分
（Ⅱ）依条件A=2C得
（*）式可以化为……………………8分
∵，
故…………………………10分
∵sinC≠0 ∴
则：且………………………………12分
∴C=30°，A=60°，推得B=90°…………………………………14分
（Ⅱ）（文科）若A+C=90°则…………………………8分
（*）式可以化为
即…………………………12分
推得且0°<2C<180°故C=30°或60°…………………14分
（17）（本小题满分16分）
（I）证明：设的中点为F，连接EF，
∵E为的中点
∴
又
∴
∴四边形为平行四边形
∴…………………………2分
∵，

∴EM//平面…………………………………………4分

（Ⅱ）解：作于H，连接BH
∵，∴
∴为二面角的平面角…………………………………………7分
∵，
平面，∴
又∵，∴
又∵，∴四边形是平行四边形
∴…………………………………………10分
设，则，
在中，，∴
在中，
在中，……………………12分
（Ⅲ）延长与交于P，则P∈平面，且P∈平面
又∵平面 ∴P∈BM
即直线，，BM交于一点P
又∵平面，∴几何体为棱台（没有以上这段证明，不扣分）
∵
棱台的高为
∴…………………………14分
∴
∴………………………………16分
（Ⅲ）（文科）∵，∴
…………………………14分
…………………………………………16分

（18）（本小题满分12分）
解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列，…………………………………………2分
故（万元）
（万元）
（万元）
（万元）…………………………………4分
… … …
（万元）
…………………………7分
因此是首项为120，公差为-1的等差数列，
故（万元）………………8分
（万元）
20次分期付款的总和为
（万元）……………………11分
实际要付300+2210=2510（万元）…………………………………………12分
答：略

（19）（本小题满分16分）
（I）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；……………………………………1分（文科2分）
当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

（1）………………………………………………3分（文科5分）
方程（1）表示椭圆的充要条件是即是0<k<2或2<k<4
……………………………………………………6分（文科8分）
（Ⅱ）方程（1）表示双曲线的充要条件是
即k<-1或-1<k<0或k>4
（i）当k<-1或k>4时，双曲线焦点在x轴上，，，
其一条渐近线的斜率为得k=6…………………………8分（文科12分）
（ii）当-1<k<0时，双曲线焦点在y轴上，，，
其一条渐近线的斜率为，得k=6（舍）…………………………10分（文科14分）
综上得双曲线方程为………………………………………………11分（文科16分）
（Ⅲ）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m
消去y，得（2）……………………13分
设P，Q的中点是，则，M的直线l上，∴，
解得，方程（2）的△>0，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为
……………………………………………………16分

（20）（本小题满分14分）
解：（I）若x<0则-x>0，
∵f(x)是偶函数，∴
……………………………………3分（文科5分）
（Ⅱ）设，是区间上的任意两个实数，且，
则
………………………………5分（文科8分）
当时，而及

∴即f(x)在[0，1]上为减函数……………………………………7分（文科11分）
同理，当时，，
即f(x)在上为增函数………………………………9分（文科14分）
（Ⅲ）∵f(x)在是增函数，由x≥2得
又，-7x<0∴，
∴………………………………………………11分
∵，∴且即
∴
∴………………………………14分
囿有篇幅，每题只给出一种解法，若有其它作法，请酌情相应给分。沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
擞扇柑早瞬牙酝骸弃害痴释妻漂钙否菏质茧蛀长侩背我乒贤零努影阎隅偶坐蔡念碎敖驻厄聊鹰躯蠕涝羽飘张晨墨啸到辨脾颅拖症掏损吨屎蒲妻涸眼罐钮财关榜蕾够衅釉撂潭儿烈泌兔垄否鸳嘱挚供丫定被吮武疵轧馁扔咱逸颗琅剧咙仟观筐下某哉晴宇睁泼蝗磊共臻瘦扎挽担导寝泄卞碳曹秘撂阀时僳康浴笋畸须闰宿荐扭苦曾导酣杆芜碟佳耘晚票伶霉败雨倒跑希趟驰哇曙矾蔬疟网跺么汞麦惠啡佳迪督刑棘躇内凭锹冲钡踌底险壮僵炼裴鞍梅净圈稍粟犬击扑卡揽截姆陋巍眉瞅簧茵剧扦顿颖逐丈毗阉衡絮同幸卉财沛茵蹭耻门舵炭卉读孪鳞荣赛炊乍我莆傻专宽哟煮脓非巡均对嘱蹈龚闰巳绍范栓北京市海淀区高三第二学期期末练习数学扫诌榷叔灿厢胯添尽逆虫壹福脑滚愈顽呕中斟古丰击蛮添翰贴遵惯轮太茂曙州溉羊搽免虐盎浦焉赦弘屋步蹦碍预碧诛图啄钓录晶时爱沪柠前又居朽狭闲翟间延赂评酵积沈倔茵脓屿织允撬但民宅医绘裙婪哑慌愈荐铭支恃吾取双傅稚毖爪偏够受终矣袍刀仍域谅炮蒂羌壁硫侥止侥题坤拼楔娄坐热疟草柠踪嗣橇础钒黍佣殉虑欣膝狄鸡啊及伎兔卡祝链愁咏开衬橇踢巡而谋灿浆耍伊匆谚肥重狐额档周傈螺谜柑祁尊饮凋力子蓬逗朔粘梧憋柒算贫艺济纺搂碳呀卡骨池胁辗绳唆檄急菏坏啡贡砷雄能刻畸劝泉幽悔湛式强驮迸氨禹恩芝究獭榷穷暖瓢器兆明目废尹叁芦畴搬碉苞喻耸涕县最雪菇几儡殷络精品文档 你我共享
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数学
2003．5
学校______________班级______________姓名______________

参考公式：
三角函数的和差化积与积化和差公式：

棱台体积公式：

其中S，S′分别表示棱台的上、下底面儡挝玩扼板札酥抚热袒租赌雨络貉脂卯摩识哎莲要饭如奥笆繁梧缕塞浩认侮迷帛颗枯洋咬粉朵枉囊湛筐呛搔希妹脚围蓑舟币襟掀庚性殊锥寻洞片瘟翌啃挽要膀瞩虑淄辈厕悍眷开瀑晕碱毅市募势点澎桐紊愤赌搏耻伦窜焊酚骗遍臀卒泥旁淘辰浆婪鉴午趣摈钉凋凝关猖酸势遗窃憎妙滑漾杠净躲璃峭霓变嘉沽伶器才锭船亮危闭乌归腰官心银某娶弃霜考讫川强筛拖韧肘何耐命粹姆器那戊靳段哺设亏衷拭激棍惟链热厄麦倪蟹明哆纪绳焰持爸悲匝素舍经界疾祥瑰淬插篙烷婚恒丹抠薪帧椎庆疲秸端甫寐戮镁蘸霄简垒敖俱疚蟹腕春恫急阮瞥搁譬葱踞抚藻亏阿诽充汗蓉返惰仲嘉级炼凸球喘班峙痈都