矩阵的若尔当标准型及简单应用.doc

哈尔滨师范大学
学 年 论 文

题 目 矩阵的若尔当标准型及简朴应用
学 生 李小琴
指导老师 穆强
年 级 2023级
专 业 数学与应用数学
系 别 数学系
学 院 数学与计算机科学学院

哈尔滨师范大学
20236月

矩阵的及若尔当标准型及简朴应用
李小琴

摘 要：复数域上的每一阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简朴应用.
关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准

定义1 设是一个复数，矩阵 （ 1 ）
其中主对角上的元素都是，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于
的一个若尔当（或若尔当块）.
当=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.
定理1 设是维向量空间的一个线性变换，都是的一切互不相同的本征值，那么存在的一个基，似的关于这个基的矩阵有形状
（ 2 ）
这里=，而都是属于的若尔当块，
证 设的最小多项式是，而在复数域上是不可约的因式分解，这里是互不相同的本征值，是正整数，又设=ker｜ }，所以空间有直和分解=
对于每一，令是—在上的限制，那么是子空间的一个幂零线性变换，而子空间可以分解为一循环子空间的直和：.在每一循环子空间里，取一个循环基，凑成的一个基，那么关于这个基的矩阵有形状
这里是幂零若尔当块.令，那么=+，于是对于加上基来说，的矩阵是

这里都是属于的若尔当块.
对于每一子空间，按以上方式选取一个基，凑起来成为的基，那么关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.
注意 在矩阵（2）里，主对角上的第块，是的矩阵.而子空间
显然由唯一拟定，而出现在每一里的若尔当块里由唯一拟定的，因而是由唯一拟定.
定义2 形式如的阶矩阵，其中每一都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.
例如：
都是若尔当标准形式.
定理2 复数域上每一阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的顺序外，与相似的若尔当标准形式是由唯一拟定的.
证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的顺序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.
定理3 （1）设为上的维线性空间，线性变换：的特性多项式分解为上的一次式的积.，，这里，是弱特性空间的直和=，
又，dim=,在上的限制|的特性多项式和最小多项式为
（2）设矩阵（，，）的特性多项式分解为上一次式的积.det,这时，存在正则矩阵，
方阵的结束等于，构成的若尔当的个数等于属于的特性空间多项式的维数若尔当块矩阵称为矩阵的若尔当.
注意 中的，其阶若尔当块的个数又唯一拟定.
例1 证明对，（，，），存在正则矩阵，使=和具有相等的若尔当标准型.
证 设和具有相等的若尔当标准型，则存在正则矩阵，，使=，=，令=，则正则接=.反之，设已存在正则矩阵，使=，设是若尔当标准型，则，故的若尔当标准型也是.
例2 求矩阵=，的若尔当标准型，求实矩阵使成为若尔当矩阵.
解 （1），rank,故特性空间（5）的维数是3 – rank (-5)=2，于是机若尔当块的个数为2，的若尔当标准型为.
(2) 方程（+2）=0的通解为==.
例如，令=1，得=，dim=（-2）=1，（-3）=0，的通解是=，所以属于特性值3的特性空间（3）的维数是1.故属于特性值3的若尔当块是1个.
例如，令=1，得=，方程（-3）=的通解是
例如，令，得=，= - 2，= 3，=+3.故若令（ ），则=（ ）=（-2 3 +3）=，
所以=，.

参考文献：
[ 1 ] 张禾瑞 、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版.
[ 2 ] 有马哲 、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.

Matrix And Jordan
Summary : Each rank matrixes of plural area with if the Jordan be a standard form likeness,this text argument matrixes of if Jordan be standard type and in brief applied.
Keyword : The Jordan the line transformation matrix standard

学年论文（设计）成绩表
论文题目
矩阵的若尔当标准型及简朴应用
作　　者
李小琴
指导教师
穆强
职　称
讲师

指
导
教
师
评
语

该论文具体论述了矩阵的若尔当标准形式的定义、定理、性质及应用。语言表达流畅，论证充足全面，逻辑严密，结构层次清楚，实用性较强。论文整体水平高，有独立分析问题、解决问题的能力。此文是一篇合格的年业论文。
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