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精确二维固相体积分率方案

为了精确计算二维固相体积分数，将颗粒与网格的部分重叠进一步细分为四种情形。图3.1中给出了各种重叠情形下颗粒与网格的相对位置关系示意。
计算网格的二维固相体积分数时，部分重叠的四种情形还需要进一步区分网格顶点与颗粒的位置关系。本章模拟采用正方形网格进行空间离散，这里令颗粒的坐标为，网格宽度和厚度分别为，网格的几何中心为，网格的四个顶点分别为，，和，由此可计算颗粒与四个顶点的距离和。这些距离中，当和分别为最小时，单颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式存在差别，不失一般性，这里只给出当<，<和<同时成立时，各种重叠情形下单颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达式。

图3.1 颗粒与控制体的五种重叠情形

图3.2颗粒与网格重叠时颗粒质心的区域划分
图3.2给出了当<，<和<同时成立时，各种重叠情形下颗粒质心与网格左下顶点的相对位置关系，与部分重叠的四种情形相相应，这里部分重叠时颗粒与顶点的位置关系也划分为四种情形。图3.2还显示了颗粒与网格发生重叠时，颗粒质心所处位置的精确范围。以下将分类讨论各种重叠情形下单个颗粒对网格的二维固相体积分数的奉献。

(x1,y1)
(X,Y)

     (a) Cas 1 (b) Cas 2
图3.3 颗粒与网格左下顶点最近的重叠情形（Cas 1与Cas 2）
图3.3给出了颗粒与网格左下顶点距离最近的重叠情形1和2。这两种情形下，颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式是唯一拟定的，不存在变例。对于情形1，颗粒质心与网格的位置关系为：且。则单个满足重叠情形1的颗粒所占目的网格的二维固相体积分数为
(3.3)
对于情形2，颗粒质心与网格的位置关系为：，，且。此情形下计算为
 (3.4)
图3.4给出了颗粒与网格左下顶点距离最近的重叠情形3。对于情形3，颗粒质心与网格的位置关系存在四种变例，但均满足。尽管情形3存在四种变例，但通过推导，颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式是统一的。根据图3.4容易得到
  (3.5)
  (3.6)
则颗粒所占目的网格的二维固相体积分数为
   (3.7)

a
b
a
a
a
b
b
(x1,y1)
(X,Y)
b

(a) Variation 1
(b) Variation 2
(c) Variation 3
(d) Variation 4

图3.4颗粒与网格左下顶点最近的重叠情形（Cas 3）
图3.5给出了颗粒与网格左下顶点距离最近的重叠情形4。情形4存在两种变例，并且颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式也存在差异。对于情形4的变例1，颗粒质心与网格的位置关系所满足的条件为：，，且。此变例下计算为
     (3.8)
对于情形4的变例2，颗粒质心与网格的位置关系为：，，且。此变例下计算为(x1,y1)

    (3.9)
(x1,y1)
(X,Y)

(x1,y1)

(X,Y)
(a) Variation 1
(b) Variation 2

图3.5颗粒与网格左下顶点最近的重叠情形（Cas 4）

(x1,y1)
(X,Y)

(x1,y1)

(X,Y)
(a) Variation 1
(b) Variation 2

图3.6颗粒与网格左下顶点最近的重叠情形（Cas 5）
图3.6给出了颗粒与网格左下顶点距离最近的重叠情形5。情形5也存在两种变例，并且颗粒所占网格的二维固相体积分数的表达形式也存在差异。对于情形5的变例1，颗粒质心与网格的位置关系满足条件：，，且。此变例下有
   (3.10)
对于情形5的变例2，颗粒质心与网格的位置关系为：，，且。此变例下有
   (3.11)
在上述各种情形及其变例中，的计算以<，<和<同时成立为前提。类似地，不难导出当、和分别为最小时的各种表达式。将带入式(3.1)计算精确的和，由此给出了精确二维空隙率方案。