2023年计算裂项换元通项归纳.doc

计算（裂项、换元与通项归纳）
第一部分 裂项
【1】 计算 1＋2＋3＋4＋……＋20
＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（＋＋＋＋……＋）
＝210＋（＋＋＋＋……＋）
＝210＋（1－＋－＋－＋－－ ）
＝210＋（1－ ）
＝210

【2】 ＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＋
＝（－＋－＋－＋－＋－＋－）×
＝（－）×
＝× ＝

【3】计算 ＋＋＋＋＋＋
＝＋＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＋（＋）＋（＋）
＝（＋＋）＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）
＝4

【4】计算：（此题用到公式）
1－－－……－
＝1－－－－－……－
＝1－（－）－（－）－（－）－（－）－……－（－）
＝1－1＋－＋－＋－＋－……－＋
＝

【5】计算： ________．

从这个题目我们可以归纳出一般性旳结论。
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋n(n＋1)
＝×1×2×3＋(×2×3×4－×1×2×3) ＋(×3×4×5－×2×3×4) ＋……＋ [n(n＋1)(n+2)－(n-1) n(n＋1)]
＝ n(n＋1)(n+2)
即：

此外，例6尚有此外一种解法：
根据 因此

第二部分 换元
【6】计算：（＋＋）×（＋＋）－（＋＋＋）×（＋）
解：设a＝＋ b＝＋＋
原式＝（＋a）b－（＋b）a
＝ b＋ab－ a－ab
＝× ＝9

【7】计算：（1＋＋＋……＋）×（＋＋……＋）－（1＋＋＋……＋）×（＋＋……＋）
解： 设a＝＋＋……＋ b＝＋＋……＋
原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a
＝b＋ab－a－ab
＝b－a ＝

第三部分 通项归纳
【8】计算： ＋＋＋……＋
解：先推导出通项公式。
ɑɑan＝＝＝
原式＝＋＋＋……＋
＝2×（＋＋＋……＋）
＝2×（1－＋－＋－＋……＋－）
＝2×（1－）
＝2×＝

【9】计算：×××……×
⑴先推导出通项公式an＝＝ n＝2、3、4、……、99
⑵ ×××……×
＝×××……×
＝×
＝

【10】计算1－＋－＋－＋－＋
＝1－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋）
＋（＋）－（＋）＋（＋）
＝1－－＋＋－－＋＋－－＋＋－－＋＋
＝1－＋
＝

【11】计算：＋＋＋……＋
＝＋＋＋……＋
＝＋＋＋……＋
＝（＋＋＋……＋）＋（＋＋＋……＋）
＝（＋＋＋……＋）＋（＋＋＋……＋）
＝×﹝－＋－＋－＋……＋－﹞＋﹝－＋－＋……＋－ ﹞
＝×﹝－﹞＋﹝－﹞
＝－＋－
＝

【12】计算：－＋－＋……＋
⑴归纳通项公式an＝＝＝×（＋）
⑵ －＋－＋……＋
＝×｛（＋）－（＋）＋（＋）－……－（＋）｝
＝×（1－）
＝×＝

[13]
计算：1155×﹝＋＋……＋＋﹞
⑴归纳通项公式an＝＝＋ （n=2、3、4、…、9）
⑵ 1155×﹝＋＋……＋＋﹞
＝1155×﹝＋＋＋＋……＋＋﹞
＝1155×｛﹝＋＋＋……＋﹞＋﹝＋＋……＋﹞｝
＝1155×｛﹝－﹞＋﹝－＋－﹞×｝
＝1155×｛＋﹝＋﹞×｝
＝1155×
＝651

14、 ＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝×（－＋－＋－＋－＋－）
＝×（－）
＝×
＝

15、 ＋＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
＝（＋＋＋）＋×4＋＋×5
＝3

16、 ．
分析：应用公式
原式

17、________．
解：令，，则

18、＋＋＋＋＋
解：先推导出通项公式。
ɑɑan＝＝＝
原式＝＋＋＋＋＋
＝1－＋－＋－＋－ ＋－＋－
＝1－
＝

19、＋＋＋……＋
解：先推导出通项公式。
ɑɑan＝＝＝
原式＝＋＋＋＋……＋＋
＝（＋＋……＋）＋（＋＋……＋）
＝×（1－）＋×（－）
＝×＋×
＝

20、 ＋＋＋＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）
＝ ×3＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋）＋（＋）
＝1＋1＋1＋1＋1
＝5