抛物线焦点弦的弦长公式.doc

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关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
(1)已知：抛物线的方程为，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，且弦AB的倾斜角为，求弦AB的长。
解：由题意可设直线AB的方程为将其代入抛物线方程整理得：
，且
设A,B两点的坐标为 则：，

当时，斜率不存在，，|AB|=2p.即为通径
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB倾斜角为，求弦AB的长。
解：设A,B的坐标为，斜率为k，而焦点坐标为，故AB的方程为，将其代入抛物线的方程整理得：
从而，
弦长为：
，即为通径。
而与（1）的结果一样，与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：
（3）已知：抛物线的方程为，过焦点F的弦AB交抛物线于A ，B两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。
解：由题意可设直线AB的方程为将其代入抛物线方程整理得：
，
若倾斜角，则；
若倾斜角则。
设A,B两点的坐标为
则：，

而，故；
当时，，|AB|=2p.即为通径。
而与（3）的结果一样
同理：（4）已知：抛物线的方程为，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。
解：设A,B的坐标为，若倾斜角为，斜率为k，
则，而焦点坐标为，
故AB的方程为，将其代入抛物线的方程整理得：
从而，
弦长为：
当倾斜角，则；
当倾斜角则
所以恒成立。
当时，，|AB|=2p.即为通径。
而与（4）的结果一样。
故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即。这个公式包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
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