概率论与数理统计第4章作业题解.doc

第四章作业题解

4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知的概率分布如下表所示:
X
0 1 2 3
P
0.4 0.3 0.2 0.1

Y
0 1 2 3
P
0.3 0.5 0.2 0
如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？

解：

因为 ，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。

4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X表示取出的3 个球中的
最大编号，求E(X).

解：X的可能取值为3,4,5.
因为；；

所以
4.3 设随机变量X 的概率分布其中是个常数，求
解: ，下面求幂级数的和函数，易知幂级数的收敛半径为，于是有

根据已知条件，，因此，所以有
.

4.4 某人每次射击命中目标的概率为, 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望.
解：因为的可能取值为1,2,……。依题意，知的分布律为

所以

4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15
分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期
望能得到多少分？

解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则X~B(4,0.6)
因为

所以Y的分布律为
Y
0
15
30
55
100
P
0.0256
0.1536
0.3456
0.3456
0.1296
故期望得分为

= 44.64

4.6 设随机变量 X 的概率分布为说明的期望不存在。

解:级数发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而的期望不存在.

4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其
概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.

解：设遇到红灯次数为X，依题意，知X~B(3,0.4)
故

4.8 设随机变量X的概率密度函数为
, 求
解：

4.9设随机变量X的概率密度函数为

又,求常数的值.
解： 由，得 ①
因为
所以，由，得 ②
又
由 ，得 ③
解联立方程①②③，得，，

4.10 设随机变量X的概率密度函数为说明的期望不

存在.
解:积分,显然,积分发散,根据连续型随机变量期望的定义, 的期望不存在.

4.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为
72 分, 96 分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率.

解：设，依题意得，
又 ，则
即有 所以 得
所以
故所求的概率为

4.12 对习题4.1 中的随机变量X, 计算.
解：

4.13 设随机变量X的概率密度函数为
,
分别计算的期望和的期望
解：因为 ，其中 ，所以
故

4.14 对球的直径做近似测量, 设其值均匀分布在区间内, 求球体积的均值.

解：设球的直径测量值为，体积为，则有.显然的概率密度函数为

因此,球体积的均值为
.

4.15 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光, 电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行. 设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且, 求该游客等候时间的期望.
解: 用随机变量表示游客的等候时间(单位:分钟),则,其函数关系为

由于,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为

4.16设二维随机向量的概率密度函数为
,
求.
解：因为，当时，
当时，
所以，

又

故

4.17 设随机变量X 与Y 相互独立, 概率密度函数分别为
和
求.
解： ，

因为X和Y相互独立，所以 .

4.18 设二维随机向量服从圆域上的均匀分布,求
.
解: 根据二维随机向量的计算公式：

此积分用极坐标计算较为方便，于是有

4.19 设随机变量X 与Y 相互独立,并且均服从,求.
解：由于X 服从，故其分布函数为

同理，Y服从，故其分布函数为
于是根据公式3.7.5，的分布函数为
求到后得密度函数
因此

4.20 民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出, 沿途有10个车站. 若到达一个车站时没有旅客下车, 就不停车. 设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的, 求汽车的平均停车次数.
解：用随机变量表示汽车的10个车站总的停车次数，并记

显然，均服从两点分布，且，于是有

由此求得
.

4.21 将一颗均匀的骰子连掷10 次, 求所得点数之和的期望.

解：设Xi表示第i次掷出的点数(i =1,2,…,10)，
则掷10次骰子的点数之和为。
因为Xi的分布律为 (k =1,2,…,6)，
所以

故 .

4.22 在习题4.4中, 若直到命中目标次为止, 求射击次数的期望.
解：设是从第次命中目标到第次命中目标之间的射击次数，的分布律为

记随机变量，并且注意到随机变量概率分布相同，因此

4.23求习题4.1 中随机变量的方差.
解：由T4.1知 ，，由T4.12知
又
故
.

4.24 求习题4.9 中随机变量X 的方差
解: 由T4.1知 ，
故

4.25 设二维随机向量的概率密度函数为
,
求和.
解：因为，当时，
即

所以 ，
由对称性得 ，

4.26 设随机变量,并且X 与Y 相互独立,求和.
解：因为，
所以 ，
又X和Y相互独立，故

.

4.27 设二维随机向量的概率分布如下表:
X\Y
-1
0
1
0
1
0.1
0.3
0.1
0.1
0.1
0.3
求
解 容易求得的概率分布为：
的概率分布为：
的概率分布为：，
于是有

，

4.28设二维正态随机向量的概率密度函数为

问与是否互不相关?

解：二维随机变量具有概率密度的标准形式为：

其中均为常数,且,由此得到：
因为所以与互不相关。

4.29设二维随机向量的概率密度函数为
, 求.
解：因为，当时，
所以

于是
由对称性得 ，
又因为

所以
故 .

4.30 设二维随机向量的概率密度函数为
,
求和.
解：由二维随机向量的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度：
，
显然，，所以与相互独立，从而互不相关。
4.31 设,求和.
解：由 得

因为
所以

4.32 设服从求.
解：因服从所以.于是有

是关于随机变量的函数,根据求随机变量函数期望的法则,有
.又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积分为0,于是=0.

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