1和0.999循环的关系.doc

关于1和0.99999999（循环）大小的比较的分析

首先，我认为1和0.9九循环是相等的。
从小学到大学，我们有N种方法（N等于正整数）能证明他们相等。比如数列、微积分、无穷级数、极限等等。下面我就举几种方法：
解法一：0.9循环=0.3循环×3，0.3循环=1/3，而1/3×3=1。

解法二：令A=(0.9999......)
10A=(9.9999.....)
即是(0.9999......)X10=(9.9999.....)
10A-A=(9.9999.....)-(0.9999......)=9
A=1

解法三：利用数轴
在数轴找不到一个数比1小比0.99999循环大。学过夹逼定理你也会知道,0.99999...和1之间不存在任何一个数,所以0.9999...=1。
实数轴上两者之间没有空隙。

解法四：
设x=0.999999999999……，那么x/3=0.333333333333……=1/3，得 x/3=1/3 x=1 第三种，稍微要绕一点脑筋： 你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

解法五：极限
等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1 以上就是常见的证明0.99999999999……=1的方法。方法还有很多种。最后结果都是：0.999999999……=1。

解法六：无穷级数0.99999999......
0.9=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+0.000009+0.0000009.......
An=9/10的n次方。则Lim（n->∞）∑An=1;
即改无穷级数收敛于1；
所以0.9999999.........=1

这些证明看起来完美无缺，天衣无缝。可是假如这些证明都是基于一个错误的前提呢？
先不说这个错误的前提。我先从一个比较客观实际的角度来说明这个问题。但我第一次面对这个问题的时候，我学过极限，微积分，学过无穷级数，我首先是也是从这些角度去考虑这些问题的。但最后从客观实际出发的时候，我是这么描述这个问题的：无数颗精子和无数颗卵子放在一起，只要有一个精子和卵子结合就能产生新的生命。假设精子的个数是无穷个，卵子的个数也是无穷个，可是一个都没有结合，无论多少0.999999.......中有多少个9，整个数还是不能成为1 。我想0.0000000..........(无数个0)1，这个数是有多么的小，即使是无穷小，我们也不能叫它为0，即使是在小，我们也不能否定这个1的存在。毕竟客观存在是不以人的意志为转移的，我不管哪位数学家的研究如何论证无穷小的概念，也不管是柯普森还是牛顿还是魏尔斯特拉斯在数学分析中给出的极限的定义是怎么样的，客观存在是毋庸置疑的。由唯物主义辩证法中，我们可以知道量的积累促成质的飞跃，不论0.000000000（无数）1这个数有多小，要是没有他0.9999999（循环）始终还是没有达到质的飞跃。即使这个值，小到写不出来，那也不代表不存在。

其次，我想强调两个概念，极限值和实数值，但x->∞时，1/x的值是趋近与0的，所以我们称但x->∞时，1/x的极限值为0，注意1/x只是趋近于0，而并非1/x=0 。所以由此我们可以知道极限值和实数值是两个不同的数值概念。所以0.9999999（循环）只是趋近于1，而不能说它等于1 。
最后还是从比较有说服力的角度解释这个问题：
循环的概念不就是无限吗？那0.9九循环不就是后面无限个9吗？那也就是说0.9循环就是无限接近1。或者说无限趋近于1，既然是无限趋近，那就是永远不可能相等了。此时，开始的证明又不攻自破了，这难道是个悖论？其次，如果用做差法比较大小，拿1减去0.9（无限循环），得0.0000000000无限个0。因为是无限个9，所以得无限个0。既然位数是无限个0，尾数就不可能有1。无限位就是最多了，怎么还能加一？这不实际，互相矛盾。所以不能以一种观念证明1是等于0.9（无限循环），还是大于0.9（无限循环）。 这本身是矛盾的，矛盾也是宇宙真理。

前面说到假如之前的证明都是基于一个错误的前提，现在来解释这里的前提。前面所有的证明都是是把0.9（循环）当做有理数来看待。其实我们往数的祖坟上刨的话，0.9九循环就不能算是一个健全的数。有理数是这样定义的：
整数和分数统称为有理数，但是0.9九循环不是整数也不一定是分数。其实0.9九循环是唯一一个特殊的无限循环小数。因为0.9九循环是否能化成分数是一个不确定的结果。有个理论是：九分之一等于零点一一循环等。所以它不一定能化成分数，从而它就不一定是有理数，所以他就不一定是实数，从而它就不一定是具体的数。我现在的理解方向：它只是个人为创造出来的一个虚拟的不存在的数——虽然它从形式上看和0.3循环、0.8循环等那么那么类似。所以0.9（循环）既非有理数，那么为何要将它与有理数1来做比较呢？两者既非通一类型，且是不能化为同一类型的数，我们如何将它做比较呢？
所以得出结论：有理数1和无理数0.999999（循环）无法做比较。

作者：王恒
2014年6月10日

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）