概率论与数理统计C的习题集-计算题.doc

一、概率公式的题目
1、已知 求
解：
2、已知 求
解：。
3、已知随机变量，即有概率分布律，
并记事件。 求：（1）； （2） ； （3） 。解：（1）；
（2）
（3）
5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统，每种系统单独使用时，其有效的概率系统为0.92，系统为0.93，在失灵的条件下，有效的概率为0.85，求：
（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）失灵的条件下，有效的概率。
解：设“系统有效”, “系统有效”,
,

6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为，刮风（记作事件）的概率为，既刮风又下雨的概率为，求。

解：；

。
7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.
【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

8. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B}
由贝叶斯公式，得

9.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得

10.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7

二、已知密度（函数）求概率的题目
1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ，
任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。

解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为

设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则.故有

2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X，它的分布密度为，
若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？
解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以
。
令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，

三、分布函数、密度函数的题目
1、设随机变量X的分布函数为，

(1) 求系数A ，B； (2) 求； (3) 求X的分布密度。
解：（1）由F(x)在处的右连续性知 解之得
（2）
（3）因为，则

2设随机变量的分布函数为 ，
求：常数； ； 的密度函数。
解：（1）由分布函数的右连续性知：，所以；
（2）；
（3） 。
3设连续性随机变量的分布函数为 　，
求：(1)常数A，B； (2)； (3) 的密度函数。
解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：
，所以；
（2）；
（3） 。

5随机变量的概率密度为；求的概率密度．
、解：分别记X，Y的分布函数为FX(x)，FY(y)
由于y=x2≥0，故当y≤0时，FY(y)=0
当y=x2>0时,有FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(-≤X≤)
=
将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为

7（12分）设A、B为随机事件，且；令

求1、二维随机变量（X，Y）的联合概率分布；2、判定X与Y是否相互独立
解：

X
Y

0
1

0

1

因为，则X与Y不相互独立………12分

8维随机变量（X，Y）的联合分布律为
X
Y

2 5 8

0.4
0.8
0.15 0.30 0.35
0.05 0.12 0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1）X和Y的边缘分布如下表
X
Y

2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2

0.2
0.42
0.38

(2) 因
故X与Y不独立.

9 设随机变量和的联合分布律为
X Y

1
2
1

b
2
a

3

⑴ 求应满足的条件； ⑵ 若X与Y相互独立 ，求 a,b的值.
【思路】 先利用联合分布律的性质确定a,b应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a与b.
【解】⑴ 因为 ，所以 因此
⑵ 由于 X与Y相互独立，即对所有有
于是 解得 或

同理 解得 或
再由知 【解毕】
【技巧】 由于X与Y的独立性，故对所有的应有
因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如而可求得又而求得这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握.
10、 变量X与Y相互独立 ，下表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：

X Y

1
【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从求得再利用独立性知从而知等等.
【解】 利用以及 与独立性 . 求解空格内的数值，故即又由可得
反复运用上列公式，可求得
将算得的数值填入表中的空格内，即得
X Y

1

12、随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】

13维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】

16 知随机变量和联合概率密度为
求⑴ 条件密度及
【解】⑴ 由于X的边缘密度为

同理，有
故当时，>0，且
从而，在条件下，X的条件密度为
同样可得，在条件下，Y的条件密度为
17、（12分）随机变量和均服从区间[0，2]上的均匀分布且相互独立．
1．写出二维随机变量（）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求．
解：(1)由题意得：

又∵ X,Y相互独立
∴ f(x, y)=fX(x)fY(y)=
(2)
==

四、正态分布、中心极限定理、
1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布，平均成绩为72分，
96分以上的占考生总数的2.3% 。试求：
（1）考生的外语成绩在60分至84分之间的概率；
（2）该地外语考试的及格率；
（3）若已知第三名的成绩是96分，求不及格的人数。（ ， ）
解：依题意，

(1)
(2)
(3)设全班人数为n， 由(2) 知不及格率为0.1587， 则，则不及格人数为
2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。
解：依题意，，85分以上学生为优秀，则
　所以优秀学生为2.28%。

4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高，问车门的高度应如何确定？（）
解：设车门的高度为厘米，则
，
所以。即车门的高度至少要厘米。
5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高，问车门的高度应如何确定？()
解：设车门的高度为厘米，则
，

所以。即车门的高度至少要厘米。
7. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？
【解】令
而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且
X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.
，
由中心极限定理，则n较大时，二项分布可近似的看成正态分布，
即，或，而n件产品的合格品率=

现要求n,使得

即

由中心极限定理得

整理得查表
n≥268.96, 故取n=269.

10某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗户占20％，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔数为随机变量
（1） 写出的概率分布；
（2） 利用中心极限定理，求被盗德索赔户数不少于14户且不多于30户的概率近似值.

【解】 （1）据题意可知，100家索赔户中被盗的索赔户数，即的分布律为

N较大时，二项分布可近似的看成服从正态分布
（2）由利用德莫佛－拉普拉斯定理知

【解毕】
【技巧】 德莫佛－拉普拉斯定理在实际中由广泛的应用,运用此定理计算概率近似值时，其关键是：“标准化”和“正态近似”，当越大时，所得得近似值越精确.
11、一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率.
【解】 设随机变量表示所取6000粒种子中良种的粒数，由题意可知，,于是

（1） 要估计的概率为相当于在切比雪夫不等式中取于是由切比雪夫不等式可得

（2） 由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理，二项分布可用正态分布近似。于是所求概率为

【解毕】
【寓意】 从本例看出：由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于0.7685，而由中心极限定理可得到要求的概率近似等于0.9625.从而可知，由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的，但由于它的要求较低，只需知道的期望与方差，因而在理论上由许多应用.
五、数学期望、方差的题目
1、 设随机变量的概率密度为：，
求：
解：　

所以　
5、已知随机变量的密度函数为，
对独立观察3次，用表示观察值大于的次数。求：（1）的分布律； （2）的分布函数； （3）

解：令
（1）的分布律为：（2） ；
（3）
1.设随机变量X的分布律为

X
-1 0 1 2
P
1/8 1/2 1/8 1/4
求E（X），E（X2），E（2X+3）.
【解】(1)
(2)
(3)
8设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求E（X），D（X）.
【解】

故
9表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求.

【解】 由题意知于是

由可推知

10、服从参数的指数分布，求.
【解】 由题设知，的密度函数为

且，又因为

从而 【解毕】
【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.
11、设随机变量和独立，且服从均值为1，标准差为的正态分布，而服从标准正态分布，试求随机变量的概率密度函数.
【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于和相互独立且都服从正态分布，所以作为的线性组合也服从正态分布.故只需求和，则的概率密度函数就唯一确定了.
【解】 由题设知，.从而由期望和方差的性质得

又因是的线性函数，且是相互独立的正态随机变量，故也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知，于是，的概率密度为
【解毕】
【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.

13二维离散随机变量的分布列为
X Y
-1
0
1
-1

0

0

求：，并问与是否独立，为什么？
【解】 与的边缘分布列分别为

X -1 0 1 Y -1 0 1
和
P P

从而

从而
又由于

所以
从而
因为所以与不独立.
注释：通过本题目可以将离散型随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数及其独立性的定义及其计算很好的巩固

14知随机变量与分别服从正态分布和，且与的相关系数，设求：
（1）的数学期望和方差；
（2）与的相关系数；

【解】 （1）由数学期望的运算性质有

由有

（2）因为

所以

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