章建立数学模型市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模主要意义数学建模主要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模方法和步骤数学建模方法和步骤1.5 数学模型特点和分类数学模型特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模第1页玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中舰艇、风洞中飞机水箱中舰艇、风洞中飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目标，对客观事物一部分是为了一定目标，对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来进行简缩、抽象、提炼出来原型原型替换物替换物模型模型集中反应了集中反应了原型原型中人们需要那一部分特征中人们需要那一部分特征1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见模型我们常见模型第2页你碰到过数学模型你碰到过数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船速度是多少小时，问船速度是多少?x=20y=5求解求解第3页航行问题航行问题建立数学模型基本步骤建立数学模型基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示相关量（用符号表示相关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。第4页数学模型数学模型(Mathematical Model)和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目标特定目标，依据其依据其内在规律内在规律，作出必要，作出必要简化假设简化假设，利用适当利用适当数学工具数学工具，得到一个，得到一个数学结构数学结构。建立数学模型全过程建立数学模型全过程（包含表述、求解、解释、检验等）（包含表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模第5页1.2 数学建模主要意义数学建模主要意义 电子计算机出现及飞速发展；电子计算机出现及飞速发展；数学以空前广度和深度向一切领域渗透。数学以空前广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，越来越受到人们重视。越来越受到人们重视。在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地；在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第6页数学建模详细应用数学建模详细应用 分析与设计分析与设计 预报与决议预报与决议 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼第7页1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平地面上放稳吗椅子能在不平地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续面地面高度连续改变，可视为数学上连续面;地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。脚同时着地。第8页模型组成模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)对称性对称性用用 (对角线与对角线与 x 轴夹角轴夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 函数函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离xBADCODC B A 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性第9页用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来F(),g()是是连续连续数数对任意对任意,f(),g()最少一个为最少一个为0数学数学问题问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证实：存在证实：存在 0，使，使 f(0)=g(0)=0.模型组成模型组成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置最少三只脚着地最少三只脚着地第10页模型求解模型求解给出一个简单、粗糙证实方法给出一个简单、粗糙证实方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD交换。交换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g连续性知连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数基本性质据连续函数基本性质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思索评注和思索建模关键建模关键 假设条件本质与非本质假设条件本质与非本质 考查四脚呈长方形椅子考查四脚呈长方形椅子和 f(),g()确定第11页1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河任一岸在河任一岸,一旦随从人数比商人多一旦随从人数比商人多,就就杀人越货杀人越货.不过乘船渡河方案由商人决定不过乘船渡河方案由商人决定.商商人们怎样才能安全过河人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决议过程多步决议过程决议决议 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员船上人员要求要求在安全前提下在安全前提下(两岸随从数不比商人多两岸随从数不比商人多),),经有限步经有限步使全体人员过河使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)第12页模型组成模型组成xk第第k次渡河前此岸商人数次渡河前此岸商人数yk第第k次渡河前此岸随从数次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程状态过程状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上商人数次渡船上商人数vk第第k次渡船上随从数次渡船上随从数dk=(uk,vk)决议决议D=(u,v)u+v=1,2 允许决议集合允许决议集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并按并按转转移律移律由由 s1=(3,3)抵达抵达 sn+1=(0,0).多步决议多步决议问题问题第13页模型求解模型求解 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决议允许决议 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思索评注和思索规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从情况名商人各带一随从情况xy3322110s1sn+1d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2第14页背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增加概况世界人口增加概况中国人口增加概况中国人口增加概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口改变规律研究人口改变规律控制人口过快增加控制人口过快增加1.3.3 怎样预报人口增加怎样预报人口增加第15页指数增加模型指数增加模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式惯用计算公式x(t)时刻时刻t人口人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增加率增加率 r 是常数是常数今年人口今年人口 x0,年增加率年增加率 rk年后人口年后人口伴随时间增加，人口按指数规律无限增加伴随时间增加，人口按指数规律无限增加第16页指数增加模型应用及不足指数增加模型应用及不足 与与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合 适合用于适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代世纪后迁往加拿大欧洲移民后代 可用于短期人口增加预测可用于短期人口增加预测 不符合不符合19世纪后多数地域人口增加规律世纪后多数地域人口增加规律 不能预测较长久人口增加过程不能预测较长久人口增加过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增加率人口增加率r r不是常数不是常数(逐步下降逐步下降)第17页阻滞增加模型阻滞增加模型(Logistic模型模型)人口增加到一定数量后，增加率下降原因：人口增加到一定数量后，增加率下降原因：资源、环境等原因对人口增加阻滞作用资源、环境等原因对人口增加阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增加率固有增加率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳最大数量）人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是是x减函数减函数第18页dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增加模型阻滞增加模型(Logistic模型模型)第19页参数预计参数预计用指数增加模型或阻滞增加模型作人口用指数增加模型或阻滞增加模型作人口预报，必须先预计模型参数预报，必须先预计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4教授预计教授预计阻滞增加模型阻滞增加模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1第20页模型检验模型检验用模型计算美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4(百万百万)模型应用预报美国人口加入人口数据后重新预计模型参数Logistic 模型在经济领域中应用模型在经济领域中应用(如耐用消费品售量如耐用消费品售量)阻滞增加模型阻滞增加模型(Logistic模型模型)r=0.2490,xm=434.0 x()=306.0第21页 数学建模基本方法数学建模基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析依据对客观事物特征认识，找出反应依据对客观事物特征认识，找出反应内部机理数量规律内部机理数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,经过对量测数据经过对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好模型统计分析，找出与数据拟合最好模型机理分析没有统一方法，主要经过实例研究机理分析没有统一方法，主要经过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确用测试分析确定模型参数定模型参数1.4 数学建模方法和步骤数学建模方法和步骤第22页 数学建模普通步骤数学建模普通步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型组成模型组成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目搜集相关信息搜集相关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清楚比较清楚问题问题第23页模模型型假假设设针对问题特点和建模目作出合理、简化假设作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学语言、符号描述问题用数学语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽可能采取简单数学工具尽可能采取简单数学工具 数学建模普通步骤数学建模普通步骤第24页模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果误差分析、统计分析、如结果误差分析、统计分析、模型对数据稳定性分析模型对数据稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型合理性、适用性检验模型合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模普通步骤数学建模普通步骤第25页数学建模全过程数学建模全过程现实对象信息现实对象信息数学模型数学模型现实对象解答现实对象解答数学模型解答数学模型解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)现现实实世世界界数数学学世世界界表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当数学方法求得数学模型解答选择适当数学方法求得数学模型解答将数学语言表述解答将数学语言表述解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象信息检验得到解答用现实对象信息检验得到解答实践理论实践第26页1.5 数学模型特点和分类数学模型特点和分类模型逼真性和可行性模型逼真性和可行性模型渐进性模型渐进性模型健壮性模型健壮性模型可转移性模型可转移性模型非预制性模型非预制性模型条理性模型条理性模型技艺性模型技艺性模型不足模型不足 数学模型特点数学模型特点第27页数学模型分类数学模型分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特征表现特征描述、优化、预报、决议描述、优化、预报、决议 建模目了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续第28页1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则艺术无法归纳成普遍适用准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进他人作过模型学习、分析、评价、改进他人作过模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目第29页