数学公理化方法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第四讲构建数学理论基本方法公理化方法第1页本讲内容v数学公理化方法历史演进过程关于几何公理体系v实质公理化与形式公理化v数学公理化方法逻辑特征第2页v所谓公理化方法，就是指从尽可能少原始概念和不加证实原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出 其它命题，建立起一个演绎系统方法。第3页v数学上所谓公理，是数学需要用作自己出发点少数思想上要求 恩格斯第4页v公理化方法能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学理论基础，有利于比较各个数学分支本质异同，促进新数学理论建立和发展。第5页v当代科学发展基本特点之一，就是科学理论数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化一个主要特征。第6页v公理化方法发展，大致经历了这么三个阶段：实质（或实体）实质（或实体）公理化阶段、形式形式公理化阶段和纯形式纯形式公理化阶段，用它们建构起来理论体系典范分别是几何原本、几何原本、几何基础和几何基础和ZFC公理系统公理系统。第7页v数学公理化方法历史演进 关于几何公理体系第8页欧几里德几何 历史上第一个用公理化方法去建构数学理论体系是欧几里德，他工作集中表达在他几何原本中。v Quotations:The laws of nature are but the mathematical thoughts of God.There is no royal road to geometry.第9页欧几里得第10页v几何原本受到了毕达哥拉斯学派和亚里士多德影响v毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证实演绎学科来进行研究方向。v亚里士多德首创造公理化思想，提出了逻辑学“三段论公理体系”。第11页v欧几里德首先指明了几何学研究对象，即点、线、面，在对这些对象进行“定义”（其实只是说明）以后，引进了关于这些对象一些显著事实作为不加证实而采取5个公设，进而又引进了更为普通5个断言作为公理，他经过这些公理、公设，逐步推演出465个命题。第12页v几何原本问世，在数学发展史上树立了一座不朽丰碑，对数学乃至科学发展起了巨大推进作用。v它也成为公认、历史上第一部巨大科学典籍。v它奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求叙述其规律基础。第13页v它基本上完善了初等几何体系，这正如黑格尔所说：“初等几何就欧几里得所遗留给我们内容而言，已经能够看作相当完备了，不可能有更多进展”。第14页v它所表达演绎美对数学美学思想发展也起到了不可低估作用，它让“世界第一次目睹了一个逻辑体系奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，推理这种可赞叹胜利，使人类理智取得了为取得以后成就所必须信心。（爱因斯坦语）。第15页v几何辉煌之处就在于只用极少公理而得到如此之多结果。v它提倡公理化方法，为数学家和物理学家树立了怎样建立科学理论体系光芒典范。第16页v牛顿采取欧几里德公理化方法，把他之前众多物理学家（如哥白尼、伽俐略、开普勒等）研究力学知识排列成逻辑体系，组成一个有机整体。他名著自然哲学数学原理从力学三大运动定律出发，按照数学逻辑推理把力学定理逐一必定地引申出来。第17页About ElementsvThe Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting,in its original Greek form,then in Arabic,Latin,and then to modern languages of the present time.第18页vIt is also the worlds second most popular book,coming only behind the Holy Bible which is extraordi nary considering how many books there are in the world.第19页Greek version(888)Latin Version(1482)第20页English Version第21页第22页v“此书有四无须：无须疑、无须揣、无须试、无须改有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。第23页v有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”。徐光启几何原本杂议第24页汉字版v 16，由意大利传教士利玛窦口译，明代进士、数学家徐光启执笔，合作译完欧几里得几何原本前6卷，16在北京雕版刊行徐光启亲自写了刻几何原本序，手迹至今犹存。第25页v徐光启和利玛窦译几何原本前6卷，乃是东方最早译本(不计阿拉伯文本)。v较俄译本(1739)、瑞典文本(1744)、丹麦文本(1745)、波兰文本(1817)都早。第26页v徐光启和利玛窦合译几何原本语言通俗，错误极少。v其中许多数学译名都是从无到有，边译边创造，而且都十分恰当。第27页v“几何”一词选取，其它如点、直线、平行线、角、三角形、四边形、有理数，无理数等都是这个译本首先定下来。v这些名词在我国一直沿用至今，而且还影响到日本、朝鲜等邻国。第28页v只有少数名词以后有所改动。v1857年，清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合作续译几何原本后9卷正式刊行。第29页非欧几何v非欧几里得几何是一门大数学分支，普非欧几里得几何是一门大数学分支，普通来讲通来讲，它有广义、狭义、通常意义这，它有广义、狭义、通常意义这三个方面不一样含义。三个方面不一样含义。v所谓广义式泛指一切和所谓广义式泛指一切和欧几里得几何欧几里得几何不不一样几何学，狭义非欧几何只是指罗氏一样几何学，狭义非欧几何只是指罗氏几何来说，至于通常意义非欧几何，就几何来说，至于通常意义非欧几何，就是指是指罗氏几何罗氏几何和和黎曼几何黎曼几何这两种几何。这两种几何。第30页非欧几何v长久以来，不少数学家就对第五公设（即平行公设）持保留态度。若平面上一直线和两直线相交，当同旁两内角之和小于二直角时，则两直线在这一侧延长后一定相交。第31页因为v它在陈说和内容上显得复杂和累赘。v人们怀疑这条公设是多出，它可能能从其它公设、公理中逻辑地推导出来。第32页v而且深入认为，欧几里得之所以把它看成公设，只是因为他未能给出这一命题证实。v因而数学家们纷纷致力于证实第五公设，听说在欧几里得以后两千多年时间里，几乎难以发觉一个没有试证过第五公设大数学家。第33页vProclusDiadochus普罗克洛斯（411485）,Greece John Playfair（17481819）,Scotland Adrien-Marie Legendre（17521833），France第34页v不过全部试证第五公设努力均归于失败，在这些失败之中唯一引出正面结果便是一串与第五公设等价命题被发觉。v 普雷菲尔（John Playfair）公设：“在平面上过直线外一点只能作一条和这直线不相交直线”。第35页v“三角形内角和等于两直角”。v“存在着相同三角形”等。v因为普雷菲尔公设形式最为简明，所以受到普遍采取，现在教科书中也惯用这一叙述形式来替换第五公设。第36页v其实，普雷菲尔公设因为包含了平行线存在性，其与其它欧几里得公理、公设并不独立，更确切等价命题应为：“经过不在已知直线上一点，至多可引一条与该已知直线平行直线”（它被希尔伯特公理系统所采取，称为“平行公理”）。第37页v在总结前人失败教训基础上，1826年，俄国年轻数学家罗巴切夫斯基（NicolaiLobachevsky）从问题反面考虑，大胆地提出了与前人完全不一样信念：第38页v首先，他认为第五公设不能以其余几何公理作为前提来进行证实，即第五公设相对于其它公理、公设是独立。v 其次，更深入，他认为除去第五公设成立欧几里得几何之外，还能够有第五公设不成立新几何系统存在。第39页v于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理、公设前提下，引进了一个相反于第五公设公理：“过平面上一已知直线外一点最少能够引两条直线与该已知直线不相交”。第40页v这么，罗巴切夫斯基就结构出来了一个新几何系统即罗巴切夫斯基几何系统，它与欧几里得几何系统相并列。第41页v以后，人们又证实了这两个部分地相互矛盾几何系统竟然是相对相容，亦即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾。v这么，罗氏几何地位就得到了确立。第42页v几乎在罗巴切夫斯基创建非欧几何学同时，匈牙利数学家鲍耶雅诺什也发觉了第五公设不可证实和非欧几何学存在。v鲍耶在研究非欧几何学过程中也遭到了家庭、社会冷漠对待。第43页v他父亲数学家鲍耶法尔卡什认为研究第五公设是花费精力劳而无功蠢事，劝他放弃这种研究。v但鲍耶雅诺什坚持为发展新几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他父亲一本著作里，以附录形式发表了研究结果。第44页v高斯也发觉第五公设不能证实，而且研究了非欧几何。v不过高斯害怕这种理论会遭到当初教会力量打击和迫害，不敢公开发表自己研究结果，只是在书信中向自己朋友表示了自己看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们新理论。第45页Founders of Non-Euclidean Geometry NikolaiIvanovichLobachevsky(1793-1856)RussiaJohann Carl Friedrich Gauss(1777-1855)Germany第46页罗巴切夫斯基v俄罗斯数学家，非欧几何早期发觉人之一。v罗巴切夫斯基在尝试证实平行公理时发觉以前全部证实都无法逃脱循环论证错误。v于是，他作出假定：过直线外一点，能够作无数条直线与已知直线平行。v假如这假定被否定，则就证实了平行公理。第47页v 然而，他不但没有能否定这个命题，而且用它同其它欧氏几何中与平行公理无关命题一起展开推论，得到了一个逻辑合理新几何体系非欧几里得几何学，这就是以后人们所说罗氏几何。第48页v罗氏几何创建对几何学和整个数学发展起了巨大作用，但一开始并没有引发重视，直到罗巴切夫斯基逝世后才逐步被广泛认同。v罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方面也有一定成就。第49页匈牙利数学家匈牙利数学家 鲍耶鲍耶v以一生时间试图证实欧几里德关于平行线不相交第五公设。v在格丁根大学学习时成了著名数学家高斯密友，保持通信直到1855年高斯逝世。v他几乎与科学界完全隔绝，但依然不倦地研究平行线公理。第50页匈牙利数学家匈牙利数学家 鲍耶鲍耶v18他把一个v证实寄给高斯，高v斯指出了其中缺v陷，但他还继续研v究。第51页v在罗氏几何创建28年以后，1854年黎曼（Georg Riemann，18261866）又建立了另外一个“过直线外一点不能引出与该直线不相交直线”几何新体系黎曼几何。第52页v如所知，黎曼几何在爱因斯坦19创建“广义相对论”后，已得到了证实和应用。第53页黎曼v第54页v“我对于把一切与物理规律结合起来数学研究非常入迷。”黎曼第55页黎曼v德国数学家，对数学分析和微分几德国数学家，对数学分析和微分几何做出了主要贡献，其中一些为广何做出了主要贡献，其中一些为广义相对论发展铺平了道路。他名字义相对论发展铺平了道路。他名字出现在黎曼出现在黎曼函数，黎曼积分，黎曼函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼黎曼-希尔伯特问题，黎曼思绪回环希尔伯特问题，黎曼思绪回环矩阵和黎曼曲面中。矩阵和黎曼曲面中。第56页v他首次登台作了题为他首次登台作了题为“论作为几何论作为几何基础假设基础假设”演讲，开创了黎曼几何，演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦广义相对论提供了数并为爱因斯坦广义相对论提供了数学基础。学基础。v他在他在1857年升为格丁根大学编外教年升为格丁根大学编外教授，并在授，并在1859年狄利克雷逝世后成年狄利克雷逝世后成为正教授。为正教授。第57页v1851年，黎曼发表博士论文，以后被称为整个19世纪最主要数学论文。v黎曼是狄利克雷（Dirichlet，1805-1859）学生，他在论文中引用了狄利克雷原理。第58页德国数学家 狄利克雷v对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论创始人之一。曾受教于物理学家欧姆、数学家傅里叶影响。1855年接任高斯在哥廷根大学教授职位。第59页v在分析学方面，他是最早提倡严格化方法数学家之一。v1837年他提出函数是x与y之间一个对应关系当代观点。v在数论方面，他是高斯思想传输者和拓广者。第60页v1863年狄利克雷撰写了数论讲义，对高斯划时代著作算术研究作了明晰解释并有创见，使高斯思想得以广泛传输。v1837年，他结构了狄利克雷级数。第61页v18381839年，他得到确定二次型 类数公式。v1846年，使用抽屉原理。说明代数数域中单位数阿贝尔群结构。第62页v魏尔斯特拉斯(weierstrass，1815-1897)：“不加证实利用狄利克雷是不恰当，不过有道理，我相信我能够得到这个原理一个证实。”第63页魏尔斯特拉斯v他是把严格论证引进分析学一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭贡献，是分析算术化运动开创者之一。第64页v他证实了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。v早在1860年一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。v这是一个成功地为微积分奠定理论基础理论。第65页v为了说明直觉不可靠，1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院一次讲演中，结构了一个连续函数却处处不可微例子，震惊了整个数学界。v这个例子推进了人们去结构更多函数，这么函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推进了函数论发展。第66页v早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分条件。v1885年，魏尔斯特拉斯所证实用多项式任意迫近连续函数定理，是二十世纪一个辽阔研究领域函数结构论，即函数迫近与插值理论出发点之一。第67页v历史条件不具备，黎曼四十岁便逝世了，也没能够证实狄利克雷原理。v 1853年，庞加莱，柯西等当初最有名气几位数学家完全否定了黎曼博士论文。第68页庞加莱、柯西第69页v如此美妙而又有广泛应用前景狄利克雷原理已经永远从我们视野中消失了。v1899年，希尔伯特：“原理稍加修改以后将会是正确，结论都满足修改后原理。”第70页v仅仅增加一个“弱”字，复活了原理与黎曼，这是希尔伯特一生中最主要贡献，直接后果造成泛函分析诞生。v马克思有句非常有名话；“倒洗澡水，不要把里面小孩都倒掉。”第71页v罗巴切夫斯基几何（也叫双曲几何）与黎曼几何（也叫椭圆几何）这两种几何统称为非欧几何。v 非欧几何发觉是数学史上一个主要里程碑，而欧氏几何与非欧几何天壤之别，根源仅仅在于一条平行公理不一样，这充分显示出公理化方法威力。第72页v非欧几何创建大大地促进了几何基础研究进展，也大大地提升了公理化方法信誉，接着便有许多数学家致力于公理化方法研究。第73页v18711872年间，德国数学家康托（Cantor）与戴德金（Dedekind）不约而同地拟成了连续性公理。v 1882年，德国数学家巴士（Pasch）又拟成了次序公理。v正是在这么基础上，希尔伯特于1899年发表了几何基础一书。第74页v他经过引进一些基本概念（基本元素包含点、线、面，基本关系包含结合、次序、协议），用结合、次序、协议、平行、连续这5组公理（共20条）来确定基本概念涵义并进行逻辑演绎，展开几何理论，形成了一个简明、完整、逻辑严谨几何形式化公理系统，从而最终地处理了欧氏几何缺点，完善了几何学公理化方法。第75页v不但如此，该书还给出了证实一公理系统相容性、独立性普遍标准，从此公理化方法进入了数学其它各个分支。20世纪以来数学家们以希尔伯特几何公理系统为榜样，努力为各个数学分支建立公理化体系。第76页v几乎全部数学和逻辑分支与一些物理学以及其它科学分支，从二十世纪开始，都经过了公理方法分析研究。富兰克林 第77页David Hilbert(1862-1943)第78页vGerman mathematician who set forth the first rigorous set of geometrical axioms in Foundations of Geometry(1899).He also proved his system to be self-consistent.vHis many contributions span number theory，mathematical logic,differential equations,and the three-body problem.He also proved Warings theorem.第79页vAt the Paris International Congress of 1900,Hilbert proposed 23 outstanding problems in mathematics to whose solutions he thought twentieth century mathematicians should devote themselves.vThese problems have come to be known as Hilberts problems,and a number still remain unsolved today.第80页v“你使得我们全部人，都仅仅在思索你想让我们思索问题”第81页实质公理化（古典公理化）与形式公理化（当代公理化）第82页实质公理化方法v 欧几里得公理体系被认为是实质公理系统，也就是说，这种公理体系实质上是对经验知识系统整理。v 这种公理体系含有特定对象，公设、公理确实立只是为了刻画这些对象根本特点，或者说，这一公理体系被认为是隶属于这些特定对象。第83页v正因为如此，研究对象先于公理给出，它是一个“对象公理演绎”系统。v其公理含有“自明性”。v因为这些对象含有显著直观背景现实空间（因而是“实”或“详细”），从而人们就能够用所谓直观性来作为公理判断依据。第84页形式公理化方法v希尔伯特公理体系被认为是形式公理系统，也就是说，公理系统中基本概念只具“形式”而不具“内容”，公理组所阐述是对基本概念要求，而不是基本概念“自明”特征。v形式化公理系统反应不只是特定研究对象性质，而是许多含有相同结构对象共同性质。第85页v也就是说，不再是由对象决定公理，而是由公理来决定对象。v谁能满足公理组所要求条件，谁就能够作为该公理系统基本对象。v所以只要满足给定公理，称它们是什么是无关紧要，这正如希尔伯特所说：“我们必定能够用桌子、椅子和啤酒来我们必定能够用桌子、椅子和啤酒来代替点、线、面代替点、线、面”。第86页例子v希尔伯特公理体系中结合公理(I3)：每一条直线最少有两个点。每一条直线最少有两个点。v其实表示是以下逻辑结构：xL(yp(zp(yz)(yRx)(zRx)第87页即，每个L类对象都有两个不一样p类对象与之发生R关系。解释：v通常意义下直线(L)、点(p)及点在直线上(R)；v球面上大圆(L)、对径点(p)、对径点在大圆上(R)。第88页v正因为如此，在形式化公理系统中，基本概念要求为不加定义原始概念，它不是先于公理而确定，而是与公理同时出现，其涵义、特征和范围由公理组隐含确定。v而且，对原始概念解释被看成系统之外事，在系统内，它只是作为一个“假设”。第89页v即是说，形式化公理系统与实质公理系统不一样，是一个“假设演绎”系统。v 形式公理排除直观默认，其公理也不再含有“自明性”，而只是作为演绎基础“假设”。第90页v形式公理系统发展推进了数学基础研究，也造成了数学观深刻改变：数学研究主要并不在于研究对象是什么；而在于对象间关系（逻辑结构和形式）。v形式公理化方法使数学理论到达了更高抽象，并扩大了它应用范围。第91页数学公理化方法逻辑特征数学公理化方法逻辑特征（或基本问题、基本内容）（或基本问题、基本内容）第92页v利用数学公理化方法关键在于怎样确立基本概念和公理，这也就是数学公理化方法基本问题或基本内容。v基本概念应是最原始、最简单思想要求。在形式化公理系统里，基本概念是由公理组隐含地定义。第93页v公理是对基本概念相互关系要求。它选取和设置必须符合三条要求，即相容性相容性、独立性独立性和完备性完备性，这三个方面组成了公理化方法逻辑特征，这也是判别一个公理系统是否科学合理准则。第94页相容性（或无矛盾性、协调性）v相容性是指一个公理系统不能自相矛盾,即该系统中全部公理连同它一切推论在内,不含有任何相互矛盾命题。v 很显然，这是对公理系统最基本要求，不然，就不含有存在价值。第95页v怎样证实给定公理系统相容性呢？v很显然，想直接经过“由公理组作出全部可能推论并指出其中没有矛盾”这种方法来证实普通来说是很困难。第96页v原因很简单，因为全部可能推论普通是无限，我们极难用穷举方法来逐一验证，而经过大量但却是有限推导没有导出矛盾，并不等于永远推不出矛盾。第97页v这种方法只适合于命题项数较少小范围理论系统，如数理逻辑中真值函数公理系统和谓词演算公理系统等。v数学上常采取一个间接方法即“解释法”或“模型法”来证实。第98页模型法基本思想v结构模型（或解释）基本方法以下：v将公理组中每一不定义概念与某一对象集合相对应，而且要求对应于不一样概念集合没有公共元素，然后使公理组中基本概念每一关系对应着对应集合元素间某一确定关系，我们把所得集合与关系全体叫做解释域。第99页v这么，公理组中每一条公理自然地对应于解释域中某一个命题（或性质）。v假如公理组中全部公理在这个解释下命题均为真，那么，我们就把这个解释称为是所给公理体系模型。第100页v即能作出，“假如某一公理体系（即原型）是相容，那么另一公理体系也是相容”判断。v因为一个公理体系有没有矛盾归根结底在于其公理组有没有矛盾，而一个公理组无矛盾性可由其模型无矛盾性来确保，不然话，公理组矛盾将会导出模型矛盾。v第101页v用解释法（或模型法）能够证实一个公理体系相对相容性。v解释法实质上是将一个公理系统无矛盾性证实化归为了另一公理系统无矛盾性证实，是一个间接证实。第102页罗氏几何模型v自从罗氏几何诞生后，因为罗氏平行公理是如此地为常识所不容，这才激起了人们对于数学系统地无矛盾性证实兴趣和重视。v即使在罗氏公理系统展开中一直没有出现矛盾，却不能确保它在今后展开中一定不出矛盾。第103页v以后，人们在欧氏几何系统中结构出了一个个罗氏几何模型，在数学史上比较著名模型有：v庞加莱模型：第104页v在欧氏平面上画一条直线将其分为上下两个半平面，把不包含这条直线在内上半平面作为罗氏平面，其上欧氏点看成罗氏几何点，而上半平面内圆心在该直线上半圆或垂直于该直线半直线算作是罗氏几何直线。第105页v庞加莱模型，如图所表示。第106页v能够验证，罗氏几何公理在这个模型上都是成立。v在这里，我们只朴素地来说一说罗氏平行公理是成立。第107页v如图所表示：第108页vF.克莱因模型：v在欧氏平面内作一个圆，把圆内部（不包含圆周）看成罗氏平面，圆内部点即罗氏点，圆弦算作罗氏几何直线。v轻易验证，罗氏几何公理都能够在这个模型上用欧氏几何事实加以解释。第109页v这么，经过上述模型就把罗氏几何相容性证实化归为了欧氏几何相容性证实。v人们原来对于欧氏几何相容性没有怀疑过，但却因为罗氏几何相容性要由欧氏几何相容性来确保，从而造成对欧氏几何相容性重重疑虑。第110页v以后，人们又在罗氏几何展开中发觉，罗氏几何空间中极限球面上也可结构欧氏模型，亦即欧氏几何全部公理能在罗氏几何极限球上实现，这么欧氏几何相容性又可由罗氏几何相容性来确保。v 这说明，欧氏几何与罗氏几何公理系统即使不一样，但却是相对相容或互为相容。第111页v人们当然不满足于二者相互之间相对相容性证实，因为看上去较为合理欧氏几何无矛盾性竟要由很不合理罗氏几何来确保。所以，必须重新寻求欧氏几何相容性证实。第112页v因为那时已经有了解析几何，等于在实数系统中结构了一个欧氏几何模型，这就把欧氏几何相容性深入地归结到了实数论相容性。v但实数论相容性怎样呢？第113页v以后，戴德金把实数论德无矛盾性归结到了自然数系统无矛盾性，而Frege又把自然数系统无矛盾性归结为集合论无矛盾性。v然而，集合论无矛盾性又怎样呢？至今还是个谜。第114页独立性v独立性是指在一个公理系统中，公理组中任何一个公理都不能由其它公理推出。v独立性亦即要求系统中公理数目降低到最低程度，不允许公理集合中出现多出公理。v因为多出公理总能够作为定理推证出来，又何须再把它列为公理呢？第115页v换言之，独立性实际上是要求公理系统中每一条都有存在必要性，从而确保公理简练性。v公理系统独立性证实能够转化为相容性证实。第116页v我们有下述定理：假如一个相容公理系统中某一公理A否定 ，与公理系统中其它公理不矛盾（即相容），当且仅当公理A在该公理系统中是独立。第117页v而公理系统相容性能够采取解释法或模型法，所以解释法或模型法一样能够证实公理系统独立性。v我们仍以欧氏和罗氏两个几何公理系统为例。第118页v如前所述，在欧氏和罗氏两个几何公理系统中，除了欧氏平行公设和罗氏平行公理互为相反之外，其余公设、公理和原始概念均相同。通常人们把两个公理系统公共部分称为绝对几何公理系统。第119页v因之，欧氏平行公设在欧氏几何公理系统中是否独立于其它公理之事，无非就是欧氏平行公设能否在绝对几何公理系统中作为定理而证实之。v而只要罗氏几何公理系统是无矛盾，就确保了欧氏平行公设对于绝对几何公理系统独立性。第120页v不然，若能在绝对几何公理系统中把欧氏平行公设作为定理来证实话，则罗氏几何公理系统便是矛盾系统，因为此时欧氏平行公设和它一个否命题即罗氏平行公理在系统中同时成立。第121页v完全类似地，由欧氏几何公理系统无矛盾性也能确保罗氏平行公理对于绝对几何公理系统独立性。第122页完备性v 完备性古典定义：v完备性是指在一个公理系统中，公理组选取数量能确保由公理组推出该系统全部真命题，亦即确保必要公理不可少。第123页v因为一个系统可能命题个数是没有限制，所以当代数学常借助模型同构给公理系统完备性下定义，这种意义下完备性也称为范围性。第124页v这里，所谓模型同构是指公理系统两个模型（X,R）与（Y,S）间存在着一个双射:XY，使得 ，当且仅当 时成立，其中,第125页v这里为了简便计，假使给定得公理系统中只有一个不定义概念和一个不定义关系。vX与Y分别是两个模型中基本概念对象集合，R与S则分别是这两个集合中关系。第126页v假如一个公理体系是不完备，那么就可能再增加新公理到该体系中。v设该公理体系中允许加入一个与原公理组独立公理A，则+A是一个相容系统，设它有一个模型M，+A也是一个相容系统，设它有一个模型M。第127页v很显然，M和M都是模型，它们显然不是同构。v基于这么讨论，我们能够把一个公理系统完备性概念确切地叙述为：第128页v假如已知公理系统全部模型都是相互同构，则该系统称为是完备。v由此可见，范围性意义下完备性比古典完备性意义更严格些。第129页v能够验证，希尔伯特所给出欧氏几何公理系统是一个完备公理系统，因为它任何一个模型都与该公理系统笛卡儿模型（即经过解析几何在实数域上结构出来模型）是同构，所以相互之间也是同构。v用类似方法也能够证实罗氏几何公理系统完备性。第130页v一样能够验证，群公理体系是不完备。因为两个不一样群模型，其元素个数都能够不一样，即它们连普通一一对应关系也不存在，更谈不上在对应元素间保有相同关系了。第131页总述v普通说来，当一个公理系统满足上述三条要求时，即可认为是一个令人满意系统。v然而遗憾是，迄今为止，我们还不能轻而易举地证实一个公理系统是否满足这些要求，即使这个公理系统本身并不复杂。第132页v在上述三个公理化方法逻辑特征中相容性是最主要也是非有不可。v独立性从理论完美精炼上讲应该要求，因为公理和定理在整个系统中所处地位不一样，不能混为一谈。第133页v不过独立性要求通常能够降低，因为即便是把一个定理不加证实地作为公理也不会出现什么“标准”错误，既不会使公理系统产生矛盾，也不会影响公理系统完备性。第134页v完备性要求更能够大大放宽，从某种意义上讲，正因为公理体系不含有范围性，才使得它含有各式各样模型，从而取得更广泛应用，当代数学许多公理体系就不含有范围性，如群、环、域等。第135页讨论题v中学公理法教学是采取实质公理化还是形式公理化。v2.从专业角度看中学平面几何中公理法教学。第136页讨论题v数学是发觉还是创造；v搜集欧氏几何非希尔伯特系统。第137页