球体的表面积和体积市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

球体表面积与体球体表面积与体积积第1页 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆面积公式而创造了导圆面积公式而创造了“倍边法割圆术倍边法割圆术”。他用加倍方式不停增加圆内接正多边形边数，他用加倍方式不停增加圆内接正多边形边数，使其面积与圆面积之差更小，即所谓使其面积与圆面积之差更小，即所谓“割之割之弥细，所失弥小弥细，所失弥小”。这么重复下去，就到达。这么重复下去，就到达了了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣体而无所失矣”。这是世界上最早。这是世界上最早“极限极限”思想。思想。第2页球面：半圆以它直径为旋转轴，旋转所成曲面。球面：半圆以它直径为旋转轴，旋转所成曲面。球球(即球体即球体):):球面所围成几何体。球面所围成几何体。它包含它包含球面球面和和球面所包围空间球面所包围空间。半径是半径是R R球体积：球体积：推导方法推导方法：分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和复习回顾复习回顾第3页球概念球概念球心球心球半径球半径球直径球直径第4页二、球概念二、球概念v点集角度点集角度v旋转体角度旋转体角度球面所围成球面所围成几何体几何体叫叫球体球体简称简称球球。球面球面:半圆以它直径为旋转轴旋转所成半圆以它直径为旋转轴旋转所成曲面曲面。球体与球面区分？球体与球面区分？在在空间内空间内到一个定点距离为定长点集合到一个定点距离为定长点集合第5页二、球概念二、球概念球截面形状圆面圆面第8页球面被经过球心平面截得圆叫做球面被经过球心平面截得圆叫做大圆大圆不过球心截面截得圆叫做球不过球心截面截得圆叫做球小圆小圆第9页球体积公式推导球体积公式推导球体积公式及应用球体积公式及应用球表面积公式及应用球表面积公式及应用球表面积公式推导球表面积公式推导l教学重点l教学难点重点难点重点难点第10页R高等于底面半径旋转体体积对比高等于底面半径旋转体体积对比球体积球体积第12页 学习球知识要注意和圆相关指示结合起来所以我们学习球知识要注意和圆相关指示结合起来所以我们先往返想圆面积计算公式导出方法先往返想圆面积计算公式导出方法球体积球体积 我们把一个半径为我们把一个半径为R圆分成若干等分，然后如上图重新拼圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似看成是边长分别是接起来，把一个圆近似看成是边长分别是第13页当所分份数不停增加时，准确程度就越来越高；当当所分份数不停增加时，准确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆面积公式份数无穷大时，就得到了圆面积公式即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分近似体积，部分，再求出每一部分近似体积，并将这些近似值相加，得出半球近似体积，最终考虑并将这些近似值相加，得出半球近似体积，最终考虑n变为变为无穷大情形，由半球近似体积推出准确体积无穷大情形，由半球近似体积推出准确体积球体积球体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和第14页问题问题:已知球半径为已知球半径为R,R,用用R R表示球体积表示球体积.AOB2C2球体积球体积AO第15页OROA球体积球体积第16页球体积球体积第17页球体积球体积第18页2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球体积这些棱锥体积之和近似为球体积.当当n n越大越大,越靠近于球体积越靠近于球体积,当当n n趋近于无穷大时就准确到等于球体积趋近于无穷大时就准确到等于球体积.1)1)球表面是曲面球表面是曲面,不是平面不是平面,但假如将表面平均分割成但假如将表面平均分割成n n个小块个小块,每每小块表面可近似看作一个平面小块表面可近似看作一个平面,这这n n小块平面面积之和可近似看小块平面面积之和可近似看作球表面积作球表面积.当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时,这这n n小块平面面积之和靠近于甚小块平面面积之和靠近于甚至等于球表面积至等于球表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球表面积无法用展开图求球面不能展开成平面图形，所以求球表面积无法用展开图求出，怎样求球表面积公式呢出，怎样求球表面积公式呢?回想球体积公式推导方法回想球体积公式推导方法,是否也可是否也可借助于这种借助于这种极限极限思想方法来推导球表面积公式呢思想方法来推导球表面积公式呢?下面，我们再次利用这种方法来推导球表面积公式下面，我们再次利用这种方法来推导球表面积公式球表面积球表面积第19页球表面积球表面积第20页第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球表面积：则球表面积：则球体积为：则球体积为：O OO O球表面积球表面积第21页第第二二步：步：求求近近似似和和由第一步得：由第一步得：O OO O球表面积球表面积第22页第第三三步步：化化为为准准确确和和 假如网格分越细假如网格分越细,则则:“:“小锥小锥体体”就越靠近小棱锥就越靠近小棱锥O O球表面积球表面积第23页例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它体积求它体积.(变式变式1 1)一个空心钢球质量是一个空心钢球质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它内求它内径径.(.(钢密度是钢密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)例题讲解例题讲解第24页(变式变式1 1)一个空心钢球质量是一个空心钢球质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它内求它内径径.(.(钢密度是钢密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)解解:设空心钢球内径为设空心钢球内径为2xcm,则钢球质量是则钢球质量是答答:空心钢球内径约为空心钢球内径约为4.5cm.由计算器算得由计算器算得:例题讲解例题讲解第25页(变式变式2)2)把钢球放入一个正方体有盖纸盒中把钢球放入一个正方体有盖纸盒中,最最少要用多少纸少要用多少纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体球内切于正方体侧棱长为侧棱长为5cm例题讲解例题讲解第26页例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1棱长为棱长为a,a,它各个顶它各个顶点都在球点都在球O O球面上，问球球面上，问球O O表面积。表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球直径相等。合，则正方体对角线与球直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解第27页理论迁移理论迁移 例例3 3 如图，圆柱底面直径与高都等于如图，圆柱底面直径与高都等于球直径，求证：球直径，求证：（1 1）球体积等于圆柱体积）球体积等于圆柱体积 ；（2 2）球表面积等于圆柱侧面积）球表面积等于圆柱侧面积.第28页OABC例例4.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C截面到球心截面到球心O距离等于距离等于球半径二分之一，且球半径二分之一，且AB=BC=CA=cm，求球体积，表，求球体积，表面积面积例题讲解例题讲解第29页OABC例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C截面到球心截面到球心O距离等于距离等于球半径二分之一，且球半径二分之一，且AB=BC=CA=cm，求球体积，求球体积，表面积表面积解：如解：如图图，设设球球O半径半径为为R，截面截面 O半径半径为为r，例题讲解例题讲解第30页2.一个正方体顶点都在球面上一个正方体顶点都在球面上,它棱长是它棱长是4cm,这这个球体积为个球体积为cm3.83.有三个球有三个球,一球切于正方体各面一球切于正方体各面,一球切于正一球切于正方体各侧棱方体各侧棱,一球过正方体各顶点一球过正方体各顶点,求这三个球求这三个球体积之比体积之比_.1.球直径伸长为原来球直径伸长为原来2倍倍,体积变为原来倍体积变为原来倍.练习一练习一课堂练习课堂练习第31页正方体内切球正方体内切球直径直径正方体外接球正方体外接球直径直径与正方体全部棱相切球与正方体全部棱相切球直径直径探究探究 若正方体棱长为若正方体棱长为a，则，则a第32页4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_.练习二练习二1.若球表面积变为原来若球表面积变为原来2倍倍,则半径变为原来则半径变为原来_倍倍.2.若球半径变为原来若球半径变为原来2倍，则表面积变为原来倍，则表面积变为原来_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习第33页7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2两个铅球，熔成一个大铅球，那么两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球表面积是这个大铅球表面积是_.5.5.长方体共顶点三个侧面积分别为长方体共顶点三个侧面积分别为 ，则它外接球表面积为则它外接球表面积为_.6.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212,则两球直径之差为则两球直径之差为_.练习二练习二课堂练习课堂练习第34页l了解球体积、表面积推导基本思绪：分割了解球体积、表面积推导基本思绪：分割求近似和求近似和化为标准和方法，是一个主化为标准和方法，是一个主要数学思想方法要数学思想方法极限思想，它是今后要极限思想，它是今后要学习微积分部分学习微积分部分“定积分定积分”内容一个应用；内容一个应用；l熟练掌握球体积、表面积公式：熟练掌握球体积、表面积公式：课堂小结课堂小结第35页课堂作业课堂作业习题习题9.11 P.74 5、6、7、8预习小结与复习预习小结与复习P.75P.77第36页