统计物理专题教育课件省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

统统 计计 物物 理理第1页 统计物理基本思想统计物理基本思想 宏观上一些物理量是组成系统大量分子宏观上一些物理量是组成系统大量分子 进行无规运动一些微观量统计平均值进行无规运动一些微观量统计平均值 宏观量宏观量 实测物理量实测物理量 如如 P T V 等等 微观量微观量 组成系统粒子组成系统粒子(分子、原子、或其它分子、原子、或其它)质量、动量、能量等等质量、动量、能量等等无法直接测量量无法直接测量量第2页处理问题普通思绪处理问题普通思绪从单个粒子行为出发从单个粒子行为出发大量粒子行为大量粒子行为-统计规律统计规律统计方法统计方法模式：假设模式：假设 结论结论 验证验证 修正修正 理论理论比如：微观认为宏观量比如：微观认为宏观量 P 是大量粒子碰壁平均作用力是大量粒子碰壁平均作用力先看一个先看一个碰一次碰一次再看再看集体集体第3页统计方法：统计方法：一个粒子屡次行为一个粒子屡次行为多个粒子一次行为多个粒子一次行为结果相同结果相同如：掷硬币如：掷硬币 看正反面出现百分比看正反面出现百分比 百分比靠近百分比靠近1/2统计规律性：统计规律性：大量随机事件从整体上表现出来规律性大量随机事件从整体上表现出来规律性 统计规律性含有涨落性质统计规律性含有涨落性质第4页xx小球落入其中一小球落入其中一.分布服从分布服从统计规律统计规律大量小球在空间大量小球在空间格是一个偶然事件格是一个偶然事件 小球数按空间小球数按空间位置位置 x 分布曲线分布曲线伽耳顿板演示伽耳顿板演示第5页第6页统计规律统计规律在一定在一定宏观条件宏观条件下下 大量偶然大量偶然事件在整体上表现事件在整体上表现出出确定规律确定规律统计规律必定伴伴随涨落统计规律必定伴伴随涨落涨落涨落对统计平均值对统计平均值 偏离现象偏离现象涨落有时大涨落有时大 有时小有时小 有时正有时正 有时负有时负比如：伽耳顿板试验中比如：伽耳顿板试验中 某坐标某坐标 x 附近附近 x 区间区间内分子数为内分子数为 N 涨落幅度：涨落幅度：第7页统计物理基本概念统计物理基本概念基本出发点：微观性质和质点力学基本出发点：微观性质和质点力学基本原理：大量微观粒子系统状态演化由基本原理：大量微观粒子系统状态演化由概率大小决定概率大小决定基本假定：等概率假设基本假定：等概率假设基本方法：概率统计分析基本方法：概率统计分析第8页热力学热力学:是一门唯象理论是一门唯象理论,它由四个经验规律它由四个经验规律出发出发,演绎得到各种宏观热力学规律演绎得到各种宏观热力学规律.统计物理学统计物理学:从微观性质出发从微观性质出发,基于最基本基于最基本假定假定,应用统计分析方法得到各种宏观性质应用统计分析方法得到各种宏观性质.宏观物理量是微观物理量统计平均值宏观物理量是微观物理量统计平均值.第9页 整个统计物理只有一条基本假定第一性定理第一性定理(等几率原理等几率原理)1874年Boltzmann:宏观系统中各种微观状态出宏观系统中各种微观状态出几率都是相同几率都是相同.条件:孤立孤立,平衡平衡 统计物理主要内容统计物理主要内容第10页第六章第六章近独立粒子最概然分布近独立粒子最概然分布第11页1 粒子运动粒子运动状态状态经典描述经典描述粒子状态描述粒子状态描述粒子是指组成物质系统基本单元。粒子是指组成物质系统基本单元。粒子运动状态是指它力学运动状态。粒子运动状态是指它力学运动状态。假如粒子遵从经典力学运动规律，对粒子运动状假如粒子遵从经典力学运动规律，对粒子运动状态描述称为经典描述。态描述称为经典描述。假如粒子遵从量子力学运动规律，对粒子运动状假如粒子遵从量子力学运动规律，对粒子运动状态描述称为量子描述。态描述称为量子描述。第12页 空间空间粒子自由度数粒子自由度数r 能够完全确定质点空间位置独立坐标数目能够完全确定质点空间位置独立坐标数目.自由度自由度为为r一个一个微微观观粒子粒子微观运动状态微观运动状态由由2r个广个广义义坐坐标标和广和广义动义动量确定。量确定。空间空间 由由2r个相互垂直轴张成个相互垂直轴张成2r维空间，其中维空间，其中r个轴代表广义坐标，另外个轴代表广义坐标，另外r个轴代表广义动量。个轴代表广义动量。第13页空间中一个点点粒子一个微观态微观态空间中轨迹轨迹粒子运动状态随时间演随时间演化化代表点代表点：空间中点称为粒子代表点相轨迹相轨迹：伴随时间改变，代表点在空间描出曲线第14页【例1】自由粒子自由粒子 理想气体分子、金属中自由电子第15页第16页第17页第18页【例2】线性谐振子线性谐振子 气体中双原子分子振动，晶体中原子或离子在平衡位置附近振动均可看作是简谐运动。第19页第20页2 粒子运动状态量子描述粒子运动状态量子描述微观粒子普遍含有波粒二象性（粒子性与波动性）微观粒子普遍含有波粒二象性（粒子性与波动性）德布罗意关系：德布罗意关系：不确定关系：不确定关系：其中其中称称为为普朗克常数。普朗克常数。第21页波非相干叠加波非相干叠加第22页波相干叠加波相干叠加第23页 微观粒子不可能同时有确定动量和坐标，这生动地微观粒子不可能同时有确定动量和坐标，这生动地说明微观粒子运动不是轨道运动。微观粒子运动状态不说明微观粒子运动不是轨道运动。微观粒子运动状态不是用坐标和动量来描述，而是用波函数或量子数来描述。是用坐标和动量来描述，而是用波函数或量子数来描述。在量子力学中，微观粒子运动状态称为量子态。在量子力学中，微观粒子运动状态称为量子态。量子态由一组量子数来表征。这组量子数数目等于粒子量子态由一组量子数来表征。这组量子数数目等于粒子自由度数。自由度数。微观粒子能量是不连续微观粒子能量是不连续,称为能级称为能级.假如一个能假如一个能级量子态不止一个，该能级就称为简并。一个能级量子级量子态不止一个，该能级就称为简并。一个能级量子态数称为该能级简并度。假如一个能级只有一个量子态态数称为该能级简并度。假如一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并。，该能级称为非简并。第24页 普朗克常数普朗克常数 量纲：量纲：时间时间能量能量=长度长度动量动量=角动量角动量 这么一个物理量通常称为作用量，这么一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本作用量子。这个作因而普朗克常数也称为基本作用量子。这个作用量子常作为判别采取经典描述或量子描述判用量子常作为判别采取经典描述或量子描述判据。据。当一个物质系统任何含有作用量纲当一个物质系统任何含有作用量纲物理量含有与普朗克常数相比拟数值时，这个物理量含有与普朗克常数相比拟数值时，这个物质系统就是量子系统。反之，假如物质系统物质系统就是量子系统。反之，假如物质系统每一个含有作用量纲物理量用普朗克常数来量每一个含有作用量纲物理量用普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就能够用经典力学来度都非常大时，这个系统就能够用经典力学来研究。研究。第25页第26页例一、自旋（例一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit)电子、质子、中子等粒子含有内禀角动量，电子、质子、中子等粒子含有内禀角动量，称为自旋角动量称为自旋角动量 ，其平方数值等于，其平方数值等于 ，S 称为自旋量子数，能够是整数或半整数。电子自旋称为自旋量子数，能够是整数或半整数。电子自旋量子数为量子数为 。自旋量子数和自旋角动量在其本征方向投影确定自旋自旋量子数和自旋角动量在其本征方向投影确定自旋角动动量状态。以角动动量状态。以 z 为本征方向，为本征方向，Sz 可能可能 值为值为以以 m 表示电子质量，表示电子质量，-e 表示电子电荷，原子物理课表示电子电荷，原子物理课中给出电子自旋磁矩中给出电子自旋磁矩 与自旋角动量与自旋角动量 之比之比第27页当存在外磁场时，自旋角动量本征方向沿外磁当存在外磁场时，自旋角动量本征方向沿外磁 场场方向。以方向。以 z 表示外磁表示外磁 场方向，场方向，B 表示磁感应强度，表示磁感应强度，则电子自旋角动量在则电子自旋角动量在 z 方向投影为方向投影为 则自旋磁矩在则自旋磁矩在 z 方向投影为方向投影为电子在外磁场中能量为电子在外磁场中能量为第28页例二、线性谐振子例二、线性谐振子圆频圆频率率为为 线性谐振子能量可能值为线性谐振子能量可能值为全部能级等间距，间距均为全部能级等间距，间距均为 。能能级为级为非非简简并。并。第29页例三、转子例三、转子所以：所以：基态非简并，激发态简并，基态非简并，激发态简并，简并度：简并度：转转子能量子能量量子理量子理论论要求要求 第30页例四、自由粒子例四、自由粒子一维自由粒子一维自由粒子 考考虑处虑处于于长长度度为为 一维容器中自由粒子运动状一维容器中自由粒子运动状态。周期性边界条件要求对粒子可能运动状态，其态。周期性边界条件要求对粒子可能运动状态，其德布罗意波长德布罗意波长 满足满足第31页所以，一维自由粒子量子数：所以，一维自由粒子量子数：1个个基态能级为非简并，激发态为二度简并。基态能级为非简并，激发态为二度简并。第32页三维自由粒子三维自由粒子假假设设此粒子限制在一个此粒子限制在一个边长为边长为L方盒子中运方盒子中运动动，仿照一仿照一维维粒子情形，粒子情形，该该粒子在三个方向粒子在三个方向动动量可能量可能值为值为第33页量子数：量子数：3个个基态能级为非简并，第一激发态为基态能级为非简并，第一激发态为6度简并。度简并。能量可能值为能量可能值为第34页（1）在微观体积下，粒子动量值和能量值分离性很显在微观体积下，粒子动量值和能量值分离性很显著，粒子运动状态由三个量子数表征。著，粒子运动状态由三个量子数表征。对对于于有六个量子有六个量子态态与之与之对应对应，所以所以该该能能级为级为六度六度简简并，而基并，而基态为态为非非简简并。并。能量值决定于能量值决定于 相格及微观状态数相格及微观状态数第35页（2）在宏观体积下，粒子动量值和能量值是准）在宏观体积下，粒子动量值和能量值是准连续，这时往往考虑在体积连续，这时往往考虑在体积 内，在一定内，在一定动量范围内自由粒子量子态数。动量范围内自由粒子量子态数。求求V=L3内在内在Px到到Px+dPx，Py到到Py+dPy，Pz到Pz+dPz间自由粒子量子态数。间自由粒子量子态数。第36页 在在V=L3内，内，Px到到Px+dPx，Py到到Py+dPy，Pz到到Pz+dPz间可能间可能Px，Py，Pz数目为数目为在在V=L3内，符合上式量子态数：内，符合上式量子态数：第37页 微观粒子运动必须恪守不确定关系，不可能同微观粒子运动必须恪守不确定关系，不可能同时含有确定动量和坐标，所以量子态不能用时含有确定动量和坐标，所以量子态不能用 空间一点空间一点来描述，假如确实需要沿用广义坐标和广义动量来描述来描述，假如确实需要沿用广义坐标和广义动量来描述量子态，那么一个状态必定对应于量子态，那么一个状态必定对应于 空间中一个体积元，空间中一个体积元，而不是一个点，这个体积元称为而不是一个点，这个体积元称为量子相格量子相格。自由度为自由度为1粒子，相格大小为普朗克常数粒子，相格大小为普朗克常数 假如自由度为假如自由度为 相格大小相格大小为为粒子在空间某个区域总微观状态数 W 为为第38页第39页第40页第41页态密度态密度定义：单位能量间隔内微观状态数单位能量间隔内微观状态数。记做：D()计算：按以下三步骤进行（1）计算等能面所围相体积();（2）计算+d 能量间隔内相体积 d ()（3）计算+d 能量间隔内微观状态数 dW其中g是粒子内部自由度所带来简并度。第42页第43页第44页第45页一一.全同粒子与近独立粒子全同粒子与近独立粒子1）全同粒子）全同粒子含有完全相同属性同类粒子2）近独立粒子）近独立粒子粒子之间相互作用很弱3 系统微观运动状态描述系统微观运动状态描述第46页 全同粒子是能够分辨（因为经典粒子运动是轨道运动，标准全同粒子是能够分辨（因为经典粒子运动是轨道运动，标准上是能够被跟踪）。上是能够被跟踪）。假如在含有多个全同粒子系统中，将两个粒子运动状态加以交假如在含有多个全同粒子系统中，将两个粒子运动状态加以交换，交换前后，系统微观状态是不一样。换，交换前后，系统微观状态是不一样。二二.系统微观运动状态描述系统微观运动状态描述1）可分辨）可分辨（可跟踪经典轨道运动）（可跟踪经典轨道运动）系统微观状态：组成系统全部系统微观状态：组成系统全部N个粒子运动状态，由个粒子运动状态，由Nr个广个广义坐标和义坐标和Nr个广义动量描述。个广义动量描述。第47页第48页2）描述方式）描述方式 单单个粒子个粒子经经典运典运动动状状态态，由，由 个广义坐标个广义坐标 和和 个广义动量来描述，当组成系统个广义动量来描述，当组成系统 个个粒子在某一时刻运动状态都确定时，也就确定粒子在某一时刻运动状态都确定时，也就确定了整个系统在该时刻运动状态。所以确定系统了整个系统在该时刻运动状态。所以确定系统微观运动状态需要微观运动状态需要这这 个变量来确定。个变量来确定。第49页用用 空间中空间中N个点描述个点描述 一个粒子在某时刻力学运动状态能够在一个粒子在某时刻力学运动状态能够在空间中用一个点表示，由空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成个全同粒子组成系统在某时刻微观运动状态能够在系统在某时刻微观运动状态能够在空间中用空间中用N个点表示，那么假如交换两个代表点在个点表示，那么假如交换两个代表点在空间空间位置，对应系统微观状态是不一样。位置，对应系统微观状态是不一样。第50页3）玻色子与费米子）玻色子与费米子b）玻色子玻色子：自旋量子数为整数基本粒子或自旋量子数为整数基本粒子或 复合粒子。复合粒子。如：光子、如：光子、介子等。介子等。a)费米子费米子：自旋量子数为半整数基本粒子或复自旋量子数为半整数基本粒子或复 合粒子。如：电子、质子、中子等。合粒子。如：电子、质子、中子等。第51页c）复合粒子分类复合粒子分类：凡是由玻色子组成复凡是由玻色子组成复合粒子是玻色子；由偶数个费米子组成复合粒子是玻色子；由偶数个费米子组成复合粒子是玻色子，由奇数个费米子组成复合粒子是玻色子，由奇数个费米子组成复合粒子是费米子。合粒子是费米子。如，原子、核、核、原子为玻色子原子、核、核、原子为费米子第52页d）泡利不相容原理泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立费米子系统对于含有多个全同近独立费米子系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。子。费米子遵从泡利不相容原理，即在含费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多个全同近独立费米子系统中，占据有多个全同近独立费米子系统中，占据一个个体量子态费米子不可能超出一个，一个个体量子态费米子不可能超出一个，而玻色子组成系统不受泡利不相容原理而玻色子组成系统不受泡利不相容原理约束。费米子和玻色子遵从不一样统计。约束。费米子和玻色子遵从不一样统计。第53页4）玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统:由可分辨全同近独立粒子组成，且处于一个个体由可分辨全同近独立粒子组成，且处于一个个体量子态上粒子数不受限制系统。量子态上粒子数不受限制系统。玻色系统玻色系统:由不可分辨全同近独立玻色粒子组成，不受泡利由不可分辨全同近独立玻色粒子组成，不受泡利不相容原理约束，即处于同一个个体量子态上粒子数不相容原理约束，即处于同一个个体量子态上粒子数不受限制系统。不受限制系统。费米系统费米系统:由不可分辨全同近独立费米粒子组成，受泡利不相由不可分辨全同近独立费米粒子组成，受泡利不相容原理约束，即处于同一个个体量子态上粒子数最多容原理约束，即处于同一个个体量子态上粒子数最多只能为只能为1个粒子系统。个粒子系统。第54页 设系统由两个粒子组成，粒子个体设系统由两个粒子组成，粒子个体量子态有量子态有3个，假如这两个粒子分属个，假如这两个粒子分属玻耳兹玻耳兹曼系统曼系统、玻色玻色系统系统、费米费米系统系统时，试分别时，试分别讨论系统各有那些可能微观状态？讨论系统各有那些可能微观状态？第55页量子量子态态1 量子量子态态2量子量子态态 31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA对于定域系统可有对于定域系统可有9种不一样微观状态种不一样微观状态第56页量子量子态态1 量子量子态态2量子量子态态31AA2AA3AA4AA5AA6AA对对于玻色系于玻色系统统，能，能够够有有6种不一种不一样样微微观观状状态态。第57页量子量子态态1 量子量子态态2量子量子态态31AA2AA3AA对对于于费费米系米系统统，能，能够够有有3个不一个不一样样微微观观状状态态。第58页经典统计物理学经典统计物理学 在经典力学基础上建立统计物理学称在经典力学基础上建立统计物理学称为经典统计物理学。为经典统计物理学。量子经典统计物理学量子经典统计物理学 在量子力学基础上建立统计物理学称在量子力学基础上建立统计物理学称为经典统计物理学。二者在原理上相同，区为经典统计物理学。二者在原理上相同，区分在于系统微观状态描述。分在于系统微观状态描述。第59页4 等概率原理等概率原理宏观状态和微观状态区分宏观状态和微观状态区分宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如N、E、V。微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子 数表示。数表示。为了研究系统宏观性质，没必要也不可能为了研究系统宏观性质，没必要也不可能追究微观状态复杂改变，只要知道各个微观状态出现追究微观状态复杂改变，只要知道各个微观状态出现概率，就能够用统计方法求微观量统计平均值。所以，概率，就能够用统计方法求微观量统计平均值。所以，确定各微观状态出现概率是统计物理根本问题。确定各微观状态出现概率是统计物理根本问题。第60页等概率原理等概率原理：对于处于平衡态孤立系统，系统各个可对于处于平衡态孤立系统，系统各个可能微观状态出现概率是相等。既然这些微观状态都能微观状态出现概率是相等。既然这些微观状态都一样满足含有确定一样满足含有确定N、E、V 宏观条件，没有理由认宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现概率更大一些。这些微观状态应为哪一个状态出现概率更大一些。这些微观状态应该是平权。该是平权。等概率原理是统计物理学中一个合理基本等概率原理是统计物理学中一个合理基本假设。该原理不能从更基本原理推出，也不能直接假设。该原理不能从更基本原理推出，也不能直接从试验上验证。它正确性由从它推出各种结论与客从试验上验证。它正确性由从它推出各种结论与客观实际相符而得到必定。观实际相符而得到必定。第61页小结小结我们讲述了用统计方法来处理大量微观粒子运动而引发宏观效应一个例子，也就是伽尔顿板演示。经过这个例子，我们阐述了：统计物理出发点即使是组成系统大量微观粒子，处理方法却不是从直接描述微观粒子运动方程出发。统计物理对系统可能微观运动状态所出现概率作一个假设统计物理对系统可能微观运动状态所出现概率作一个假设等概率原理，从这个假设出发，计算系统宏观性质。等概率原理，从这个假设出发，计算系统宏观性质。我们引入了空间来描述微观粒子运动状态，一个有 r 个自由度微观粒子所对应空间由其 r 个广义坐标 和 r 个广义动量 所组成，空间维度为 2r。第62页 自由度自由度 r（1）经典粒子：能够完全确定粒子空间位置独立坐标数目（2）量子粒子：描述粒子量子态完备量子数对于宏观体积下微观粒子，粒子能级分布非常密集，粒子动量值和能量值是准连续。为此，我们常把 空间分割成相体积为 体积元，即相格。经典粒子一个微观状态 空间中一个点量子粒子一个微观状态 空间中一个相格 第63页我们介绍了系统微观状态描述，组成系统全部粒子微观状态就对应着系统一个微观状态。描述系统微观状态，有一个非常主要概念，即要区分对待区分对待三种不一样微观粒子三种不一样微观粒子，即可分辨经典粒子，不可分辨但不受泡利不相容原理所限制玻色子，以及不可分辨但受泡利不相容原理所限制费米子。用 空间来描述，N 个经典粒子组成系统微观态 空间 N 个点（或者说 空间粒子数分布）+每个粒子标号N 个玻色子组成系统微观态 空间每个相格粒子分布N 个费米子组成系统微观态 空间每个相格粒子分布（每个相格粒子数最多1个）第64页等概率假设对系统全部可能出现微观态出现概率作了假设。等概率假设对系统全部可能出现微观态出现概率作了假设。对于孤立系统处于平衡态系统，其所对应全部可能状态等对于孤立系统处于平衡态系统，其所对应全部可能状态等权出现权出现。这个假设这个假设既适合用于经典系统，也适合用于量子既适合用于经典系统，也适合用于量子系统系统。我们将把等概率原理应用到近独立系统，推导出三种主要我们将把等概率原理应用到近独立系统，推导出三种主要统计分布，即玻尔兹曼分布、玻色统计分布，即玻尔兹曼分布、玻色-爱爱因斯坦分布、以及因斯坦分布、以及费费米分布。米分布。第65页5 分布与微观状态数分布与微观状态数第66页5.1 宏观态、分布与微观状态宏观态、分布与微观状态考虑近独立粒子组成考虑近独立粒子组成孤立系统孤立系统宏观态宏观态是指含有一定粒子数是指含有一定粒子数 N、能量、能量 E 和体积和体积 V 平衡态平衡态假如用假如用 表示单粒子能级，表示单粒子能级，表示对应能级简并度，用表示对应能级简并度，用 来标识能级上来标识能级上粒子数，这么一组称为一个粒子数，这么一组称为一个粒子在不一样能级上粒子在不一样能级上分布，简称分布，简称分布分布。可用。可用 表示系统一个分布。表示系统一个分布。分布要满足两个约束条件：分布要满足两个约束条件：第67页给定了一个分布，只能确定处于每一个能级上粒子数，它给定了一个分布，只能确定处于每一个能级上粒子数，它与系统微观状态是两个性质不一样概念。与系统微观状态是两个性质不一样概念。每一个详细分布称为每一个详细分布称为微观状态微观状态玻尔兹曼系统微观状态：玻尔兹曼系统微观状态：“每个能级每个能级 上每个简并态上粒子数分布上每个简并态上粒子数分布+粒子粒子标号次序标号次序”玻色系统微观状态：玻色系统微观状态：“每个能级每个能级 上每个简并态上粒子数分布上每个简并态上粒子数分布”费米系统微观状态：费米系统微观状态：“每个能级每个能级 上每个简并态上粒子数分布上每个简并态上粒子数分布”（每一个量（每一个量子态粒子数目不超出一个）子态粒子数目不超出一个）第68页例例1 一容器内有一容器内有4个粒子个粒子A、B、C、D，容器被看作由，容器被看作由、两个区域组成，粒子动量不一样被忽略，粒子状态只由两个区域组成，粒子动量不一样被忽略，粒子状态只由处于处于,两个区域来区分。试问系统可能微观状态数有多两个区域来区分。试问系统可能微观状态数有多少个？系统处于平衡态，两个区域粒子分布有多少种可能少个？系统处于平衡态，两个区域粒子分布有多少种可能？每种分布有多少微观态？每种分布有多少微观态？解：解：（1）系统可能微观状态数为）系统可能微观状态数为 用用 1 表示表示区域，区域，0表示表示区域，全部微观状态列出区域，全部微观状态列出以下（四个数位分别表示以下（四个数位分别表示 A、B、C、D 粒子）：粒子）：0000，0001，0010，0011，0100，0101，0110，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111第69页（2）可能分布）可能分布为为5种种（括号内左侧表示（括号内左侧表示区域）区域）（3）对应微观态）对应微观态D1：0011，0101，1001，1010，1100，0110D2：0001，0010，0100，1000D3：0111，1101，1011，1110D4：0000D5：1111微观状态数：微观状态数：第70页（4）对于这个系统，能够看到对于这个系统，能够看到1 个宏观态个宏观态 5 种区域粒子数分布种区域粒子数分布许多系统微观状态许多系统微观状态 假如粒子数很多呢？假如粒子数很多呢？第71页例例2 假定有假定有6个近独立玻色子，单个粒子能级为个近独立玻色子，单个粒子能级为0，2，3，且各能级为非简并，系统总能量为，且各能级为非简并，系统总能量为 3 .问系统对应微观状态数有多少？问系统对应微观状态数有多少？解：解：（1）各能级可能粒子数分布为（未写出能级粒子数为）各能级可能粒子数分布为（未写出能级粒子数为0）3，3，0，0，4，1，1，0，5，0，0，1，因为玻色子不可分辨，且这里能级非简并，上面分布数也因为玻色子不可分辨，且这里能级非简并，上面分布数也就是微观状态数，即微观状态数为就是微观状态数，即微观状态数为 3.对对于非于非简简并量子系并量子系统统：1个宏个宏观态观态 M 个能个能级粒子数分布级粒子数分布 M 个系个系统统微微观观状状态态第72页5.2 分布微观状态数分布微观状态数 I.玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统能级分布能级分布：微观状态微观状态：每个能级：每个能级 上每个简并态上粒子数上每个简并态上粒子数分布分布 +粒子标号次序粒子标号次序（1）考虑给定一个能级）考虑给定一个能级 ，给定，给定 个粒个粒子在子在 个简并态上分布个简并态上分布例：例：第73页（2）考虑不一样能级粒子数可分辨性）考虑不一样能级粒子数可分辨性第74页因而因而总微观态数总微观态数为为第75页 II.玻色系统玻色系统 能级分布能级分布：微观状态微观状态：每个能级：每个能级 上每个简并态上粒子数分布上每个简并态上粒子数分布 考虑给定一个能级考虑给定一个能级 ，给定，给定 个粒子在个粒子在 个个简并态上分布简并态上分布 用一个编号方格表示一个简并态，每一个编号方格后跟一个用一个编号方格表示一个简并态，每一个编号方格后跟一个空方格，空格中能够放入粒子（圆点），圆点数表示空格前编空方格，空格中能够放入粒子（圆点），圆点数表示空格前编号方格代表简并态上粒子数目。号方格代表简并态上粒子数目。固定简并态排序（图中固定简并态排序（图中1，2，3，4，），则圆点在空格中），则圆点在空格中不一样集体分布数目即为系统微观状态数。不一样集体分布数目即为系统微观状态数。第76页能够这么能够这么计算能级计算能级 上微观态数上微观态数：将最左方固定为量子态将最左方固定为量子态 1（方格（方格1），然后计算其它编号），然后计算其它编号小方格和小圆圈可能组合数，为小方格和小圆圈可能组合数，为因为粒子不可分辨性，应扣除粒子之间相互交换因为粒子不可分辨性，应扣除粒子之间相互交换数数 ；编号小方格次序必须固定，所以应再除以；编号小方格次序必须固定，所以应再除以其它编号小方格（简并态）相互交换数其它编号小方格（简并态）相互交换数 ，所以微观态数为所以微观态数为为何编号小方格次序必须固定？为何编号小方格次序必须固定？左侧两行给出左侧两行给出相同微观态相同微观态第77页将各个能级结果相乘，就得到将各个能级结果相乘，就得到玻色系统微观状态数：玻色系统微观状态数：第78页III.费米系统费米系统 粒子不可分辨，每一个个体量子态最粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。多只能容纳一个粒子。个粒子占据能级个粒子占据能级 上上 个量子态，相当于从个量子态，相当于从 个量子态中挑个量子态中挑出出 个来为粒子所占据，可能方式数目个来为粒子所占据，可能方式数目 第79页 将各能级结果相乘，就得到费米将各能级结果相乘，就得到费米系统与分布对应微观状态数：系统与分布对应微观状态数：第80页5.3 经典极限条件经典极限条件 假如在玻色系统和费米系统中，任一能假如在玻色系统和费米系统中，任一能级上粒子数均远小于该能级量子态数，即级上粒子数均远小于该能级量子态数，即 （对全部能级），（对全部能级），称为满足称为满足经典极限条件经典极限条件，也称，也称非简并性条件非简并性条件。经典极限条件表示，在全部能级，粒子数都远经典极限条件表示，在全部能级，粒子数都远小于量子态数。小于量子态数。第81页此时有：第82页 在玻色和费米系统中，在玻色和费米系统中，个粒个粒子占据能级子占据能级 上上 个量子态时原来个量子态时原来是存在关联，但在满足经典极限条件情形是存在关联，但在满足经典极限条件情形下，因为每个量子态上粒子数远小于下，因为每个量子态上粒子数远小于1，粒，粒子间关联能够忽略。这时，子间关联能够忽略。这时，全同性原理影响只表现在因子全同性原理影响只表现在因子 上。上。第83页 5.4 经典统计中分布和微观状态数经典统计中分布和微观状态数 经典力学中，粒子在某一时刻运动状态由它广经典力学中，粒子在某一时刻运动状态由它广义坐标和广义动量确定，对应于义坐标和广义动量确定，对应于 空间中一个代空间中一个代表点。系统在某一时刻运动状态由表点。系统在某一时刻运动状态由 N 个粒子坐标和动量个粒子坐标和动量决定，对应于决定，对应于 空间空间 N 个点。个点。因为因为 q 和和 p 是连续，粒子微观运动状态都是不可数，是连续，粒子微观运动状态都是不可数，为了计算微观状态数，我们将为了计算微观状态数，我们将 q 和和 p 分成大小相等小间分成大小相等小间隔，使隔，使 ，是一个小量，是一个小量，对于含有对于含有 r 个自由度粒子，个自由度粒子，对应于对应于 空间中一个相格。空间中一个相格。假使假使 足够小，足够小，就能够由粒子运动状态代表点所在相格确定粒子运动状就能够由粒子运动状态代表点所在相格确定粒子运动状态。态。处于同处于同 一相格代表点，代表相同运动状态。一相格代表点，代表相同运动状态。越小描述越准确，经典力学越小描述越准确，经典力学 任意小，量子力学任意小，量子力学限制其最小值为普朗克常量。限制其最小值为普朗克常量。第84页 现将现将 空间划分为许多体积元空间划分为许多体积元 ，以，以 表示运表示运动状态处于动状态处于 内粒子所含有能量，内粒子所含有能量，内粒子运动状内粒子运动状态数为态数为这么，这么，个粒子处于各个粒子处于各 分布可表示为分布可表示为能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：体体 积积 元元:第85页 因为经典粒子能够分辨，处于一个相格内粒因为经典粒子能够分辨，处于一个相格内粒子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系统统计规律，所以与分布统统计规律，所以与分布 对应经典系统微观对应经典系统微观状态数为：状态数为：第86页玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统玻色系统玻色系统费米系统费米系统经典系统经典系统 微观状态微观状态第87页6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 第88页6.1 最概然分布最概然分布依据玻尔兹曼等概率原理，对于处于平衡态孤立系依据玻尔兹曼等概率原理，对于处于平衡态孤立系统，全部微观态出现几率是相等。从能级分布统，全部微观态出现几率是相等。从能级分布 来说，能够使微观态数目取最大值那一组分布出现来说，能够使微观态数目取最大值那一组分布出现几率也最大，因为它对应于最多微观代表态。几率也最大，因为它对应于最多微观代表态。当然，这个极值是在一定约束条件下极值。详细说，当然，这个极值是在一定约束条件下极值。详细说，当体系含有固定粒子数、能量，即当满足当体系含有固定粒子数、能量，即当满足时，使得系统微观态数目取极大值分布，时，使得系统微观态数目取极大值分布，称为系统称为系统最概然分布最概然分布（也称作最可几分布）（也称作最可几分布）。第89页6.2 玻耳兹曼玻耳兹曼分布推导分布推导玻尔兹曼分布是玻尔兹曼系统最概然分布。玻尔兹曼分布是玻尔兹曼系统最概然分布。微观状态数微观状态数 取极值取极值 ，在数学上等同于在数学上等同于 第90页斯特林（斯特林（Stirling）公式：）公式：当当m足够大时足够大时,第二项与第一项相比能够忽略第二项与第一项相比能够忽略.这时这时第91页证实证实 （其中m是远大于1整数）证实：证实：上式右方等于右图中一系列矩形面积之和。各矩形宽为1，高分别为 ln 1,ln 2,ln m.当 m 远大于1时，矩形面积之和近似等于曲线 ln x 下面积。所以第92页若假若假设设 N1，al1，l1,应应用用斯特林公式可得到：斯特林公式可得到：第93页两两边边关于关于求求变变分，分，但但这这些些不完全是独立，必不完全是独立，必须满须满足足约约束条件：束条件：则则必必须满须满足：足：第94页 为为求在此求在此约约束条件下最大束条件下最大值值，使用拉格朗日乘数法，取，使用拉格朗日乘数法，取未定因子未定因子为为a和和分分别别乘以上面两式，有乘以上面两式，有从从 中减去前两式中减去前两式则则有：有：此即此即玻玻尔尔兹兹曼分布曼分布 意义：意义：最概然分布时在能量为最概然分布时在能量为 能级上粒子数。能级上粒子数。第95页玻耳玻耳兹兹曼分布也可表示曼分布也可表示为处为处于能量于能量为为量子量子态态玻尔兹曼分布中玻尔兹曼分布中 a 和和 分别由下面条件决定分别由下面条件决定上平均粒子数上平均粒子数a和和分分别别由下面条件决定由下面条件决定第96页说说明明（1）取极大取极大值值条件不但要求条件不但要求 ，同同时时要求要求证实证实：对对关于关于 再求再求变变分，有分，有所以所以满满足取极大足取极大值值条件。条件。第97页（2）最概然分布最概然分布=平衡时分布？平衡时分布？例例（5.1节例节例1）：4个粒子，两个区域个粒子，两个区域可能分布可能分布最概然分布最概然分布 D1 微观态数目为微观态数目为 6，占总微观态数，占总微观态数目标百分比为目标百分比为（用（用 代表最概然分布微观态数）代表最概然分布微观态数）所以这里不能以最概然分布来代表平衡时全部可所以这里不能以最概然分布来代表平衡时全部可能分布。能分布。第98页当当 时，时，出现概率极大，能够用出现概率极大，能够用 及其附及其附近很小范围内分布代表平衡时全部可能分布。近很小范围内分布代表平衡时全部可能分布。第99页 这说明粒子数很大时，与最可几分布非常靠近范围内微这说明粒子数很大时，与最可几分布非常靠近范围内微这说明粒子数很大时，与最可几分布非常靠近范围内微这说明粒子数很大时，与最可几分布非常靠近范围内微观状态数很靠近全部可能微观状态数。依据等几率原理，观状态数很靠近全部可能微观状态数。依据等几率原理，观状态数很靠近全部可能微观状态数。依据等几率原理，观状态数很靠近全部可能微观状态数。依据等几率原理，处于平衡状态下孤立系统，每一个可能微观状态出现概处于平衡状态下孤立系统，每一个可能微观状态出现概处于平衡状态下孤立系统，每一个可能微观状态出现概处于平衡状态下孤立系统，每一个可能微观状态出现概率相同。另外，非常靠近最可几分布范围内物理测量与率相同。另外，非常靠近最可几分布范围内物理测量与率相同。另外，非常靠近最可几分布范围内物理测量与率相同。另外，非常靠近最可几分布范围内物理测量与最可几分布时测量非常靠近。所以，假如忽略其它分布最可几分布时测量非常靠近。所以，假如忽略其它分布最可几分布时测量非常靠近。所以，假如忽略其它分布最可几分布时测量非常靠近。所以，假如忽略其它分布而认为平衡状态下粒子实质上处于最可几分布，由其所而认为平衡状态下粒子实质上处于最可几分布，由其所而认为平衡状态下粒子实质上处于最可几分布，由其所而认为平衡状态下粒子实质上处于最可几分布，由其所引发误差应该能够忽略。引发误差应该能够忽略。引发误差应该能够忽略。引发误差应该能够忽略。第100页（3）（4）以上理论能够推广到含有多个组元情形。以上理论能够推广到含有多个组元情形。以上理论能够推广到含有多个组元情形。以上理论能够推广到含有多个组元情形。第101页经典统计中玻耳兹曼分布表示式经典统计中玻耳兹曼分布表示式 和和分别由下面条件决定分别由下面条件决定第102页7 玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布同理能够求出玻色系统和费米系统中粒子最概然布。同理能够求出玻色系统和费米系统中粒子最概然布。两边两边取取对对数得：数得：对对若假设若假设N1，al1，l1,应应用斯特林公式可得到：用斯特林公式可得到：第103页两边关于求变分，但这些不完全是独立，必须满足约束条件：则必须满足：第104页 为为求在此求在此约约束条件下最大束条件下最大值值，使用拉格朗日乘数，使用拉格朗日乘数法，取未定