1.2.2其他模型与应用.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
1.2.2其他模型与应用（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、
重点

难点

教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配

作业

备注

4
1.2.2其他模型与应用

【例1】设工厂到铁路线的垂直距离为20千米，垂足为点，铁路线上距点100千米处有一个原料供应站点。现在要在铁路之间某处点修建一个车站，在由车站点向工厂修一条铁路，问点应在何处才能使得从原料供应站点运货到工厂所需运费最省？已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3：5.
解 设，则，。如果公路运费为元/千米，则铁路运费为元/千米，于是从点途径点到的距离为
所需总运费为
因为
令，得，只有满足。
因此当车站建于，之间且与相距15千米时运费最省。
【例2】欲用长6米的铝合金加工日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？
解 设窗框的宽为米，则长为米，于是窗户的面积为

令，得。因为，所以时极大值点，
极大值为
所以，窗户的宽为1米，长为1.5米时，窗户的面积最大，嘴大面积为1.5平方米。
【例3】将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的长和宽各为多少时，才能时圆柱的体积最大？
解 设矩形的长和宽分别为，则旋转体的体积为
由题意知，即代入上式得
令，得惟一驻点，这时
所以当矩形的长和宽分别为、时，绕旋转所得圆柱体积最大。

【例4】要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为每平方米18元，侧面造价为每平方米6元，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽体积最大？
解 设水槽的长、宽、高分别为，则体积为

由题设知
即
将上式代入，得
求对的偏导数

令，得方程组

解得，代入
所以取长为2米、宽为2米、高为3米时，水槽的体积最大，最大体积为12立方米。
【例5】影子为什么那么长
当人们夜晚在马路上行走时，如果身后有一盏路灯，就会看到前方的路面上留下了一条长长的身影，而且人影移动的速度明显比人行走的速度垮了许多。下面，我们就用导数来解释这种现象。
如图1-25所示，表示路灯与地面的距离，表示人的身高，人沿着轴的正向前进。如果人在时刻由灯下的点前进至点，那么人的影子则从点“前进”至点,换句话说，时刻影子移动的距离即为线段长度。由导数的物理意义知，就表示影子移动的速度。
由于，所以，由此可求得

图1-25

假设人以匀速行走，速度为，则时刻行走的距离，于是
从而
如果我们以灯高米、身高米、速度（米|秒）计算，即可求得影子移动的速度为
（米|秒）
这比人行走的速度要快多了。