1、新编经济应用数学(微分学 积分学)第五版课题1.2.2其他模型与应用(2学时)时间 年 月 日教学目的要求1、重点难点教学方法手段精讲多练主要内容时间分配作业备注41.2.2其他模型与应用【例1】设工厂到铁路线的垂直距离为20千米,垂足为点,铁路线上距点100千米处有一个原料供应站点。现在要在铁路之间某处点修建一个车站,在由车站点向工厂修一条铁路,问点应在何处才能使得从原料供应站点运货到工厂所需运费最省?已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5.解 设,则,。如果公路运费为元/千米,则铁路运费为元/千米,于是从点途径点到的距离为所需总运费为因为令,得,只有满足。因此当车站建于,之间且与相距1
2、5千米时运费最省。【例2】欲用长6米的铝合金加工日字型窗框,问它的长和宽分别为多少时,才能使窗户面积最大,最大面积是多少?解 设窗框的宽为米,则长为米,于是窗户的面积为令,得。因为,所以时极大值点,极大值为所以,窗户的宽为1米,长为1.5米时,窗户的面积最大,嘴大面积为1.5平方米。【例3】将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的长和宽各为多少时,才能时圆柱的体积最大?解 设矩形的长和宽分别为,则旋转体的体积为由题意知,即代入上式得令,得惟一驻点,这时所以当矩形的长和宽分别为、时,绕旋转所得圆柱体积最大。【例4】要制造一个无盖的长方体水槽,已知它的底部造价为每平方米18元,侧面造
3、价为每平方米6元,设计的总造价为216元,问如何选取它的尺寸,才能使水槽体积最大?解 设水槽的长、宽、高分别为,则体积为由题设知即将上式代入,得求对的偏导数令,得方程组解得,代入所以取长为2米、宽为2米、高为3米时,水槽的体积最大,最大体积为12立方米。【例5】影子为什么那么长当人们夜晚在马路上行走时,如果身后有一盏路灯,就会看到前方的路面上留下了一条长长的身影,而且人影移动的速度明显比人行走的速度垮了许多。下面,我们就用导数来解释这种现象。如图1-25所示,表示路灯与地面的距离,表示人的身高,人沿着轴的正向前进。如果人在时刻由灯下的点前进至点,那么人的影子则从点“前进”至点,换句话说,时刻影子移动的距离即为线段长度。由导数的物理意义知,就表示影子移动的速度。 由于,所以,由此可求得图1-25 假设人以匀速行走,速度为,则时刻行走的距离,于是 从而 如果我们以灯高米、身高米、速度(米|秒)计算,即可求得影子移动的速度为 (米|秒)这比人行走的速度要快多了。