调和函数与解析函数的关系研究.pdf

学 生 毕 业 论 文 课题名称 调和函数与解析函数的关系研究 姓 名 学 号 院 系 数学与计算科学学院 专 业 信息与计算科学 指导教师 2017 届学生 毕 业 论 文 材 料（四）湖南城市学院本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业论文作者签名：二一五年五月二十二日 目 录 摘要.1 关键词.1 ABSTRACT.1 KEY WORDS.2 1.解析函数.3 1.1 解析函数的概念.3 1.2函数解析的充要条件.3 2.调和函数.4 2.1 调和函数的定义.4 2.2 共轭调和函数.6 3.调和函数和解析函数之间的关系.6 3.1 从调和函数观点研究解析函数的性质.6 3.1.1 调和函数的性质.6 3.1.2 解析函数的性质.6 3.2 解析函数的等价刻画及应用.8 3.3 由调和函数构造相关解析函数的方法.9 3.4 调和函数与解析函数的关系.12 3.4.1 解析函数与调和函数的关系.12 3.4.2 调和函数与共轭调和函数的关系.12 3.4.3 解析函数与共轭调和函数的关系.12 结论.12 参考文献.13 致谢.13 1 调和函数与解析函数的关系研究 摘 要：解析函数作为复变函数研究的主要对象，与调和函数有着深刻的内在联系.主要论述了解析函数、调和函数的定义；通过引入共轭调和函数的概念，将解析函数和调和函数联系在一起；从调和函数的观点出发，探讨了解析函数的某些性质并由具体实例做其等价刻画；在此基础上通过实际问题介绍了四种由调和函数构造解析函数的方法，分别是偏积分法、线积分法、不定积分法和变量替换法.关键词：解析函数、调和函数、共轭调和函数 Study on the relationship between the Harmonic function and the Analytic function Abstract:As the main object of the Complex Variable Function,Analytic Functions has a profound connection with the Harmonic Functions.it mainly discusses the definition of the Analytic Functions and the Harmonic Functions;by introducing the concept of the Conjugate Harmonic Functions,contact the Analytic Functions with the Harmonic Functions;from the point of view of the Harmonic Functions,discusses some properties of the Analytic Functions,and meanwhile,does its equivalent descriptions by the concrete examples;on the basis of the actual problem introduces four kinds of method of constructing the Harmonic Function by the Analytic Functions,which are the methods of Partial Integration,Liner Integration,Indefinite Integration and Variable Replacement.Keywords:Analytic Functions,Harmonic Functions,Conjugate Harmonic Functions 2 解析函数作为复变函数的主要研究对象，有着许多性质，归纳出解析函数、调和函数及共轭调和函数三者之间的推导关系.1.解析函数 1.1 解析函数的概念 解析函数是复变函数研究中最重要的基础定理，先引入复变函数的导数概念再来讨论解析函数.下面给出导数定义：定义 1.1.1 设函数)(zf在点0z的某邻域内有定义，zz0是邻域内任一点，)()(00zfzzf，如果 zzfzzfzzz)()(limlim0000 存在有限的极限值A，则称)(zf在0z处可导，A记作)(0zf或0zzdzd，即 zzfzzfzfz)()(lim)(0000,或 )()(0zzzf )0(z,也称zzfzdf)()(00或dzzf)(0为)(zf在0z处的微分，故也称)(zf在0z处可微.由定义可知，如果)(zf在0z处可导(或可微)，则)(zf在0z处连续.下面给出解析函数的概念：定义 1.1.2 如果)(zf在0z及0z的邻域内处处可导，则称)(zf在0z处解析；如果)(zf在区域D内每一点解析，则称)(zf在D内解析，或说)(zf是D内的解析函数；如果)(zf在0z处不解析，则称0z为)(zf的奇点.1.2 函数解析的充要条件 一般地，作为解析函数的实部和虚部都是二元函数，而研究他们的特性要 3 基于柯西-黎曼)(RiemannCauchy方程（简称RC 方程），有以下定理：定理 1.2.1 函数),(),()(yxivyxuzf在iyxz处可导的充要条件是),(yxu，),(yxv在点),(yx处可微，而且满足柯西-黎曼)(RiemannCauchy方程（简称RC 方程）：yvxu，xvyu.定理 1.2.2 函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析（即在D内可导）的充要条件是),(yxu和),(yxv在D内处处可微，而且满足RC 方程.推论 函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内有定义，如果在D内),(yxu和),(yxv的四个偏导数xu，yu，xv，yv存在且连续，并且满足RC 方程，则)(zf在D内解析.由上述定义可知函数的解析与可导存在密切联系，而可导又与连续密切相关，其三者之间的关系可由下图清晰表出：)(zf在D内解析 )(zf在D内可导 )(zf在点0z解析)(0Dz )(zf在点0z可导)(0Dz )(zf在点0z连续)(0Dz 2.调和函数 2.1 调和函数的定义 定义 2.1.1 如果二元实函数）（y,x在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯)(Laplace方程 4 02222yx，则称）（y,x为区域D内的调和函数，或说函数）（y,x在区域D内调和.定理 2.1.2 设函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析，则)(zf的实部),(yxu和虚部),(yxv都是区域D内的调和函数.证明：因)(zf在区域D内解析，所以u，v在D内满足RC 方程 yvxu，xvyu.当)(zf解析时u，v有任意阶连续偏导数.在上述二式中分别对y和x求偏导数，得 222yvyxu，222xvxyu.因xyuyxu22，于是 0222222xyuyxuyvxv.这就是说，),(yxv是区域D内的调和函数.同理，),(yxu也是区域D内的调和函数.另证定理 2.1.2 的逆不真.即证：若),(),()(yxivyxuzf的实部),(yxu和虚部),(yxv都是区域D内的调和函数，函数)(zf在区域D内不一定解析.反例：22),(yxyxu，22),(yxyyxv 均为调和函数，但2222)(),(),()(yxyiyxyxivyxuzf不解析.由于 xxu2，yyu2，222)(2yxxyxv，22222)(yxyxyv 而 yvxu，xvyu 即)(zf不满足RC 方程.5 2.2 共轭调和函数的引入 定义 2.2.1 设函数）（y,x及）（y,x均为区域D内的调和函数，且满足RC 方程 yx，xy.则称),(yx是),(yx的共轭调和函数.定理 2.2.2 复变函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析的充分必要条件是在区域D内，)(zf的虚部),(yxv是实部),(yxu的共轭调和函数.3.调和函数与解析函数之间的关系 由上知解析函数的实部和虚部都是调和函数，而给出一个调和函数，如果该函数的定义域是单连通的，则存在一个解析函数以该调和函数为其实部或虚部，所以说解析函数和调和函数有非常密切的联系.3.1 从调和函数观点研究解析函数的性质 调和函数与解析函数的性质有着很多相似之处，比方说它们都有极值原理、villeLiou定理等，现从调和函数的观点来研究解析函数的这两个性质.3.1.1 调和函数的性质 定理 3.1.1.1(极值原理)非常数的调和函数区域D内不能达到极大值和极小值.定理 3.1.1.2 (villeLiou定理)2R上的有界调和函数必要为常数.3.1.2 解析函数的性质 首先给出调和函数和解析函数之间的关系：6 定理 3.1.2.1 设),(),()(yxivyxuzf是区域D内的解析函数，则),(yxu和),(yxv都是D内的调和函数.反之，有 定理 3.1.2.2 设D是单连通的区域，则对D上的任意调和函数),(yxu，必存在调和函数),(yxv，使得),(),()(yxivyxuzf是D内的解析函数函数.下面从调和函数的观点来看解析函数的极值原理和villeLiou定理.定理 3.1.2.3 (极值原理)设)(zf为在区域D内非常数的解析函数，则)(f z在D内无极大值点.证明（方法 1）：设),(),()(yxivyxuzf，则),(yxu和),(yxv都是2R上的调和函数，有 02222u)(f22222vuvuuuvz）（.这说明2)(f z是一个下调和函数，由下调和函数的极值原理知，2)(f z在D内无极大值点，从而)(f z在D内无极大值点.证明（方法 2）：设),(),()(yxivyxuzf，则),(yxu和),(yxv都是2R上的调和函数，因此),(yxu和),(yxv在D内既无极大值也无极小值，从而222u)(fvz在D内无极大值点，所以)(f z在D内无极大值点.定理 3.1.2.4 (villeLiou定理)设)(zf是复平面C有界的解析函数，则)(f z在C内为常数.证明：设),(),()(yxivyxuzf，则),(yxu和),(yxv都是2R上的调和函数，因为)(zf在区域C内有界，所以),(yxu和),(yxv在C内也有界，这样由调和函数的villeLiou定理得出)(f z在C内为常数.注：除了上述两个定理之外，解析函数还有一些性质与调和函数性质是相应的，比如平均值定理等.7 3.2 解析函数的等价刻画及应用 定理 3.2.1 设),(yxu是在单连通区域D内的调和函数存在由下式 cdyxudxyuyxyxyx),(),(00),(v，所确定的函数),(yxv，使ivuzf)(是D内的解析函数.定理 2.2.2 刻画解析函数又一等价条件.由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部（或虚部），由解析函数的任意阶导数仍解析知，任意二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.下面通过具体实例体现解析函数之应用：例 1 证明2xy不能作为解析函数的实部.证明：设2y)u(x,xy，由于2yxu，022xu，xyyu2，xyu222.故当0 x，),(uyx不是调和函数，虽然在直线0 x上满足Laplace方程，但直线不是区域，即在z平面的任一区域，2xy不能作为解析函数的实部.例 2 证明22x),(uyyx，22),(vyxyyx都是调和函数，),(uf(z)yx y)iv(x,不是解析函数.证明：由于 xxu2，222xu，yyu2，222yu.222)(2yxxyxv,)(2222yxyxyv,3123222)(26yxyyxxv,3123222)(26yxyyxyv 从而 02222yuxu，02222yvxv 即),(uyx是z平面上的调和函数，),(vyx是 0C上的调和函数.但yvxu，8 从而在 0C上u与v不满足RC 方程，故v不是u的共轭调和函数，即),(),(uf(z)yxivyx不是解析函数.3.3 由调和函数构造相关解析函数的方法 现通过举例来说明如何由已给调和函数来确定与之相关的解析函数的四种不同的方法：偏积分法、线积分法、不定积分法、变量替换法.为了叙述方便起见，下面仅讨论由已给调和函数来确定以之为实部的解析函数的问题.例 3 已知yxyx233y),(u，证明),(uyx为调和函数并求以之为实部的解析函数)(zf，使得if)0(.解 由yxyx233y),(u，可得 xyxu6，2233xyyu，yxu622，yyu622，于是 02222yuxu，即),(uyx为调和函数.下面我们用四种不同的方法来求以),(uyx为实部的解析函数)(zf.方法 I 偏积分法 一般原理：已知),(uyx为区域CD 内某解析函数)(zf的实部，由RC-条件：yxuv，可得)(),(),(xgyxdyyuyxv 再由yxvu，可得yuxgyxx)(),(.于是 dxyxyuxx),()(g 从而得以）（yx,u为实部的解析函数),(),()(yxivyxuzf.由例 3 得：由xyyxu6v，可得)(3xy6-),(2xgxydyyxv 再由yxvu，可得)(32xgyxv，9 于是22233)(3xyxgy，于是cxdxxx323)(g，因此cxyyxv233x),(，故)()3(3),(),()(32323czicxyxiyxyyxivyxuzf 由if)0(，得1c，由此得所求解析函数为)1()(3 zizf.方法 II 线积分法 一般原理：已知),(uyx为区域CD 内解析函数)(zf的实部，由于),(uyx为调和函数，则02222yuxu.即)()(yxuxyu，由此可知dyxudxy u-必为某一个二元函数v的全微分：dyyvdxxxudxyudvvdy.于是有yxvu，yxuv.从而ivu必为一解析函数，而cdyxudxuyxy),(),x(00yv 其中c为常数，),(00yx为D内某一点.由例 3 得：由yxyx233y),(u，全微分定义及RC-条件可得 dyyvdxxvxydydxxydyxudxydv6)33(u-22 则 cdyxydxxyyx),()0,0(226)33(y)v(x,),()0,(22)0,()0,0(226)33(6)33(yxxxcxydydxxydyxydxxy yxcxyxcxydydxx02302363 后面同方法I.方法 III 不定积分法 一般原理：解析函数的无穷可微性告诉我们，解析函数)(zf的导函数)(zf仍是解析函数,若已知调和函数u,则由导函数公式,可得)(zf的 10 实部xu与虚部)(yu，并且可把)(zf还原成z的函数,即有 )()(zUyuixuzf,于是有 cdzzUzf)()(,其中c为纯虚常数.由例 3 得：由yxyx233y),(u，可得 222223)2(3)33(xy6-)(izyxyixixyiyuixuzf，故cizcdzizzf323)(，再由if)0(，得1c，由此得所求解析函数为)1()(3 zizf.方法 IV 变量替换法 一般原理：由解析函数唯一性定理，可知 （1）在含有实轴一段的区域D内，如果),(),(uyxivyx与)0,(u(z,0)ziv 都解析，则在D内 )0,()0,(u),(),(uzivzyxivyx，iyxz.（2）在含有虚轴一段的区域D内，如果),(),(uyxivyx与),0(u(0,-iz)iziv都解析，则在D内 ),0(),0(u),(),(uizivizyxivyx，iyxz.由例 3 得：由yxyx233y),(u，Ciyxz，可得 20,z223)33(6)(izxyixyyuixuzfyx 或 2y0223)33(6)(izxyixyyuixuzfizx，故 cizcdzizzf323)(，再由if)0(，得1c，由此得所求解析函数为)1()(3 zizf.注意：1.在含有实轴一段的区域D内，或在含有虚轴一段的区域D内.不难看 11 出，方法 IV 给出了方法 III 如何“把)(zf还原成z的函数”的一个简便方法，因此方法IV 是方法III的补充和完善.2从形式上看，方法 IV 是通过变量替换“0,yzx”或“0 x，izy”实现的，但本质上是依据解析函数唯一性定理.而且重要的是此唯一性定理的如下重要推论“一切在实轴上成立的恒等式，在复平面上也成立.只要这个恒等式的等号两边的函数在复平面上都是解析的”.3.4 总结调和函数与解析函数的关系 3.4.1 解析函数与调和函数的关系 由定理 2.1.2 得 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数.3.4.2调和函数与共轭调和函数的关系 由定义 2.1.1得 设函数）（y,x及）（y,x均为区域D内的调和函数，且满足RC 方程 yvxu，xvyu.则称是的共轭调和函数.3.4.3解析函数与共轭调和函数的关系 由定理 2.2.2得 复变函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析的充分 必要条件是在区域D内，)(zf的虚部),(yxv是实部),(yxu的共轭调和函数.结论 通过以上研究可以看出，解析函数与调和函数的关系可以通过复变函数的实部和虚部两个二元函数来刻画，而共轭调和函数的引入，可成为二者的过渡，正是由于这种过渡的存在，才能由调和函数构造出解析函数，其中涉及偏积分法、线积分法、不定积分法、变量替换法四种方法.12 参考文献 1 钟玉泉.复变函数论(第三版)M.北京:高等教育出版社,2003:30-40.2 钟玉泉.复变函数学习指导书M.北京:高等教育出版社,1996:54-112.3 任新安.从调和函数看解析函数的性质J.数学教学研究,2010,29(7):49-58 4 贺 福 利.复 变 函 数 中 由 调 和 函 数 求 解 析 函 数 的 方 法 J.数 学 理 论 与 应 用,2010,30(4):122-128.5 龙波涌.解析函数、共轭解析函数与副调和函数的相互关系J.数学教学研究,2009,28(12):51-53 6 张淑华.用代数学理论研究复变函数中调和函数与解析函数的关系J青岛化工学院学报,1995,16(2):141-143、148 7 何力争.由调和函数求解析函数的一个注记J.科学技术与工程,2010,10(28):6959-6962.8 张燕勤.由调和函数构造解析函数的一种方法J.首都师范大学学报(自然科学版),2009,30(1):1-4 9 李纯红.由已给调和函数确定与之相关的解析函数的多种方法J.乐山师范学院学报,2007,22(5):13-14.10 龚冬宝.复变函数典型题M.西安：西安交通大学出版社,2002:51-52.致 谢 首先我非常感谢我的论文指导老师李俊锋教授，从论文开始初期的选题、开题报告、任务书再到初稿、定稿这一期间，大到论文研究方向、主要研究内容，小到内容排版层次、格式都对我进行了耐心和细致的指导，同时对我的严格要求让我发现并解决论文中存在的难题，直至做好最后的修改完善工作，在整个论文的研究过程中给予我极大的帮助和鼓励，使我的论文能顺利进行并完成任务.李俊锋教授为人的耐心不仅在于此，还表现在其专业知识广博深厚，对待工作的一丝不苟上，这些都让我受益匪浅，无论在学习还是工作 13 上，都将成为我今后努力奋斗的楷模.同时，我要感谢我的同学及学姐学长们，在研究论文的整个过程中，你们不厌其烦的给予我帮助，与我讨论和交流知识，共同解决论文中出现的问题，我的大学，也正是由于你们，才会如此精彩，谢谢！另外，在此我也要感谢在大学期间遇见的所有老师们，感谢你们一直以来对我的关心、照顾和指导，也正是由于你们，我的大学生活才如此顺利，谢谢你们！