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河南省实验中学
2010届高三年级第二次月考
数学试题（理科）

（时间：120分钟，满分150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．i是虚数单位，若，则乘积的值是 （　　）
A．－15 B．3 C．－3 D．15
2．不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数连续，则常数的值是（　 ）
A．2　　 B．3　　 　 C．4　　 　 D．5
4．已知的夹角是 （ ）
A．30° B．45° C．90° D．135°
5．条件的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若奇函数= （ ）
A．0 B．1 C． D．
7．把函数的图象按向量平移后，在处取得最大值，则=（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 （ ）
A． B． C． D．4
9．已知直线与圆交于两点，且（其中O为坐标原点），则实数的值是 （ ）
A． B． C．或 D．或
10．、如图，定点和都在平面内，定点，，是内异于和的动点，且。那么，动点在平面内的轨迹是 （ ）

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点
11．设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 （ ）
A． B． C． D．
12．已知an=（）n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状,
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
…………………………
记A（m,n）表示第m行的第n个数，则A（10,12）= （ ）
A．（）93 B．（）92 C．（）94 D．（）112
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上
13．已知则的值为______。
14．在（x4＋）10的展开式中常数项是______（用数字作答）
15．过点（1，）的直线l将圆（x－2）2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝_____
16．已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，
直线l：y＝kx，下面四个命题：
A．对任意实数k与q，直线l和圆M相切；
B．对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；
C．对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切
D．对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本题10分）（本题12分）

已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，角的对边分别是，且满足 求函数的取值范围

18．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；
（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．

19．（本题12分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。

20．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数的单调递增区间；
（II）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围。

21．（本题12分）
数列的前项和为，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）设等差数列各项均为正数，满足，且
，成等比数列。证明：。

22．（本题12分）
已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

参考答案

一、选择题：
1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．C 10．B 11．B 12．A
二、填空题：
13． 14：45 15． 16．BD
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17．解：（Ⅰ）由………………2分

的单调递增区间为 ………………4分
（Ⅱ）由
得，

，

，
函数的取值范围是． ………………………12分
18．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，
则P（A）=0.5，P（B）＝0.6，P（C）=0.9．
（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P（A·B·）+P（·B·C）+P（A··C）+P（A·B·C）
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75．
（Ⅱ）应聘者用方案二考试通过的概率
p2=P（A·B）+P（B·C）+ P（A·C）
=×（0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9）=×1.29=0.43
19．方法一：
（I）证明：连结OC

在中，由已知可得
而

即

平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，

是直角斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为

在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角
的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量。
又
点E到平面ACD的距离

20．（本小题满分12分）
解：（I）函数的定义域为
…………3分
令的单调递增区间为 …………6分
（II）
设 …………8分
令
当上单调递增，
当上单调递减，
…………11分
因此，若不等式恒成立，则 …………12分
21．解：（1）由 得（2分）
，又也满足上式（4分）
数列是首项为公比为的等比数列
（6分）
（2）由可得，设的公差为且，依题意可得
成等比数列，，
解得或（舍去），（9分）
当时，，

， 原不等式成立（12分）
22．解：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线上。
设则圆半径

由得
解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。
记中点
则
的垂直平分线NG的方程为
令得

点G横坐标的取值范围为
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