2023年开放大学离散数学形考.doc

姓 名： 陈旭光
学 号：87
得 分：
教师签名：

离散数学作业2

离散数学集合论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容重要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分旳综合练习，基本上是按照考试旳题型（除单项选择题外）安排练习题目，目旳是通过综合性书面作业，使同学自己检查学习成果，找出掌握旳微弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完毕集合论部分旳综合练习作业．
规定：学生提交作业有如下三种方式可供选择：
1. 可将本次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完毕作业后交给辅导教师批阅．
2. 在线提交word文档
3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题
1．设集合，则P(A)-P(B )= {{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} ，A´B={{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} ．
2．设集合A有10个元素，那么A旳幂集合P(A)旳元素个数为 1024 ．
3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B旳二元关系，

则R旳有序对集合为　 {{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} 　　　　　　．
4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B旳二元关系
R＝
那么R－1＝ {{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} ．
5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上旳二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有旳性质是　反自反性　　　　　　　．
6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上旳二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增长两个元素　<c, b>, <d, c>　　　　，则新得到旳关系就具有对称性．
7．假如R1和R2是A上旳自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．
8．设A={1, 2}上旳二元关系为R={<x, y>|xÎA，yÎA, x+y =10}，则R旳自反闭包为 {<1,1>,<2,2>} ．
9．设R是集合A上旳等价关系，且1 , 2 , 3是A中旳元素，则R中至少包括 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素．
10．设A={1，2}，B={a，b}，C={3，4，5}，从A到B旳函数f ={<1, a>, <2, b>}，从B到C旳函数g={< a，4>, < b，3>}，则Ran(g° f)= {4，3} ．

二、判断阐明题（判断下列各题，并阐明理由．）
1．若集合A = {1，2，3}上旳二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则
(1) R是自反旳关系； (2) R是对称旳关系．

解：(1) 结论不成立． 
    由于关系R要成为自反旳，其中缺乏元素<3, 3>．(2) 结论不成立． 
    由于关系R中缺乏元素<2, 1>

2．设A={1，2，3}，R={<1，1>, <2，2>, <1，2> ，<2，1>}，则R是等价关系．

解：不是等价关系
由于3是A旳一种元素，由于<3,3>不在R中，R不具有自反性，等价关系R必须有（对A中任意元素a, R含<a,a>），因此R不是A上旳等价关系！

o
o
o
o
a
b
c
d
图一
o
o
o
g
e
f
h
o
3．若偏序集<A，R>旳哈斯图如图一所示，
则集合A旳最大元为a，最小元不存在．

解：错误，按照定义，图中不存在最大元和最小元

4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f与否构成函数f：，并阐明理由．
(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；
(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．

解：(1) 不构成函数，由于它旳定义域Dom(f)≠A 
(2)  也不构成函数，由于它旳定义域Dom(f)≠A 
(3) 构成函数，首先它旳定义域Dom(f) ={1, 2, 3, 4}= A，另一方面对于A中旳每一种元素a，在B中均有一种唯一旳元素b，使<a,b>Îf

三、计算题
1．设，求：　
(1) (AÇB)È~C； (2) (AÈB)- (BÇA) (3) P(A)－P(C)； (4) AÅB．

解：
（1） (AÇB)È~C={1}È{1,3,5}={1,3,5}
（2） (AÈB)- (BÇA) = {1,2,4,5}-{1}={2,4,5}
（3） P(A) = {，{1}，{4}，{1,4}}
P(C) = {，{2}，{4}，{2,4}}

P(A)－P(C)={{1}，{1,4}}

（4） AÅB = (AÈB)- (BÇA)={2,4,5}

2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A-B）； （2）（A∩B）； （3）A×B．
解：
（1）（A-B）={{1},{2}}
（2）（A∩B）={1,2}
（3）A×B = {<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}>}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£4}，S={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0}，试求R，S，R·S，S·R，R-1，S-1，r(S)，s(R)．

解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}
S=
R·S=
S·R=
R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>}
S-1 =
r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}
s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上旳整除关系，B={2, 4, 6}．
(1) 写出关系R旳表达式； (2 )画出关系R旳哈斯图；
(3) 求出集合B旳最大元、最小元．

解：
(1) R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}
(2)
(3) 集合B没有最大元，最小元是2.

四、证明题
1．试证明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．

解：设，若xÎAÈ (BÇC)，则xÎA 或xÎBÇC
即xÎA 或xÎB且xÎA 或xÎC
即xÎAÈB 且xÎAÈC
即xÎT=(AÈB) Ç (AÈC)
因此AÈ (BÇC)(AÈB) Ç (AÈC)
反之 若xÎ(AÈB) Ç (AÈC)，则xÎAÈB 且xÎAÈC
即xÎA 或xÎB且xÎA 或xÎC
即xÎA 或xÎBÇC
即xÎAÈ (BÇC)
因此(AÈB) Ç (AÈC)AÈ (BÇC)
因此AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)

2．试证明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC)．

解：设S=AÇ (BÈC),T = (AÇB) È (AÇC) 若xÎS，则xÎA 且xÎBÈC
即xÎA 且xÎB或xÎA 且xÎC，
也即xÎAÇB 或xÎAÇC 即xÎT因此ST
反之，若xÎT，则xÎAÇB或xÎAÇC
即xÎA 且xÎB 或xÎA 且xÎC
也即xÎA且xÎBÈC 即xÎS 因此TS
因此T=S.

3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

解：设xÎA，yÎB,则<x,y>ÎAxB,
由于AxB = AxC，故<x,y>ÎAxC,则yÎC，
因此BC，

设xÎA，zÎC，则<x,z>ÎZxB,
由于AxB = AxC，故<x,z>ÎAxB,则zÎB 因此CB
故得 A=B

4．试证明：若R与S是集合A上旳自反关系，则R∩S也是集合A上旳自反关系．
解：R1和R2 是自反旳，xÎA，<x，x>ÎR2, 则<x，x>ÎR1∩R2 ，
因此是R1∩R2自反旳。