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数与代数（一）数的认识 整数【正数、0、负数】1、一个物体也没有，用 0 表示。0 和 1、2、3都是自然数。自然数是整数。2、最小的一位数是 1，最小的自然数是 0。3、零上 4 摄氏度记作+4；零下 4 摄氏度记作-4。“+4”读作正四。“-4”读作负四。+4也可以写成 4。4、像+4、19、+8844 这样的数都是正数。像-4、-11、-7、-155 这样的数都是负数。5、0 既不是正数，也不是负数。正数都大于 0，负数都小于 0。6、通常情况下，比海平面高用正数表示，比海平面低用负数表示。7、通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示。8、通常情况下，上车人数用正数表示，下车人数用负数表示。9、通常情况下，收入用正数表示，支出用负数表示。10、通常情况下，上升用正数表示，下降用负数表示。小数【有限小数、无限小数】1、分母是 10、100、1000的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 2、整数和小数都是按照十进制计数法写出的数，个、十、百以及十分之一、百分之一都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是 10。3、每个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按照一定的顺序排列的。4、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。5、根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的“0”，把小数化简。6、比较小数大小的一般方法：先比较整数部分的数，再依次比较小数部分十分位上的数，百分位上的数，千分位上的数，从左往右，如果哪个数位上的数大，这个小数就大。7、把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数，只要在万位或亿位右边点上小数点，再在数的后面添写“万”字或“亿”字。8、求小数近似数的一般方法：（1）先要弄清保留几位小数；（2）根据需要确定看哪一位上的数；（3）用“四舍五入”的方法求得结果。9、整数和小数的数位顺序表：整 数 部 分 小数点 小 数 部 分 亿 级 万 级 个 级 数位 千亿位 百亿位 十亿位 亿 位 千万位 百万位 十万位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 十分位 百分位 千分位 万分位 计数单位 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个（一）十分之一 百分之一 千分之一 万分之一 分数【真分数、假分数】1、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数，是这个分数的分数单位。2、两个数相除，它们的商可以用分数表示。3、从小数和分数的意义可以看出，小数实际上就是分母是 10、100、1000的分数。4、分数可以分为真分数和假分数。5、分子小于分母的分数叫做真分数。真分数小于 1。6、分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于 1。7、分子和分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数。8、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。9、小数的性质和分数的基本性质是一致的，应用分数的基本性质，可以 通分和约分。百分数【税率、利息、折扣、成数】1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫百分率或 百分比，百分数通常用“%”表示。2、分数与百分数比较：3、分数、小数、百分数的互化。（1）把分数化成小数，用分数的分子除以分母。（2）把小数化成分数，先改写成分母是 10、100、1000的分数，再约分。（3）把小数化成百分数，先把小数点向右移动两位，然后添上百分号。（4）把百分数化成小数，先去掉百分号，然后把小数点向左移动两位。（5）把分数化成百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（6）把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。4、熟记常用三数的互化。5、出勤率表示出勤人数占总人数的百分之几。合格率表示合格件数占总件数的百分之几。成活率表示成活棵数占总棵数的百分之几。6、求一个数比另一个数多百分之几，就是求一个数比另一个数多的占另一个数的百分之几。7、多的“1”=多百分之几 少的“1”=少百分之几 8、应得利息是税前利息，实得利息是税后利息。9、利息=本金利率时间 10、应得利息利息税=实得利息 11、几折表示十分之几，表示百分之几十；几几折表示十分之几点几，表示百分之几十几。12、原价折扣=现价 现价原价=折扣 现价折扣=原价 13、几成表示十分之几，表示百分之几十；几成几表示十分之几点几，表示百分之几十几。不同点 相同点 分 数 可以表示具体数量，可以有单位名称 表示两个数之间的关系 百分数 不可以表示具体数量，不可以有单位名称 因数与倍数【素数、合数、奇数、偶数】1、43=12，12 是 4 的倍数，12 也是 3 的倍数，4 和 3 都是 12 的因数。2、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。3、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。4、5 的倍数：个位上的数是 5 或 0。2 的倍数：个位上的数是 2、4、6、8 或 0。2 的倍数都是双数。3 的倍数：各位上数的和一定是 3 的倍数。5、是 2 的倍数的数叫做偶数。不是 2 的倍数的数叫做奇数。6、一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数就叫做素数（或质数）。7、一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。8、在 120 这些数中：（1 既不是素数，也不是合数）奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。偶数：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。素数：2、3、5、7、11、13、17、19。（共 8 个，和为 77。）合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共 11 个，和为 132。）9、最小的奇数是 1，最小的偶数是 0，最小的素数是 2，最小的合数是 4。10、如果两个数是倍数关系，则大数是最小公倍数，小数是最大公因数。11、如果两个数只有公因数 1，则最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。（二）数的运算 计算法则【整数、小数、分数】1、计算整数加、减法要把相同数位对齐，从低位算起。2、计算小数加、减法要把小数点对齐，从低位算起。3、小数乘法：（1）先按整数乘法算出积是多少，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。（2）注意：在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用 0 补足。4、小数除法：（1）商的小数点要和被除数的小数点对齐；（2）有余数时，要在后面添 0，继续往下除；（3）个位不够商 1 时，要在商的整数部分写 0，点上小数点，再继续除。（4）把除数转化成整数时，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位。（5）当被除数的小数位数少于除数的小数位数时，要在被除数的末尾用 0 补足。5、一个小数乘 10、100、1000只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位 6、一个小数除以 10、100、1000只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位 7、分数加、减法：（1）同分母分数相加减，把分子相加减，分母不变。（2）异分母分数相加减，要先通分化成同分母分数，然后再相加减。8、分数大小的比较：（1）同分母分数相比较，分子大的大，分子小的小。（2）异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。9、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。10、甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。四则运算关系 加法 一个加数=和另一个加数 减法 被减数=差+减数 减数=被减数差 乘法 一个因数=积另一个因数 除法 被除数=商除数 除数=被除数商 两个规律 1、除法的商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。2、乘法的积不变规律：如果一个因数乘几，另一个因数则除以几，那么它们的积不变。简便计算 1、运算定律：运算定律 用字母表示 加法交换律 ab=ba 加法结合律（ab）c=a(bc)乘法交换律 ab=ba 乘法结合律（ab）c=a(bc)乘法分配律（ab）c=acbc 减法运算规律 abc=a（bc）除法运算规律 abc=a（bc）2、乘、除法的互化。（小技巧：符号是相反的；两个数相乘得“1”。）（1）A0.1=A10（2）A0.1=A10（7）A0.01=A100；（8）A0.01=A100（3）A0.2=A5（4）A0.2=A5（9）A0.25=A4（10）A0.25=A4（5）A0.5=A2（6）A0.5=A2（11）A0.125=A8（12）A0.125=A8 3、求近似数的方法。（1）四舍五入法。（2）进一法。（3）去尾法。4、积与因数、商与被除数的大小比较：第 2 个因数1,积第 1 个因数；第 2 个因数=1,积=第 1 个因数；第 2 个因数1,积1，商被除数；除数=1，商=被除数；除数被除数；数量关系 单价数量=总价 总价数量=单价 总价单价=数量 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作时间=工作效率 工作总量工作效率=工作时间 速度时间=路程 路程时间=速度 路程速度=时间 速度和相遇时间=路程 路程相遇时间=速度和 路程速度和=相遇时间 （三）式与方程 用字母表示数 1、在一个含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，中间的乘号可以记作“”，也可以省略不写。在省略数字与字母之间的乘号时，要把数字写在字母的前面。2、2a 与 a2意义不同：2a 表示两个 a 相加，a2表示两个 a 相乘。即：2a=aa，a2=aa。3、用字母表示数：（1）用字母表示任意数：如 X=4 a=6（2）用字母表示常见的数量关系：如 s=vt（3）用字母表示运算定律：如ab=ba（4）用字母表示计算公式 方程与等式 1、含有未知数的等式叫做方程。2、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。3、求方程的解的过程，叫做解方程。4、方程和等式的联系与区别：方 程 等 式 联 系 方程一定是等式，等式不一定是方程 区 别 含有未知数 不一定含有未知数 5、等式的基本性质（一）等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，所得结果仍然是等式。6、等式的基本性质（二）等式两边同时乘（或除以）一个不等于零的数，所得结果仍然是等式。7、列方程解应用题的一般步骤：（1）弄清题意，找出未知数并用X 表示。（2）找出应用题中数量间的相等关系，并列出方程。（3）求出方程的解。（4）检验或验算，写出答案。（四）正比例与反比例 比和比例 1、比和比例的联系与区别：比 与 比 例 的 区 别 1、意义不同 比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。2、名称不同 比的名称 两点读作比，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比例的名称 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的的外项，中间的两项叫做比例的内项。3、性质不同 比的性质 比 的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0 除外），比值不变。比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。4、应用不同 应用比的意义 求比值。应用比的性质 化简比。应用比例的意义 判断两个不能否组成比例。应用比例的性质 不但可以判断两个比能否组成比例，还可以解比例。2、比同分数、除法的联系与区别：比 分数 除法 联 系 前项 分子 被除数 比号 分数线 除号 后项 分母 除数 比值 分数值 商 比的基本性质 分数的基本性质 除法的商不变性质 区 别 比表示两个数之间的关系。分数表示一个数。除法表示一种运算。3、求比值与化简比的区别：一 般 方 法 结 果 求比值 根据比值的意义，用前项除以后项。是一个数。可以是整数、小数或分数。化简比 根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘或除以相同的数（零除外）。是一个比。它的前项和后项都是整数，并且是互质数。4、化简比：（1）整数比的化简方法是：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。（2）小数比的化简方法是：先把小数比化成整数比，再按整数比化简方法化简。（3）分数比的化简方法是：用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。5、比例尺：我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。6、比例尺=图上距离实际距离 比例尺=图上距离实际距离 正比例、反比例 1、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。2、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。3、正比例与反比例的区别：正 比 例 反 比 例 相 同 点 都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。不 同 点 商一定 Xyxy=k（一定）积一定 xy=k（一定）空间与图形（一）图形的认识、测量 量的计量 1、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。2、长度单位：（10）1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米 1 米=100 厘米 3、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用的面积单位有：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。4、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长 100 米的正方形土地，面积是 1 公顷。5、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长 1000 米的正方形土地，面积是1 平方千米。6、面积单位：（100）1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=100 平方厘米 7、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。8、体积单位：（1000）1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 升=1000 毫升 9、常用的质量单位有：吨、千克、克。10、质量单位：1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 11、常用的时间单位有：世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。12、时间单位：（60）1 世纪=100 年 1 年=12 个月 1 年=4 个季度 1 个季度=3 个月 1 个月=3 旬 大月=31 天 小月=30 天 平年二月=28 天 闰年二月=29 天 1 天=24 小时 1 小时=60 分 1 分=60 秒 13、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。14、常用计量单位用字母表示：千米：km 米：m 分米：dm 厘米：cm 毫米：mm 吨：t 千克：kg 克：g 升：l 毫升：ml 平面图形【认识、周长、面积】1、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。2、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（）。3、角的分类：小于 90 度的角是锐角；等于 90 度的角是直角；大于 90 度小于 180 度的角是钝角；等于 180 度的角是平角；等于 360 度的角是周角。4、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。5、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。6、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。7、三角形的内角和等于 180 度。8、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。9、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。10、四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。11、圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。12、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。13、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。14、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。15、平面图形的面积计算公式推导：【1】平行四边形面积公式的推导过程？（1）把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。（2）长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。（3）因为：长方形面积=长宽，所以：平行四边形面积=底高。即：S=ah。【2】三角形面积公式的推导过程？（1）用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。（2）平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半 （3）因为：平行四边形面积=底高，所以：三角形面积=底高2。即：S=ah2。【3】梯形面积公式的推导过程？（1）用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（2）平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。（3）因为：平行四边形面积=底高，所以：梯形面积=（上底下底）高2。即：S=（a+b）h2。【4】画图说明圆面积公式的推导过程？（1）把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。（2）长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。（3）因为：长方形面积=长宽，所以：圆面积=r r=r2。即：S=r2。16、平面图形的周长和面积计算公式：长方形周长=（长+宽）2 长方形面积=长宽 正方形周长=边长4 正方形面积=边长边长 平行四边形面积=底高 三角形面积=底高2 梯形面积=（上底下底）高2 C=d C=2r r=d2 r=C2 d=2r d=c S=r2 S=（d2）2 S=（c2）2 17、常用数据：常用 值 常用平方数 2=6.28 3=9.42 4=12.56 5=15.70 6=18.84 7=21.98 8=25.12 9=28.26 10=31.4 12=37.68 15=47.1 16=50.24 18=56.52 20=62.8 25=78.5 32=100.48 2.25 =7.065 6.25 =19.625 112=121 122=144 152=225 252=625 立体图形【认识、表面积、体积】1、长方体、正方体都有 6 个面，12 条棱，8 个顶点。正方体是特殊的长方体。2、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。3、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。4、表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。5、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫容器的容积。6、圆柱和圆锥三种关系：（1）等底等高：体积 13（2）等底等体积：高 13（3）等高等体积：底面积 13 7、等底等高的圆柱和圆锥：（1）圆锥体积是等底等高的圆柱的 1/3，（2）圆柱体积是等底等高的圆锥的 3 倍，（3）圆锥体积比等底等高的圆柱少 1/3，（4）圆柱体积比等底等高的圆锥多 2 倍。8、等底等高的圆柱和圆锥：锥 1、差 2、柱 3、和 4。9、立体图形公式推导：【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程）高 底面周长 （1）圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。（2）长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。（3）因为：长方形面积=长宽，所以：圆柱侧面积=底面周长高。（4）圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？（1）把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。（2）长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。（3）因为：长方体体积=底面积高，所以：圆柱体积=底面积高。即：V=Sh。【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？（1）找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。（2）将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。（3）通过实验发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=Sh。10、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式：长方体棱长总和=（长宽高）4 长方体表面积=（长宽长高宽高）2 长方体体积=长宽高 正方体棱长总和=棱长12 正方体表面积=棱长棱长6 正方体体积=棱长棱长棱长 圆柱侧面积=底面周长高 圆柱表面积=侧面积底面积2 圆柱体积=底面积高 圆锥体积：V=Sh3 （二）图形与变换 1、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。2、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。3、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。（三）图形与位置 1、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、后来描述具体位置。2、当我们面对地图、方位图时，通常用 东、西、南、北，南偏东、北偏东来描述方向。再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。统计与可能性（一）统计 1、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。2、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。3、条形统计图的特点：从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。4、折线统计图的特点：不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。5、扇形统计图的特点：表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的关系。6、中位数、众数、平均数 名称 意义 计算方法 中位数 一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。中间的一个数或中间两个数的和2 众数 一组数中出现次数最多的数。出现次数最多的数 平均数 反映一组数的总体水平的数据。平均数=总数份数 （二）可能性 1、事件状态 生活情景 数学情景 一定会发生 太阳从东方升起 从 5 个红球中摸出一个红球 一定不会发生 鸭子会讲话 从 5 个红球中摸出一个白球 可能发生 今天会下雨 从 5 个红球，1 个白球中摸出一个白球 2、在可能性相同的情况下，比赛游戏规则是公平的。