1、综合练习：导弹追踪问题综合练习：导弹追踪问题 某导弹基地发觉正北方向 120km处 海面上有敌舰一艘以 90km/h速度向正东方向行驶。该导弹基地马上发射一枚导弹跟踪追击敌舰，导弹速度为 450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌舰。试问导弹在何时何处击中敌舰？第1页第2页一、数学模型一、数学模型 如图建立坐标系，取导弹基地为原点O(0,0)，x轴指向正东方，y轴指向正北方。当t=0时，导弹位于点O，敌舰位于点A(0,H)，其中H=120km。设导弹在t时刻位置为P(x(t),y(t)，由题意 (1)其中v1=450km/h。第3页 在t时刻，敌舰位于M(v2t,H)处，其中v2=
2、90km/h。因为导弹轨迹切线方向必须指向敌舰，即直线PM方向就是导弹轨迹上点P切线方向，故有 或 (2)方程(1),(2)连同初值条件 (3)组成了一个关于时间变量t一阶常微分方程组初值问题。第4页 为了取得x与y关系，要设法消去变量t，由(2)式得两边对t求导得即第5页 将上式与(1)合并，再加上初值条件，则得以下初值问题 这就是导弹轨迹数学模型。第6页二、模型求解二、模型求解1.解析方法解析方法 模型中二阶方程能够降阶。令 ，则方程可降为一阶可分离变量方程即 第7页易得由初值条件 ，得 ，从而注意到上式可改写为于是有 第8页 这么我们又得到一个可分离变量方程积分得 利用 ，得 ，从而导弹
3、轨迹方程为 第9页 设导弹击中敌舰于B(L,H)，以y=H代入上式，得击中敌舰时刻为 代入详细数据得 。第10页2.数值方法数值方法 能够用数值分析中介绍Euler公式、改进Euler公式和四阶Runge-Kutta公式来求解上述初值问题。第11页 下面介绍两种解常微分方程Euler方法和改进Euler方法方法。(1)Euler方法方法 将 在 上积分，得用数值方法求上述积分。第12页第13页 ，得 ，称之为Euler公式。，得 称之为后退Euler公式。，得称之为梯形公式。第14页(2)改进改进Euler方法方法 Euler公式计算简便，但精度差，梯形公式为隐式，计算较复杂，但精度较高，可将
4、二者结合。称为改进Euler公式，上式也可写为第15页第16页 例例 用Euler公式和改进Euler公式求解初值问题此问题准确解为 。Euler公式：第17页改进Euler公式：第18页Euler方法计算结果第19页改进Euler方法计算结果第20页 下面用Euler公式和改进Euler公式求解本问题。由(1)(2)两式得，第21页 取时间步长 ，时导弹轨迹上点坐标为 ，则Euler格式为第22页 当计算到 时停顿，故或 ，。第23页 改进Euler格式为第24页第25页(3)仿真方法（模型检验）仿真方法（模型检验）假如建立微分方程很困难，或者微分方程很复杂而难以作出数值处理，经常能够用仿真
5、方法，即模仿真实事件行为和过程方法。在本问题中，就是在计算机上经过对应程序和软件来一步步地模拟导弹追踪敌舰实际过程。第26页第27页 设导弹和敌舰在初始时刻分别位于 和 ，此时,导弹指向 。在 时，导弹位置为 ，其中 ，敌舰位置为 。这时导弹沿 方向飞行，倾角为在 时，导弹位置为 ，其中第28页此时敌舰位置为 ，导弹沿 方向飞行。第29页 普通地，时，导弹位置为 ,敌舰位置为 ，导弹沿 方向飞行，倾角为从而 时，导弹位置为 ,敌舰位置为 ，其中 第30页 当 时，仿真停顿，取 。第31页 假如发射导弹时，敌舰马上由仪器觉察。假定敌舰为一高速快艇，它即刻以 135 km/h 速度与导弹方向成一夹
6、角逃逸，问导弹何时何地击中敌舰？依据计算结果，你能否指出敌舰与导弹方向成何夹角逃逸才好？提醒：可假设导弹与敌舰相距足够近时敌舰即被击中。第32页 设逃逸方向与导弹速度方向夹角为,如图建立坐标系。考虑到舰艇体积，我们认为当导弹坐标点与舰艇坐标点距离小于一米时击中舰艇。导弹坐标为 ，舰艇坐标为 。在 时，第33页 在 时，。导弹位置为 ，其中第34页此时敌舰位置为 ，导弹沿 飞行。普通地，时，导弹位置为敌舰位置为 ，导弹沿 方向飞行，倾角为从而 时，导弹位置为 ,敌舰位置为 ，其中 第35页其中当 时，仿真停顿，取第36页油罐标尺刻度设计油罐标尺刻度设计 在石油生产地和加工厂，为了储存原油，经常使
7、用大量储油罐。油罐外形为一个圆柱体和两个圆锥体组合，上端有一注油孔。因为经常注油和取油，有时极难知道油罐中剩油数量。这给现有储油量统计带来很大麻烦。显然，将剩油取出讲师是不现实。所以，希望能设计一个精细标尺：工人只需将标尺垂第37页直插入使尺端到油罐最底部，就能够依据标尺上油痕位置刻度获知剩油量多少。这是一个来自油田实际问题。第38页第39页 设圆柱底面半径为R，长度为L，圆锥底面半径也为R，高为A。若标尺被油浸湿高度为H，而此时罐内油量为V，则问题归结为求函数其中即要求油量函数第40页反函数。因为对称性，只需研究 情形即可。第41页第42页1.求油量函数解析方法求油量函数解析方法 记 其中Vc(H)和Vb(H)分别为对应圆柱和圆锥(一侧部分)中储油量。先求 Vc(H)。设圆柱体截面中储油部分对应弓形区域面积为S(H)，弓形对应圆心角二分之一为 ，则第43页利用 三角函数表示式，有从而 第44页 再求Vb(H)。设与圆锥体底面平行且距底面x处截面上表示储油部分弓形区域面积为Q，那么和前面S不一样是:Q不但与H相关，而且与x 相关。设该弓形半径为r，高为h，则由几何关系不难看出：从而 ，。第45页 类似于S求法，有作变换 即得第46页 第47页综上，第48页
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