激光束传输与变换.pptx

l l思考题：当一束在空气中传播的平面光波经焦距为f的透镜聚焦后在相距透镜为L1的距离处通过一个长度为L2、折射率为n2的介质时，试确定光束焦点位置？第二部分 高斯光束第一章 高斯光束第二章 高斯光束的衍射第三章 高斯光束的传输与变换第四章 光束整形与激光组束第一章 高斯光束 本章以光的电磁理论为基础,导出有关高斯光束的几种形式:基模高斯光束 高阶模高斯光束 椭圆高斯光束 偏心高斯光束 矢量高斯光束并讨论它们的场分布特点以及传输规律。本讲的主要内容1.1 电磁场的运动方程1.2 平面电磁波1.3 球面波和任意简谐波1.1 电磁场的运动方程 光的经典电磁理论：已达到了相当完善的地步 解释了许多重要的光学现象 诸如光的反射和折射、光的干涉、衍射、偏振、光的双折射等现象诸如光的反射和折射、光的干涉、衍射、偏振、光的双折射等现象.一些光学分支的经典理论基础 如激光、傅里叶光学、集成光学、非线性光学等学科如激光、傅里叶光学、集成光学、非线性光学等学科.不足:不能解释如原子光谱、黑体辐射、光电效应等光学现象。不能解释如原子光谱、黑体辐射、光电效应等光学现象。研究高斯光束的理论基础:经典电磁理论比较简单、直观。并把高斯光束与经典电磁理论比较简单、直观。并把高斯光束与平面波及球面波相对照、相比较。平面波及球面波相对照、相比较。本节内容麦克斯韦方程组物质方程边值关系能量密度和能流密度波动方程1.麦克斯韦方程组 在有介质存在的普遍情况下：式中式中:E E E E电场强度矢量电场强度矢量 D D D D电位移矢量电位移矢量 H HH H磁场强度矢量磁场强度矢量 B B B B磁感应强度矢量磁感应强度矢量 自由电荷密度自由电荷密度 j j j j自由电荷的电流密度自由电荷的电流密度该方程组对于物理性质连续的空间各点都成立。该方程组对于物理性质连续的空间各点都成立。(1.1.1)2.物质方程 物质方程是介质在电磁场的作用下发生传导、极化和磁化现象的数学描述。最简单的是静止或缓慢运动状态的各向同性介质，在弱场作用的情况下，物质方程取如下形式:2.物质方程式中 电导率 介电常数 磁导率 一般在光频情况下，各种介质的磁导率都近似地等于真空的磁导率0。(1.1.2)3.边值关系 确定场在两种媒质交界面上的分布 微分形式已不在适用 麦克斯韦方程组的积分形式在极限的情况下可以得到：3.边值关系式中:n n界面法线方向上的单位矢量，方向从介质1指向介质2,f界面上自由电荷密度(1.1.3)3.边值关系 第一式说明：电位移矢量在界面 法线方向上有跃变。第二式说明：磁感应强度在界面法线方向是连续的。3.边值关系 第三式说明：电场的切线分量在界面两侧是连续的。第四式说明：磁场的切线分量在界面两侧是连续的（只有在没有面电流的条件下才成立，一般均能满足这个条件）以上四式统称为边值条件，它们也适用于真空与介质的交界面。4.能量密度和能流密度 由麦克斯韦方程组(1.1.1)的第二式和第四式可得 在满足物质方程(1.1.2)的情况下，有(1.1.6)(1.1.7)4.能量密度和能流密度 电磁场的能量密度为 电磁场的能流密度（也叫坡印廷矢量）为(1.1.8)(1.1.9)4.能量密度和能流密度 由(1.1.6)(1.1.9)式可获得能量守恒的微分形式 在绝缘介质(=0)的情况下 反映能量守恒的(1.1.6)式是直接从麦克斯韦方程组导出的，无论物质方程(1.1.2)是否成立，它总是正确的。(1.1.10)(1.1.11)5.波动方程 在各向同性的均匀介质中，介电常数和磁导率是与时间和空间位置无关的常数。由麦克斯韦方程组(1.1.1)可得到E E和H H分别满足微分方程(1.1.13)5.波动方程 只要给定了电荷密度和电流密度j j的空间分布以及它们随时间的变化,就可通过这组方程求出电场E E和磁场H H的运动行态。5.波动方程 在绝缘介质中，波动方程有最简单的形式 这组方程是我们下面讨论各种电磁波，包括平面波、球面波、以及高斯光束的基本出发点。(1.1.15)1.2 平面电磁波 平面电磁波的一般特性：波的表达式、波矢、相速、以及偏振特性等。本节内容单色平面波等相面和相速平面波的偏振态光强1.单色平面波 可以证明方程(1.1.15)的一组特解为：(1.2.1)式满足波动方程的必要条件是(1.2.1)(1.2.6)1.单色平面波上式还可以写成k是波矢的大小，p称为相速(p=c/n),可以证明：(1.2.7)(1.2.8)1.单色平面波 根据(1.2.7)式，考虑到电场、磁场、波矢的正交性，（1.2.8）式中的第一式可以写成 电磁波的电场和磁场不是孤立存在的.(1.2.9)2.等相面和相速 在时间不变时，相位因子等于某个常数的点在空间构成一个曲面，这个曲面叫等相面(波阵面)。波在传播过程中最前边的等相面叫波前。2.等相面和相速 (1.2.1)式所表示的平面波，它的等相面方程为式中 是一个常数。这是一个以k k为法线,到原点距离等于(t+0-)/|k k|的平面方程。(1.2.10)2.等相面和相速 把等相面方程(1.2.10)对时间t微商，如果沿着k k方向r r的增量为drk,则可以得到等相面沿法线方向的传播速度 p正是(1.2.7)式中的相速。(1.2.11)3.平面波的偏振态 假设平面波沿z轴方向传播，无论电场还是磁场都与传播方向z轴垂直，即E E和H H在在x-y平面中。在一个平面中的矢量总可以用两个独立的分量来表示，则沿z轴方向传播的波可表示为:(1.2.15)3.平面波的偏振态 电场的轨迹方程：式中=2-1。(1.2.16)3.平面波的偏振态 在x-y平面上(1.2.16)式所表示的电场的轨迹是一个椭圆，称为椭圆偏振光。当Ex0 =Ey0,=(m+1/2)（m是整数），(1.2.16)式所表征的曲线变成一个圆，称为圆偏振光；当Ex0 =Ey0,=m(m是整数)，(1.2.16)式所表征的曲线退化成一条直线，称为线偏振光。4.光强 利用平面波电场与磁场的关系(1.2.9)，能量密度表达式(1.1.8)可变成 能流密度表达式(1.1.9)可变成 平均能量密度为(1.2.21)(1.2.18)(1.2.17)4.光强 平均能流密度为式中c是真空中的光速，n是介质的折射率，t是介质中光速。(1.2.24)4.光强 在各向同性介质中，光速t与相速p是相同的。在各向异性介质中，一般情况下，无论是方向还是大小，光速都与相速不同。这时，光速定义为平均能流密度与平均能量密度之比。在光学上常把平均能流密度的大小叫做光强。4.光强 在只考虑光的相对强弱时，光强可以写成因此，电场与其复共轭的乘积就可以表示光强，而不必再去积分求平均值。(1.2.25)1.3 球面波和任意简谐波 为了简单，本节只讨论球面标量波和任意简谐标量波。在空间不存在电荷和电流的情况下，电场和磁场的任意一个分量都可以从方程(1.1.15)导出，满足波动方程：式中E是电场的一个直角坐标分量。(1.3.1)本节内容球面波任意简谐波波包和群速程函方程与光线方程1.球面波 首先把波动方程(1.3.1)中的拉普拉斯算符2用球坐标系的变量来表示。假设我们研究的场是点波源发出的，则这样的场在空间的分布对于角及角都是对称的。这时波动方程(1.3.1)可以写成 (1.3.3)1.球面波l l设U(r,t)=rE(r,t),代入(1.3.3)式，结果有l l该方程的一个特解为(1.3.4)(1.3.5)1.球面波 满足该特解的必要条件是 从(1.3.5)式可得到电场为 该式表示波源位于坐标原点，向外发散的球面波。(1.3.6)(1.3.7)1.球面波 等相面方程为 是一个常数，当t 不变时，上式表示一个半径为r=(t+0-)/k的球面。(1.3.8)1.球面波 方程(1.3.3)的另一个特解为 它表示一个向原点收敛的球面波。(1.3.9)1.球面波 球面波的相速可从等相面方程(1.3.8)对时间的微商获得 该式表明，在各向同性的介质中，球面波的相速与平面波的相速大小相等。(1.3.10)2.任意简谐波 对于一个圆频率为的标量时间简谐波可认为是波动方程的一个特解。其形式为式中A(r r)是振幅，g(r r)是r r的标量函数。(1.3.11)(1.3.12)2.任意简谐波 一般来说，(1.3.12)式所表征的波其等相面和等振幅面是不一致的，这将导致在同一个等相面上各点的振幅不同。因此，称这种波为非均匀波。非均匀波的等相面方程为 式中为常数。(1.3.13)2.任意简谐波 等相面沿其法线的传播速度为 任意简谐波的空间部分和时间部分可以分开写成式中U是空间变量的标量函数。(1.3.15)(1.3.16)2.任意简谐波l l 将上式代入波动方程(1.3.11)，可得到U所满足的赫姆霍兹方程(1.3.17)2.任意简谐波 这个方程与波动方程是等价的。对于空间变量和时间变量可分离的函数，其空间部分应满足这个方程。这个方程是我们后面讨论各种形式高斯光束的出发点。3.波包和群速 任何一个波E(r r,t)都可以看成是不同频率的单色波的叠加 式中a是相应于频率为的单色波的振幅。（1.3.18)3.波包和群速 考虑两个平面单色波的叠加，假设它们都沿z轴方向传播，振幅相同，频率和波数略有不同，则它们的叠加为式中（1.3.20）(1.3.21)3.波包和群速 (1.3.20)式可以看成是频率为、波数为k、沿z轴方向传播的平面波。然而这个波的振幅不是常量，而是随时间t和位置z在0到2a之间变化，产生拍现象。振幅函数好象是一个调制波。3.波包和群速3.波包和群速 各等振幅面的传播速度群速度为 在更普遍的情况下，考虑一个由许多沿z方向传播的单色波叠加组成的一维波群(1.3.22)(1.3.23)3.波包和群速 如果这些单色波的振幅在 -(/2)+(/2)内显著不为零，则(1.3.23)式可写成其中(1.3.24)(1.3.25)3.波包和群速 为了计算方便，假设傅里叶振幅为一个常数a=a，则(1.3.25)式的积分结果为 (1.3.27)3.波包和群速l l振幅最大的条件为:l l 群速度可选定为振幅最大值的等值面的传播速度。从(1.3.28)式求得(1.3.28)(1.3.29)3.波包和群速 群速和相速的关系为 式中是波长。所有各量都是对平均频率（或平均波数k）来说的。(1.3.30)4.程函方程与光线方程 在各向同性介质中，简谐电磁波的表达式为 式中：式中：E E E E0 0(r r r r)电场的振幅电场的振幅,H HH H0 0(r r r r)-)-磁场的振幅。磁场的振幅。k k0 0 真空中的波数。真空中的波数。(r r r r)空间标量函数，称为程函数。它对应几空间标量函数，称为程函数。它对应几 何光学中的光程。何光学中的光程。(1.3.31)4.程函方程与光线方程 把(1.3.31)式代入麦克斯韦方程组(1.1.1)的第二式和第四式(当电流j j=0时)，可获得程函方程 它是光线理论的一个基本方程。(1.3.36)4.程函方程与光线方程 如果r r是一条光线上某个代表点的位置矢量，s是从它上面某固定点量起的光线长度，则有(1.3.38)4.程函方程与光线方程l l矢量形式的光线微分方程(1.3.39)4.程函方程与光线方程l l例如，在均匀介质中，n是常数，则光线方程变为其解为 a a和b b是常矢量。上式是一个矢量直线方程。因此，在均匀介质中，光线是直线。(1.3.40)(1.3.41)本讲结束麦克斯韦方程组(1.1.1)平面波电场与磁场的关系(1.2.9)绝缘介质中的波动方程(1.1.15)平面单色波(1.2.1)波数与相速(1.2.7)能量密度与能流密度(1.1.8)(1.1.9)