2023年全国理科数学真题.doc

全国卷Ⅰ
理科数学

一.选择题：
[ 全国Ⅰ理1]设z=，则|z|=( )
A.0 B. C.1 D.

[ 全国Ⅰ理2]已知集合A={x|x2-x-2>0}，则CRA=( )
A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

[ 全国Ⅰ理3]某地区通过一年新农村建设，农村经济收入增长了一倍，实现翻倍为愈加好地理解该地区农村经济收入变化状况，记录了该地区新农村建设前后农村经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不对的是( )
A.新农村建设后，种植收入减少。
B.新农村建设后，其他收入增长了一倍以上。
C.新农村建设后，养殖收入增长了一倍。
D.新农村建设后，养殖收入和第三产业收入总和超过了经济收入二分之一。

[ 全国Ⅰ理4]记Sn为等差数列{an}前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12

[ 全国Ⅰ理5]设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处切线方程为：( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x

[ 全国Ⅰ理6]在ABC中，AD为BC边上中线，E为AD中点，则=( )
A. - B. -
C. + D. +

[ 全国Ⅰ理7]某圆柱高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上点M在正视图上对应点为A，圆柱表面上点N在左视图上对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N途径中，最短途径长度为( )
A.
B.
C.3
D.2

[ 全国Ⅰ理8]设抛物线C：y²=4x焦点为F，过点(-2，0)且斜率为直线和C交于M，N两点，则·=( )
A.5 B.6 C.7 D.8

[ 全国Ⅰ理9]已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a取值范围是( )
A.[-1，0) B.[0，+∞) C.[-1，+∞) D.[1，+∞)

[ 全国Ⅰ理10]下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆直径分别为直角三角形ABC斜边BC，直角边AB，AC. △ABC三边所围成区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其他部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3

[ 全国Ⅰ理11]已知双曲线C： -y²=1，O为坐标原点，F为C右焦点，过F直线和C两条渐近线交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( )
A. B.3 C. D.4

[ 全国Ⅰ理12]已知正方体棱长为1，每条棱所在直线和平面α所成角所有相等，则α截此正方体所得截面面积最大值为( )
A. B. C. D.

二.填空题：
[ 全国Ⅰ理13]若x，y满足约束条件则z=3x+2y最大值为 .

[ 全国Ⅰ理14]记Sn为数列｛an｝前n项和.若Sn=2an+1，则S6= .

[ 全国Ⅰ理15]从2位女生，4位男生中选3人参与科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同样选法共有 种.(用数字填写答案)

[ 全国Ⅰ理16]已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)最小值是 .

三.解答题
(一)必考题：共60分。
[ 全国Ⅰ理17]
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC=，求BC.

[ 全国Ⅰ理18]
图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点C抵达点P位置，且PF⊥BP.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP和平面ABFD所成角正弦值.

[ 全国Ⅰ理19]
设椭圆C： +y²=1右焦点为F，过F直线l和C交于A，B两点，
点M坐标为(2，0).
(1)当l和x轴垂直时，求直线AM方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

[ 全国Ⅰ理20]
某工厂某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付顾客之前要对产品作检查，如检查出不合格品，则更换为合格品，检查时，先从这箱产品中任取20件产品作检查，再根据检查成果决定与否对余下所有产品做检查，设每件产品为不合格品概率所有为P(0<P<1)，且各件产品与否为不合格品互相独立。
(1)记20件产品中恰有2件不合格品概率为f(P)，求f(P)最大值点。
(2)现对一箱产品检查了20件，成果恰有2件不合格品，以(1)中确定作为P值，已知每件产品检查费用为2元，若有不合格品进入顾客手中，则工厂要对每件不合格品支付25元赔偿费用。
(i)若不对该箱余下产品作检查，这一箱产品检查费用和赔偿费用和记为X，求EX：
(ii)以检查费用和赔偿费用和期望值为决策根据，与否该对这箱余下所有产品作检查？

[ 全国Ⅰ理21]
已知函数.
(1)讨论单调性；
(2)若存在两个极值点x1 ,x2 ,证明： .

(二)选考题：
[ 全国Ⅰ理22] [选修4-4：坐标系和参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C₁方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂极坐标方程为p²+2p-3=0.
(1)求C₂直角坐标方程:
(2)若C₁和C₂有且仅有三个公共点，求C₁方程.

[ 全国Ⅰ理23] [选修4-5：不等式选讲]
已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣.
(1)当a=1时， 求不等式f(x)﹥1解集；
(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)﹥x成立，求a取值范围.