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类比探究专题
例1 如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，CD>BC，点C，B，D在同一直线上，M是AE的中点，易证MD⊥MB，MD=MB．
（1）如图2，将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转45°，使△CDE的斜边CE恰好与△ABC的边BC垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？
（2）将图2中的△ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．

例2 如图1，在中，，，在边上。为等边三角形，连接，为中点，连。
⑴请直接写出的关系，不必说明理由；
⑵若将图1中的绕点顺时针旋转，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。
⑶将图中的绕点顺时针旋转（0°＜＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立？并说明理由。

例3 （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．
（2）类比探究：
如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

图1 图2
例4 已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线分别相交于点．
（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

图1 图2 备用图 备用图

例5 在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB＝AC时（如图1），
①∠EBF＝_______°；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．

图1 图2

例6 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系．
（1）如图2，当m=1，n=1时，求EF与EG的数量关系．
（2）如图3，当m=1，n为任意实数时，求EF与EG的数量关系．
（3）如图1，当m，n均为任意实数时，求EF与EG的数量关系．

例7 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．
（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
（2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．

例8 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．
（1）求证：；
（2）如图2，当为边中点，时，求的值；
（3）如图3，当为边中点，时，请直接写出的值．

例9 如图1，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，可以证明：
①DC=BC；②AC = AB+AD．
（1）如图2，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，证明结论①和结论②仍然成立．
（2）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把题干中的条件
“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请说明理由．

例10 如图，在等边三角形ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．
（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图1，求证：CF+BE=CD．（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M）
（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图2；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图3，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明．
（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，，则BE=_________，CD=________．

例11已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；
②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

图1 图2 图3

例12（1）阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC 、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

图1 图2 图3

例13 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．例如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；

（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

图1 图2

阅读下列材料：
问题：如图1，在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且，试判断AB＋CD与AD之间的大小关系。
小雪同学的思路是：作B点关于AM的对称点E，连接AE、ME、DE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。
请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：
⑴写出上面问题中AB＋CD与AD之间的大小关系；

⑵如图2，若将的度数改为120°，原问题中的其他条件不变，
证明：；

⑶如图3，若，，求AD的最大值。

解决类比探究问题的处理思路
1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．
类比探究常见结构：

① 中点结构 常考虑平行夹中点
② 旋转结构 特征：等线段共点
③ 平行结构 作平行，造相似
④ 直角结构 “斜直角放正”
2. 若不属于常见结构类型：
① 根据题干条件，结合分支条件先解决第一问．
② 类比解决下一问．
如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．
③ 结合所求目标，依据不变特征，大胆猜测、尝试、验证．

借助上面填写的内容，做下面的小题
【试题1】如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，CD>BC，点C，B，D在同一直线上，M是AE的中点，易证MD⊥MB，MD=MB．
（1）如图2，将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转45°，使△CDE的斜边CE恰好与△ABC的边BC垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？
（2）将图2中的△ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．

首先需要证明图1中的结论．
由M是AE的中点，AB∥DE，发现有 平行夹中点 结构，

延长BM，交DE于点N，可以得到△ABM≌△ENM，
进而得到BM=MN，AB=BC=EN，
∴DN=DB，
∴△DBN是等腰直角三角形，
∴MD⊥MB，MD=MB．

（1）图1和图2中没有发生变化的是 M是AE的中点，AB∥DE， ．
分析AB∥CE，补全“平行夹中点”的结构，照搬图1中的证明思路．
延长BM，交CE于点N，连接BD，DN，能够得到 △ABM≌△ENM ，进而得到BM=MN；进一步证明△BCD≌△NED，可以得到△DBN是等腰直角三角形，得到结论MD⊥MB，MD=MB．
（2）图2和图3两个等腰直角三角形没有变化，M是AE的中点也没有发生变化，所以可以照搬（1）中的证明思路．

第一步构造“平行夹中点”的辅助线，过点E作AB的平行线，交BM的延长线于点N，连接BD，DN；
第二步证明 △ABM≌△ENM ；
第三步证明 △DBN是等腰直角三角形 ，过程中需要证明∠BCD=∠NED，请在图中给出简要证明；
第四步根据△DBN是等腰直角三角形，得到结论MD⊥MB，MD=MB．

【试题2】如图1，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，可以证明①DC=BC；②AC = AB+AD．
（1）如图2，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，证明结论①和结论②仍然成立．
（2）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把题干中的条件
“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请说明理由．

1. 弄清题干中结论是如何证明的，主要利用的特征为角平分线，以及含有30°角的直角三角形．
角平分线的性质得到DC=BC结论①成立，利用含30°角的直角三角形中 证明结论②成立．
2. 第二问与第一问相比，垂直、直角三角形特征已经变化，但_∠MAN=120°，AC平分∠MAN没有发生变化，属于不变特征，考虑角平分线的性质，构造与图1一致的三角形，添加辅助线___________________________________．

证明的路线图为
第一步：辅助线．
第二步：由题干可知AC和AE，AF的关系是_____________．
第三步：△CED≌____________（条件是______），得到ED=FB，CD=CB．
第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+AB，结论①②均成立．
3. 不变特征_________________________，没有发生变化，照搬上一问的证明思路．

第一步：辅助线，____________________________________．
第二步：由题干可知AC=AE+AF．
第三步：___________________________________________．
第四步：结论①成立，结论②变为_______________．
【试题11】在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠

BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．
（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
（2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．

方法一：首先梳理易证的思路，“斜直角放正”，过点D作DF⊥MN交线段AB于点F；
发现等线段共点，考虑“旋转结构”，可得△DFB≌△DAP，所以BD=DP；
梳理路线图：
过D作DF⊥MN交线段AB于点F
△DFB≌△DAP(ASA) BD=DP

（1）类比易证的思路解决第一问．
分析不变特征，直角、AB=AC和平行特征均不变，变化的是点D和P的位置，照搬易证的思路，点F交到AB的延长线上，结论仍然成立．

（2）照搬思路解决第二问．
分析不变特征，直角、AB=AC和平行特征均不变，变化的是点D和P的位置，照搬易证的思路，点F交到BA的延长线上，结论仍然成立．

方法二：利用“等角对等边”来证，只需∠DPB=45°；第一问和第二问类比易证的思路即可．

梳理路线图：
△DGB∽△AGP AG:DG=PG:BG
△ADG∽△PBG
∠DPB=∠DAB=45°
∴BD=DP

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