2022年专升本高数解题方法与技巧.doc

2022年专升本高数解题方法与技巧汇总
共包含5类内容：
1. 不等式的方法与技巧
2. 定积分及重积分的方法与技巧
3. 极值的方法与技巧
4. 曲线、曲面积分的方法与技巧
5. 中值定理的应用方法与技巧

1.不等式的方法与技巧

不等式是高等数学中的一个重要工具。运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
一、 几个重要的不等式
1．平均值不等式
设非负，令（当r<0且至少有一时，令），，，，称是r次幂平均值，A是算数平均值，H是调和平均值，G是几何平均值，则有，等式成立的充要条件是；一般的，如果s>0，t<0，则有，等式成立的充要条件是。
2．赫尔德（Holder）不等式
设，且，则
，
等式成立的充要条件是。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式
设为实数，则。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式
设，则
，
等式成立的充要条件是。
5．贝努里（Bernoulli）不等式
设x>-1，那么当0<a<1时，有，当a<0或a>1时，有，等式成立的充要条件是x=0。
6．有关e的不等式
（1），
（2），
（3）
二、证明不等式的方法
1．利用求导法证明不等式
（1）利用单调性
例. 求证当时，。
证明：令，则f在上连续，
且，令，
则当时，，
因此h在上严格递减，又因为h(0)=0，故对任意，有h(x)<0，由此即知对任意，有，故f在上严格递减，故对任意，有，即，证毕。
（2）利用最值
例. 设，且，则，且等式成立当且仅当a=b。
证明：令，则，
由此即知，，当0<x<1时，，当x>1时，，
因此，
故当x>0时，（*），且等式成立当且仅当x=1。
令，代入(*)式即可得，且等式成立当且仅当x=1,即a=b。证毕。
（3）利用中值定理
例. 设f在[0，c]上可导，且导函数单调下降，又f(0)=0，试证当时，有。
证明：由中值定理知：，其中；
，其中，
由单调下降知：，
再由a>0知，
即。证毕。
例.若函数f(x)是[0，1]上的二阶导函数连续的函数，f(0)=f(1)=0，且，证明：。
证明：由题意知f(x)在(0,1)上同号，不妨设f(x)>0，
又因为f(0)=f(1)=0，
由连续函数性质知，
在上分别用拉格朗日中值定理，，使得
，从而有
， 证毕。
（4）利用凸函数
例. 设，且，则。
证明：由于lnx是上凸函数，故，
故。证毕。
（5）利用Taylor公式（级数）来证明
例. 设，u(t)是任意的连续函数，求证：当a>0时，有
。
证明：因为,
取x=u(t)，，
则有，
所以。证毕。
（6）利用已知的不等式
例. 设f连续可微，f(1)-f(0)=1，求证。
证明：,
由此即得。证毕。
2． 利用积分证明不等式
（1） 利用分部积分和换元积分法估计积分值
例. 证明
证明：将原式记为I，则

因为在上，，又，
所以，
但是不恒等于0，
故>0，证毕。
（2） 构造积分进行证明
例. 若函数f(x)是[0，1]上的二阶导函数连续的函数，且，证明：。
证明：反证法：若对，则对有
，矛盾，故假设不成立。
（3）利用积分的单调性
例. 证明不等式。
证明：令，
则，
令，
则，
故g在上严格上升，因此对任意的，
有，由此即知，对任意的，有，
故f在上严格上升，因此对任意的，
有，即，因此
。 证毕。
例. 设函数f(x)在[0，1]上可导，且当时，有，
证明：
证明：方法一、只需证明。
令，
则，
因为，所以f(x)严格单调上升，且f(x)>f(0)=0，
令，
则，
所以G(t)是严格单调上升的，又G(0)=0，故，
所以，F(t)严格单调上升，所以F(1)>F(0)=0，
即。 证毕。
方法二、因为，所以f严格单调上升，
从而对任意的1>x>0,有f(x)>0,
令，
由柯西中值定理，有

即。 证毕。
3． 利用配方法证明不等式
要证，若a-b能表示成完全平方，或者a-b能表示成有限个完全平方的和，则
例. 求证，等式成立的充要条件是。
证明：

且等式成立的充要条件是，即。证毕。
4． 利用数学归纳法证明不等式
例. 设，试证。
证明：利用如下命题：设，且b,d为正数，则来证明。
当n=1时显然成立。
设当n=k时成立，那么当n=k+1时，令
，，，，
则由归纳假设知
，
于是由命题知

同样可证

即当n=k+1时结论成立。证毕。
5． 利用正定或非负二次型证明不等式
证明一个正定或非负二次型，使其判别式所满足的条件为所证明的不等式。
例. 求证，等式成立的充要条件是。
证明：令，则

由,知。
易知等式成立的充要条件是f有实根a，即f(a)=0，亦即。证毕。
6．杂例
例. 证明不等式。
证明：显然当时，不等式成立。
令，
易知，
令，
易知，
因此g在上严格增加，又因为g(0)=0，故当时，g(x)>0，从而当时，，因此，f在上严格增加，而f(0)=0，故当时，，即有。证毕。
例. 当时，试证。
证明：令，
对任意，由，
解得。
易知，当时，；当时，，由此即知，当时，f对固定的y取最大值。
对任意，由，
解得。
易知，当时，；当时，，由此即知，当时，f对固定的x取最大值。
综上所述，可知f在满足方程组
（*）
的点（x,y）上取最大值。
由(*)式可得

因此当时，试证。证毕。
例. 设x>0，试证。
证明：令T=,
则,其中。
令，
，
则，
利用极坐标变换，易得
，
，
因此，
即。证毕。

2. 定积分及重积分的方法与技巧
一、定积分的计算

例1 用定积分定义求极限.
.
解 原式==.
例2 求极限 .
解法1 由，知，于是.
而，由夹逼准则得=0.
解法2 利用广义积分中值定理
（其中在区间上不变号），
由于，即有界，
，故=0.
注 （1）当被积函数为或型可作相应变换.
如对积分，可设；
对积分，由于，可设.
对积分，可设
（2）的积分一般方法如下：
将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母，可求出，. 则积分

例3 求定积分
分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式.
解法1

解法2
小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元时还应注意：
（1）应为区间上的单值且有连续导数的函数；
（2）换限要伴随换元同时进行；
（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.

例4 计算下列定积分
（1）， ；
（2）
解 （1）

=
故
=.
（2）

这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：

小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设;积分区间为[-a,a]时，设。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。
（2）利用例10.6(2)中同样的方法易得

例5 设在上具有二阶连续导数，，
且，求
解

故
小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择的原则；
（2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.

例6 计算定积分（为自然数）.
解 是以为周期的偶函数.

例7 证明积分与无关，并求值.
解
，于是

┃
小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.

二、含定积分的不等式的证明

例8 证明（1）；.
证 （1）在上连续，令，得.比较与的大小，知在上的最大值为，最小值为，故

（2）由于以为周期，

而
，
因为 ，
所以 ┃
事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与无关，仅为取正值的常数.
例9 设是上单调减少的正值连续函数，证明

证 利用积分中值定理，

（因为递减取正值）.
即 ┃
例10 设在上连续且单调递增，证明：当时，有
（10．1）
分析 将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将换成，作辅助函数，即需证
证 作 ，
则
（因为递增，）
于是，由拉格朗日中值公式，有

即式（10．1）成立.
例11 设在上连续，且，证明

分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计
证 因为在上连续，故有界，即存在，使，

故
┃
例12 设在上二阶可导，且，证明

分析 已知二阶可导，可考虑利用的一阶泰勒公式估计；又所证的不等式中出现了点，故考虑使用处的泰勒公式.
证 在处的一阶泰勒公式为
，
其中，在与之间.利用条件，可得
，
两边从到取积分，得
┃
小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法：
（1） 利用定积分的保序性；
（2） 利用积分上限函数的单调性.

三、定积分的应用

例13 求由曲线与直线及所围成的图形分别绕轴、轴及旋转一周所成的旋转体的体积.

解 （1）绕轴旋转，积分变量为

（2）绕轴旋转 （3）绕＝1旋转
解法1 取为积分变量，，直线及和双曲线的交点及的纵坐标分别为和.设平面图形，及（见图11—8）绕轴旋转而成的立体的体积分别为和，则所求旋转体的体积为

解法2 取为积分变量，，将分成两部分区间：和.
在上，体积元素为

在上，体积元素为

故所求体积为

解法3 选为积分变量，.将旋转体分割成以轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间的窄曲边梯形可近似地看做高为，宽为的举矩形，它绕轴旋转而成的圆柱形薄壳的体积，即体积元素为

因此有
（3）绕旋转
选为积分变量，.
体积元素为
所求体积为

小结 （1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限.
（2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若平面中的平面图形是由曲线 与直线所围成，则分别绕轴、轴旋转所得旋转体体积为

第二部分 二重（三重）积分

一、重积分的计算及技巧总结
计算二重积分的基本方法是化为二次积分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是：
1． 直角坐标系下确定积分次序的原则
（1）函数原则
内层积分能够求出的原则.
例如一定应先对积分，后对积分.
例如一定应先对积分，后对积分.
（2）区域原则
若积分区域为型（即用平行于轴的直线穿过区域，它与的边界曲线相交最多为两个点），应先对积分，后对积分.
若积分区域为型（即用平行于轴的直线穿过区域，它与的边界曲线相交最多为两个点），应先对积分，后对积分.
若积分区域既为型区域，又为型区域，这时在函数原则满足的前提下，先对积分或先对积分均可以；在这种情况下，先对哪个变量积分简单，就先采用该积分顺序.
（3）少分块原则
在满足函数原则的前提下，要使分块最少，从而计算简单.
2． 直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则
（1）每层积分的下限都应小于上限.
（2）一般而言，内层积分限可以是外层积分变量的函数，也可以是常数.
（3）外层积分限必须为常数.
3．当二重积分的积分域为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有的函数形式，即时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计算二重积分一般均采用先后的积分次序.
4．极坐标下积分限的确定
当极点在积分域之外时

当极点在积分域的边界曲线上时

当极点在积分域内时

小结 化二重积分为二次积分的关键在于确定二次积分的上、下限.
确定积分限采用穿线法，若先对后对积分，则将积分区域投影在轴上，可得的变化范围.再过固定的点作一平行于轴的直线从下向上穿过区域，则可得到的变化范围.从而可将积分域用不等式组表示出来，这种确定上、下限的方法比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数.

小结 极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先后，定限时仍采用“穿线法”。为确定的变化范围，从极点出发作射线穿过区域，并使射线沿逆时针方向转动，射线与积分域开始接触时的角即为的下限，离去时的角即为上限；又由于极径，穿入时碰到的的边界曲线为下限，穿出时离开的的边界曲线为上限.

小结 计算二重积分时，选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不但影响到计算的繁简，甚至还会影响到计算能否进行下去.选择坐标系要从积分域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑，为便于记忆，现列表18—1表示.
表18—1
积分区域的形状
被界函数的形状
应选坐标系
为矩形、三角形、或其他形状

直角坐标系
为圆域、圆环域、扇形域或环扇形域
或
极坐标系

小结 利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免容易出错的繁琐计算，而且使一些无法直接积分的问题得以解决.但必须注意：利用这种方法，计算时一定要同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，否则就会导致错误.

小结 计算绝对值函数的积分，一般应先将积分区域分块，将被积函数分段表示，以去掉绝对值符号，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，进行分块计算，最后把计算结果相加.

5．计算三重积分时，有一种称为“先二后”一的算法，什么样的情况适合选用这种算法？
“先二后一”法是计算三重积分的一个很有效的方法，该方法通过计算一个二重积分和一个定积分来得到结果.在有些场合下，其中的二重积分是不需要计算的，因此大大简化了计算三重积分的计算量和难度. “先二后一”方法是这样的：
如果域界于平面和之间，用任一平行于面的平面去截域得平面区域，则有.当被积函数仅是的函数，而截得的区域的面积很容易求得时，特别合用“先二后一”方法.

小结 　用不等式组表示空间区域的“穿线法”是这样进行的：假设空间区域向面投影得到的投影区域是，过中任一点由下向上作平行于轴的直线穿过空间区域时可以碰到两个曲面：穿入时碰到的曲面和穿出时离开的曲面，于是变量的变化范围是，，然后再根据区域在面上的投影区域确定变量与的变化范围.当然，用“穿线法”时，也可以将空间区域向面或面投影，分析方法类似.由于计算三重积分时首先要将三重积分化为三次积分，而化三重积分为三次积分的第一步就是用不等式组表示空间区域，因此，学会用不等式组表示空间区域是非常重要的。

小结 　三重积分的计算，可化为先计算一个定积分再计算一个二重积分（或先计算一个二重积分再计算一个定积分），从而也化为计算三个定积分的问题，因此，其计算步骤与二重积分相似：
　　（１）作出积分区域的草图，根据其特点和被积函数的特点，选择适当的坐标系极适当的积分次序；
（２）确定积分区域在某一坐标面上的投影区域，找出投影区域的边界曲线方程；
（３）确定积分限，化为三次积分；
（４）计算积分．
可见，三重积分计算，其关键仍是正确确定积分分限，而画好积分区域的图形则有助于正确地确定积分限．

3求极值的方法与技巧

极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；
条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法
1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型
定理1(充分条件) 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, 令
fxx(x0, y0)=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C,
则f (x, y)在(x0, y0)处是否取得极值的条件如下：
(1) AC-B2>0时具有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时有极小值；
(2) AC-B2<0时没有极值；
(3) AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
极值的求法：
第一步 解方程组fx(x, y)=0, fy(x, y)=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x0, y0), 求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步 定出AC-B2的符号, 按定理1的结论判定f(x0, y0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：
⑴对于二元函数z=f(x, y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；
⑵AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；
⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数的极值。
解 令
得驻点及
又由

故为极小值。
由于

，此时有通常的方法无法判定。
令，则，由
得驻点
又
故在处取极大值，即函数在圆周上取极大值
2．对于三元及更多元的函数定理1并不适用，而在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决。
定义1 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。 记, 称为函数在点处的梯度。
定义2 满足的点称为函数的驻点。
定义3
称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。
定理2(极值存在的必要条件) 设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则。
定理3(极值的充分条件) 设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且
则(1)当为正定矩阵时，为的极小值
(2)当为负定矩阵时，为的极大值
(3)当为不定矩阵时，不是的极值。
应注意的问题：
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.

例1　求三元函数的极值。
解　先求驻点，由
得
所以驻点为。
再求(Hessian)黑塞矩阵
因为
所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：.
当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样。

二、求解条件极值的常用方法
1．代入法化为无条件极值问题
从一道错误的例题谈条件极值的代入法[1] (这里全文引用)
同济大学出版的教材(高等数学(第二版下).上海:同济大学出版社,1998.8)在介绍条件极值时举了这样的一道例题:
“例10:某公司的两个工厂生产同样的产品,但所需成本不同,第一个工厂生产单位产品和第二个工厂生产单位产品时的总成本是。若公司的生产任务是500个单位产品,问如何分配任务才能使总成本最小?
解:根据题意,是求函数在在条件下的极值。作辅助函数
令，解得，所以根据题意知,当第一个工厂生产125个单位产品、第二个工厂生产375个单位产品时总成本最小。”
上述解法,粗看起来好象没有什么毛病,但却是经不起推敲的。简单的验证可知,本例求出的总成本为,但却不是最小,譬如,就比求得的“最小值”小了一半还要多!事实上,点(125,375)不是最小值点,而是最大值点。究其原因,主要是解题方法选择不当造成的。我们知道,求解自变量不超过三个的条件极值问题,既可以用拉格朗日乘数法,也可以用代入法。用拉格朗日乘数法虽然很方便,但极值点的判定却比较麻烦。对这个问题,几乎所有的教材都没有作出正面的回答,只指出了用这种方法求出的极值点是“可能的”极值点,“至于如何确定所求得的点是否为极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定”。然而许多实际问题中,根据问题本身的性质却无法确定究竟是极大还是极小。在这种情况下,采用代入法则可以有效地解决极值点的判定问题。本例中,由于总成本究竟是最小还是最大并不好判定,因而采用代入法求解就可以避免产生上述的错误。
若令并代入目标函数中,可得总成本，于是问题转化为求函数在区间[0,500]上的最小值。
由,可得惟一驻点=125(显然是极大值点),计算该驻点及两端点处的函数值,有C(125)=531950　　C(0)=500700　　C(500)=250700
比较即知=500是所求之最小值点,此时=0。即把500个单位产品的生产任务都分配给第一个工厂生产时总成本最小。
应注意的几个问题：
⑴在讨论二元函数在约束条件的极值问题时，如果由能解(或)就把求二元函数的条件极值转化为求一元函数的极值了。使用代入法时，减少了变量，给判别极值带来了方便，但有时在约束条件中不易将(或)解出，使用这种方法就困难了。
⑵我们知道在求解约束条件比较简单的条件极值问题时,既可以用拉格朗日乘数法,也可用代入法,但在用代入法求解时,如果不注意代入的条件,则可能导致不完整甚至错误的解答[3]。
例如　求在条件下的极值。用代入法求解时,如果将代入式,则得,通过求解方程组得,但将代入时,ｚ无解。因而在条件下似乎无极值。但如果用拉格朗日乘数法,则可得到二个可能的极值点,分别为(1,0,0)与(-1,0,0),且通过几何意义(乃是求原点到柱面的最短距离),不难得出(1,0,0)与(-1,0,0)都是极小值点,极小值都是1。
原因是求在条件下的极值时,的取值范围是,而将代入,求的极值时, 的取值范围已是。
2．更一般的方法是利用拉格朗日乘数法求解
“乘数法”所得到的点只是可能的极值点,到底是否是极值点以及其类型要依据拉格朗日函数的二阶微分的符号来判断.
例 求函数在条件()下的极值.
分析:通过求简单函数的极值点从而达到求复杂函数极值点的方法,是在实际解题中经常使用的.
解 先求
令得驻点
又由 ,

故为即的极大值点, 此时.
3．运用梯度法求条件极值[2]
将梯度法用于求条件极值的问题。方程组的解,就是所求极值问题的可能极值点。
例1.试求个正数,其和为定值的条件下,什么时候乘积最大,并证明

证　明:本题的实质是求在条件下的最大值问题。根据本文定理,列出下列方程组,求解可能的极值点。

进一步求解得

容易得到
,根据题意,则是唯一的极大值点,也是最大值点。所以,
,即
这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。例如:求在条件下的极值, 只要列出方程组再求出相应的,则其中是可能的极值点.
例2．从斜边之长为的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形。
解:设两条直角边为本题的实质是求在条件下的极值问题。根据本文定理,列出方程组:
进一步求解得
容易解出,所以,根据题意是唯一的极大值点,因而也是最大值点。
当两条直角边都为时,直角三角形的周长最大。
4．利用二次方程判别式的符号求某些条件极值[4]
例 若,试求的极值.
解 因为,代入得

即 (1)
这个关于的二次方程要有实数解, 必须:

即
解关于的二次不等式,得:

显然,求函数的极值, 相当于求
(2)
或
(3)
的极值.
由(2)得 (4)
这个关于的二次方程要有实数解,必须
, 即
解此关于的二次不等式,得.
所以
把代入(4)得,再把,代入(1),得,最后把,,代入,得.
所以,当,,时,函数达到极大值3.
同理可得,当,,时,函数达到极小值-3.
也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3.
5．利用标准量代换法求函数极值[5]
求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.
如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.
例 设,求的最小值.
解 取为标准量, 令,则(为任意实数),从而有

(等号当且仅当即时成立).
所以的最小值为.
[1] 李天胜，从一道错误的例题谈条件极值的代入法[J]，高等数学研究,2002(3):22.
[2] 肖翔，许伯生，运用梯度法求条件极值[J]，上海工程技术大学教育研究，2006(1)：35-37.
[3] 莫国良，关于用代入法求条件极值的一点注记[J]，高等数学研究，2004(3):42-49.
[4] 王延源, 条件极值的六种初等解法[J], 临沂师专学报, 1999(12):21-24.
[5] 李瑛华, 标准量代换法求函数极值,实战实例.

4.求曲线、曲面积分的方法与技巧
一.曲线积分的计算方法与技巧
计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。
例一．计算曲线积分其中是圆上从原点到的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
解1：的方程为由由

分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解2：在弧上取点，
的方程为由由
的方程为由由

分析：解2是选用参变量为利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。不同的是以为参数时，路径不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。
解3：的参数方程为由由

解4：的极坐标方程为因此参数方程为
由由

分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解5：添加辅助线段，利用格林公式求解。因于是

而
故得
分析：在利用格林公式将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。是的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段使曲线为正向封闭曲线。
解6：由于于是此积分与路径无关，故

分析：由于在闭区域上应具有一阶连续偏导数，且在内因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在上的积分为在上积分，注意点对应的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。
解7：由全微分公式

分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。
例二．计算曲线积分其中是曲线从轴正向往轴负向看的方向是顺时针的。
解1：设表示平面上以曲线为边界的曲面，其中的正侧与的正向一致，即是下侧曲面，在面上的投影区域：由斯托克斯公式

解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出

而平面：的法向量向下，故取于是上式
分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算的。在利用斯托克斯公式计算时首先应验证函数在曲面连同边界上具有一阶连续的偏导数，且的正向与的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。
解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设则从

例三．计算其中为曲线
解1：由于当积分变量轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的方向无关，故有

由曲线是球面上的大圆周曲线，其长为故

由于关于原点对称，由被积函数为奇函数，得 于是

解2：利用在上，，
原式
再由对称性可得（同解1），于是
上式
分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行计算常常是有效的。
例四．求其中为椭圆曲线上在上半平面内从的弧。
解：添加辅助线 为的顺时针方向的上半圆周以及有向线段，其中是足够小的正数，使曲线包含在椭圆曲线内。由于
，
由格林公式，有
设有

再由 于是

分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在点附近 无定义，于是采用在椭圆内部附近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。
例五．求八分之一的球面的边界曲线的重心，设曲线的密度
解：设边界曲线在三个坐标面内的弧段分别为则的质量为

设边界曲线的重心为，则

由对称性可知
分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线分成三个部分： 另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可简化计算。
二.曲面积分的计算方法与技巧
计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等。
例六．计算曲面积分其中为锥面在柱体内的部分。
解：在平面上的投影区域为，曲面的方程为

因此
对区域作极坐标变换则该变换将区域变成坐标系中的区域因此

分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即或或上解中的投影区域在平面上，因此用代换由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计算。
例七．设半径为的球面的球心在定球面上，问为何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大？
解：不妨设的球心为，那么的方程为它 与定球面的交线为即

设含在定球面内部的上那部分球面在面上的投影区域为，那么且这部分球面的方程为

则的面积为

以下只需求函数在上的最大值。
由令得唯一驻点且由问题的实际意义知在处取得最大值。即时，的面积最大，为
分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确定了含在定球面内部的上那部分球面在面上的投影区域。在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。
例八．计算曲面积分其中为有向曲面 其法向量与轴正向的夹角为锐角。
解1：设分别表示在平面，平面上的投影区域，则，

其中
令，
又
所以
分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面投向单一型中已指定的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当的定侧向量指向坐标面的上（右，前）方时，二重积分前面取“+”，反之取“-”。
解2:利用化组合型为单一型.
因的法向量与轴正向的夹角为锐角,取故有
于是
原式

因为所以
上式

分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式，先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。
解3：以表示法向量指向轴负向的有向平面，为在平面上的投影区域，则

设表示由和所围成的空间区域，则由高斯公式得

因此
分析：利用高斯公式，可将曲面积分化为三重积分求得。但必需满足在闭区域上有一阶连续的偏导数，是边界曲面的外侧。本题中的曲面不是封闭曲面，故添加了，使为封闭曲面，并使的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。
例九：计算曲面积分其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与轴正向的夹角恒大于
解：设表示上与轴正向同侧的曲面，由和所围立体记为由高斯公式得

因此
由于在面上的投影区域为注意到在面，面上的投影不构成区域，且在上从而

分析：是旋转曲面且指向外侧，在上补上曲面指向与轴正向相同，那么由高斯公式就可将原式化成三重积分和上的曲面积分进行计算。
例十．设空间区域由曲