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公务员考试的一个好论坛，推荐给大家，我在上面找到 了很多好资料，结交了整数的问题整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在 中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的 地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过 课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路 和方法。对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面 的方法来表示：49=4 x10+9,235=2 x 100+3 x 10+5,7064=7 x 1000+6 x 10+4,有时我们用字母a,b,表示数字.例如，应是一个五位数，也就是a bc d e=a X 10000+bX 1000+c X100+d X10+e.、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a 除以自然数b,商是整数且余数为0,我们就说a能被b 整除，或b能整除a,或b整除a,记作b|a.此时，b 是a的一个因数(约数)，a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b,a-b也 都能被m整除(这里设*b).例如：3|18,3|12,那么 3|(18+12),3|(18-12).性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a 能被c整除。例如：3|6,6|24,那么 3|24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6|36,9|26,6和9的最小公倍数是18,18|36.如果两个整数的最大公约数是1,那么它们称为互质 的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a,能分别被b和c整除，如果b与c 互质，那么a能被b x c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72 分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因 为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b x c.事实上，根据性质4,我们常常运用如下解题思路：要使a被b x c整除，如果b与c互质，就可以分别 考虑，a被b整除与a被c整除.能被2,3,4,5,8,9,11整除的数都是有特征的,我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除 问题.2.数的整除特征(1)能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整 除.(2)能被5整除的数的特征:如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5 整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那 么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那 么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和 的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1四位数前能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，麻叱是什么数字？解：18=2x 9,并且2与9互质，根据前面的性质4,可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已 有 7+4=11.如果b=0,只有a=7,此数是7740;如果b=2,只有a=5,此数是7542;如果b=4,只有a=3,此数是7344;如果b=6,只有a=1,此数是7146;如果b=8,只有a=8,此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问 题常用办法，例1就是一个典型.例2 一本老账本上记着：72只桶，共口67.9口元，其中口处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把口67.9口写成整数679,它应被72整除.72=9x 8,9与8又互质.按照前面的性质4,只要分别考 虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整 除，因此b=2,从6792能被9整除，按照被9整除特征,各位数字之和+24能被9整除，因此a=3.这笔帐是367.92元.例3在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多 的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可 能小.解：如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是 5,这样就不能被偶数2,4,6整除，也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5,而选 其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,为了能整 除3和6,所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一 个2,16+2=18能被3整除.为了尽可能小,又要考虑到 最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7口4口能被55整除，求出所有这样的 四位数.解：55=5x 11,5与11互质，可以分别考虑被5与 11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字 只能是0,所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字 只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位 数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040,7645.例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被 11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解:为了使这个数最大，先让前五位是98765,设这个七位数是丽丽,要使它被11整除，要满足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a 与b只能是0,1,2,3,4中的两个数，只有b=4,a=0,满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11(参 见下页除式).要满足题目的条件，这个数是9876543减6,或者再 减去n的倍数中的一个数，使最后两位数字是o,1,2,3,4中的两个数字.897867 11/9876543/88107g g867795 丽746683 7743-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因 此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求,是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993口口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多 少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9,8,7整除.1+9+9+3=22,要被9整除，十位与百位的数字 和是5或14,要被8整除，最后三位组成的三位数要能 被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500,1993320,1993680,其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是 320.解二：直接用除式来考虑.2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数是2520,这 个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除,具体的除式如下:79 2520/1993000/17640 22900 22680-2200因为 2520-2200=320,所以 1993000+320=1993320 能被2520整除.例7下面这个41位数20个5 20个9能被7整除，中间方格代表的数字是几？解:因为 111111=3x 7x 11x 13x 37,所以555555=5 x 111111 和 999999=9 x 111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的 18位数，也都能被7整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55D99能被7整除，原数就能被7整除.把55口99拆成两个数的和:55A00+B99,其中D=A+B.因为 7|55300,7|399,所以口=3+3=6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字之一填入下面任一 个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数 字可重复）后，就形成一个六位数,如果这个六位数能被 N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算 甲胜.如果N小于15,当N取哪几个数时，乙能取胜？解:N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六 位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N=5,甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N=l,很明显乙必获胜.如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时，总是能 把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N=7,11,13是本题最困难的情况.注意到1001=7 x 11 x 13,乙就有一中必胜的办法.我们从左往右数 这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六 配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在 这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成 的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2,这个六 位数，能被7,11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1,3,7,9,11,13.记住，1001=7x 11x 13,在数学竞赛或者做智力测 验题时，常常是有用的.二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2,5,7,101,一个整数除1 和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4,12,99,501,.1不是质数，也不是合数.也可以换一种说 法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数 的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15,335.例 9 O+(口+)=209.在。、口、中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209=11 x 19.不论。中填11或19,口+一定是奇数，那么口与 是一个奇数一个偶数，偶质数只有2,不妨假定内填 2.当。填19,口要填9,9不是质数，因此。填11,而 口填 17.这个算式是11 X(17+2)=209,11 x(2+17)=209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数 的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一 节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的 质因数，例如，2,3,7,都是42的质因数，6,14也是 42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯 一地表示成质因数乘积的形式，例如360=2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5.还可以写成360=23 x 32 x 5.这里2?表示3个2相乘，3,表示2个3相乘.在2?中，3称为2的指数，读作2的3次方，在中，2称为3的 指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大 1岁，而他们的年龄的乘积是5040,那么，他们的年龄 各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040=24 x 32 x 5 x 7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24 x 32 x 5 x 7=7 x 8 x 9 x 10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和 10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个 数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单 的例子.我们知道24的约数有8个：1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是 很麻烦的事.因为24=2以3,所以24的约数是2,的约数（1,2,2 2，）与3的约数（1,3）之间的两两乘积.1 X 1,1 X 3,2 x 1,2 x 3,22 X 1,22 X 3,23 x 1 5 23 x 3.这里有4x 2=8个，即（3+1）x（1+1）个，即 对于24=23中的2:有（3+1）种选择：1,2,2 2对于3有（1+1）种选择.因此共有（3+1）x（1+1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144=24 x 32.因此144的约数个数是（4+1）x（2+1）=15（个）.例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有 整数.解：有 8=7+1;8=（3+1）x（1+1）两种情况.（1）27=128,符合要求，37150,所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23=8,8 x 13=104,8 x 17=136,符合要求.3:27;只有27 x 5=135符合要求.5:135,它乘以任何质数都大于150,因此共有4 个数合要求：128,104,135,136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约 数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720=24 x 32 x 5,168=23 x 3 x 7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最 大公约数，上面两个整数都含有质因数2,较低指数次方 是2类似地都含有3,因此720与168的最大公约数是23 x 3=24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数 次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5,而168中 无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小 公倍数是24 x 32 x 5 x 7=5040.例12两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是90,另一个数是多少？解：180=22、32*5,30=2x 3x 5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数 较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从2?与2就知道，一数中含22,另一数中含2;从32与3就知 道，一数中含另一数中含3,从一数是90=2 x 32 x 5.就知道另一数是22 x 3 x 5=60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下 面这些数中去找30,60,90,120,.这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去 检验，有时会较费力.例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积 都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第 三个分数是多少？解：把420分解质因数420=2 x 2 x 3 x 5 x 7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子 与分母的乘积不再是420 了），相同质因数（上面分解 中的2）,要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小 于分母.分子从小到大排列是1,3,4,5,7,12,15,20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是1 3 4 5 7 12 15 20420*140*105*84*60*35*28*211从小到大排列中第三个是急.两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个 数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的 乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例 14 将 8 个数 6,24,45,65,77,78,105,110 分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质 因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数 分解质因数.6=2 x 3,24=23 x 3,45=32 x 5 5 65=5x13,77=7x n,78=2x 3x 13,105=3x 5x 7,110=2x 5x 11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使 第二组里也有三个2的因子，必须把6,78,110放在第 二组中，为了平衡质因数11和13,必须把77和65放在 第一组中,看质因数7,105应放在第二组中，45放在第 一组中，得到第一组:24,65,77,45.第二组：6,78,110,105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词一完全 平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就 称为完全平方数.例如：4=2 x 2,9=3 x 3,144=12 x 12,625=25 x 25.4,9,144,625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数 的次数，一定是偶数.例如：144=32x 42,1 00=22 x 52,例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙 两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的 约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个 约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数 的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800=24 x 52 x 7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1,22,24,52,22 x 52,24 x 52.在这6个数中只有22义52=100,它的约数是（2+1）X（2+1）=9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数 是100=22 x 52,因此乙数至少要含有24和7,而2x 7=H2恰好有（4+1）x（1+1）=10（个）约数，从而乙 数就是112.综合起来，甲数是100,乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了 17元.两种笔 的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元 来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎 么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少 元？解：35=5x 7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否 则能把35元恰好用完），也不能是17-5=12（元）和 17-7=10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了 5,7,10,12这四个 数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18 的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种 笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是 18 的约数：1,2,3,6,9.当然也不能是 17-1=16,17-2=15,17-3=14,17-6=17-9=8.现在笔价又排除了：1,2,3,6,8,9,11,14,15,16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4+13=17,就知道红笔每支13元，蓝笔每支4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情 形外，更多的是不能整除的情形，例如953,48 5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65-3=21 2,38-5=7.3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数+除数=商.余数.上面两个算式可以写成65=3 x 21+2,38=5 x 7+3.也就是被除数=除数X商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余 数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数 小，这一事实，解题时常作为依据.例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质 数.解：这个质数能整除5397-15=5382,而 5382=2 x 31997 x 1 3 x 23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只 能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除 数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763,再去掉 14000还余下1763,再去掉1400余下363,再去掉350 余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763 15763 Tl763T 363Tl3-6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763-15000-1000-6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个 数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967,1000,2001 得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967,1000,2001的两两之差，即1000-967=33=3 x 11,2001-1000=1001=7 x 11 x 13,2001-967=1034=2 x 11 x 47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个 就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如,求出差 1000-967 与 2001-1000,那么差2001-967=(2001-1000)+(1000-967)=1001+33=1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数,那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个 余数之和被这个除数除所得的余数.例如,57被13除余5,152被13除余9,那么 57+152=209被13除，余数是5+9=14被13除的余数 1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15,第 二个数是40,从第三个数起，每个数恰好是前面两个数 的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再 看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个 数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3,就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个 数被3除的余数，列表如下：数的序号一二三四五六七A九十被3除余数011 2022101从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与 第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3 除的余数，每八个循环一次，因为1998=8 x 249+6,所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被 3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方 法，就是循环制.计算钟点是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的 余数0,1,2,3,4,5,6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季,说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也 是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的 循环，就说周期是12,7个数的循环，就说周期是7.例 20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定 周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在 讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积,被这个除数除所得的余数.例如，37被n除余4,27被11除余5,37 x 27=999被11除的余数是4x 5=20被11除后的余数9.1997=7 x 285+2,就知道 1997*1997 被 7 除的余 数是2x 2=4.例21 19,被7除余几？解：从上面的结论知道，19则被7除的余数与2.被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除 的余数.先写出一列数2,2x 2=4,2x 2x 2=8,2x 2x 2x 2=16,然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律,列 表如下：数的序号_J一.四五六七A数248163264128256被7除的余数24124124事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2,再 被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同,都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第 二个数余数相同，因此，余数是每隔3个数循环一 轮.循环的周期是3.1997=3 x 665+2.就知道2则被7除的余数，与21997被7除的余数相 同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最 左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,55,.问：最右边一个数（第70个数）被6除余几?解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰 好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3=1 x 3-0,8=3 x 3-1,21=8 x 3-3,55=21 x 3-8,不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去 除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数 呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从 第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3,减去再前一个数的余数，然 后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：数的序号一二三四五六七八九十十一十二十三十四数0 1 3 8 21 55 144377-被6除的余数0132310534 3 5 0 1注意，在算第八个数的余数时，要出现0 x 3-1这在 小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以 我们可以Ox 3加6再来减1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与 第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周 期是12.70=12 x 5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余 数相同，也就是4.在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术 题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三,七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这 个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一 类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条 件和解的方法被称为“中国剩余定理“，这是由中国人 首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这 类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这 里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解 法.例23有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个 数除以12余几？解：除以3余2的数有:2,5,8,11,14,17,20,23.它们除以12的余数是：2,5,8,11,2,5,8,11,.除以4余1的数有：1,5,9,13,17,21,25,29,.它们除以12的余数是:1,5,9,1,5,9,一个数除以12的余数是唯一的,上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又 逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余 数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的 列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同 学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的 余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12 x整数,整数可以取0,1,2,，无穷无尽.事实上，我们 首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加 上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除 以3余2,除以4余两个条件合并成“除以12余5”一个条件.孙子算经提出的问题有三个条件，我们可 以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2,5,8,11,14,17,20,23,26,，再列出除以5余3的数：3,8,13,18,23，28,.这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小 公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15 x整数，列出这一串数是8,23,38,再列出除以7余2的数2,9,16，23,30,.就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被 105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其 中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7 整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和 io,下一个连续的自然数是n.3和5的最小公倍数是15,考虑11加15的整数倍,使加得的数能被7整除.n+15 X 3=56能被7整除，那 么54,55,56这三个连续自然数，依次分别能被3,5,7整除.为了满足“在100至200之间”将54,55,56分别 加上3,5,7的最小公倍数105.所求三数是159,160,161.注意，本题实际上是：求一个数（100200之间），它被3整除，被5除余4,被7除余5.请考虑，本题解 法与例24解法有哪些相同之处？推理原理解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要依靠 推理来解的数学题称为推理问题。例1有一座四层楼（图25-1）,每层楼有3 个窗户，每个窗户有4块玻璃，分别是白色和蓝色，每个窗户代表一个数字，从左到右表示一个三位数，四个楼层所表示的三位数分别是791,275,362,612。那么，第二层楼代表哪个三位数？图 25-1【分析】仔细观察图25-1和组成四个三位数的 12个数字，出现3次，两次在个位，一次在百 位。容易看出图2（a）代表“2”，再从6、都出现两次，并根据它们所在的数位以及与的 关系，可推知：图25-2中（b）、（c）分别代表“6”和“7”。【解】第二层楼代表612。【例2】有8个球编号是至，其中有6个球 一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球,用天平称了 3次。结果如下：第一次+比+重第二次+比+轻第三次+与+一样重，那么，两 个轻球的编号是和。【分析】从第一次称的结果看，、两球中有 一个轻；从第二次称的结果看，、两球中有一个 轻；从第三次称的结果看，、三球中有一个 轻，、三个球中也有一个轻。综合上面推出 的结果，可找出两个轻球。【解】两个轻球的编号是和。说明：在上面的推理中，我们省去了一步，也就 是：排除了、与、中都没有轻球的 那种可能。因为容易用反证法导出“、”都是轻 球”这一结论与第二次称的结果相矛盾。【例31如图25-3,每个正方体的六个面上分别 写着16这六个数字，并且任意两个相对的面上所 写的两个数字之和都等于7。把这样的五个正方体一 个挨着一个连接起来后，紧挨着的两个面上两个数字之和都等于8。图3中打”的这个面上所写的数 字是一。图 25-3【分析】根据题意，容易推知拐弯处的那个正方 体的右侧面上写的数字可能是“2”，也可能是5。但用反证法可把第1种情况排除。怎样排除？（留给 读者完成）【解】打“？”的这面上写着“3”。【例4】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足 球比赛，每队与另两支队各赛一场。已知：（1）意 大利队总进球数是0,并且有一场打了平局；（2）荷 兰队总进球数是1,总失球数是2,并且该队恰好胜 了 一场。按规则：胜一场得2分，平一场得1分，负 一场得0分。问德国队得了 一分。【分析】由条件（2）知，荷兰队胜了 一场，而 不进球是不可能胜的，但它的总进球数只有1,说明 这场比赛它以1：o取胜。又因为它总失球数2,所以 另一场比赛以0：2输了。再由条件（1）知：以2：0 赢荷兰队的不可能是意大利队（因为意大利队没有进 球），只可能是德国队（记2分）。既然荷兰队输给德国队，那么它胜的一场一定是对意大利队，而且比 分为1：0。德、意两队以0：0踢平（各记I分）。【解】德国队得了 3分。例5某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年 龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。最大的男 孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也 大4岁。最大的男孩多少岁？【分析】最大的孩子（10岁的）不是男孩，就是 女孩。如果10岁的孩子是男孩，那么，根据题意，最小的女孩是6岁（6=10-4）,从而，最小的男孩是 4岁，再根据题意，最大的女孩是8岁（8=4+4）。这就是说，4个女孩最小的6岁，最大的8岁，其中 必有两个女孩同岁，但这与已知条件“他们的年龄各 不相同”矛盾。所以10岁的孩子不是男孩，而是女 孩。最小（4岁）的孩子也是女孩。【解】最大的男孩是4+4=8（岁）。在上面的分析中，我们用了这样的性质：如果4 个自然数只能取三种不同的值，那么其中必定有两个 数相等。例6 一次象棋比赛共有10名选手参加,他们 分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名 选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分。结果，甲队选手平均得4.5分,乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分。那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？【分析】这次比赛共需比9+8+7+2+1=45（盘）。因为每盘比赛双方得分的和都是1分（1+0=1或0.5 x 2=1）,所以10名选手的总得分为1 X 45=45（分）。每个队的得分不是整数，就是匕.5”这样的小数。由于乙队选手平均得3.6分，3.6的整 数倍不可能是 匕.5这样的小数。所以，乙队的总 得分是18或36。但36+3.6=10,而三个队一共才10 名选手（矛盾）。所以，乙队的总分是18分，有选 手18 3.6=5（名）。甲、丙两队共有5名选手。由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是 9分、18分（不可能是27分。因为27+18=45,甲队 选手总得分为0分），丙队选手人数相应为1名、2 名，甲队选手人数相应为4名、3名，经试验，甲队 4名选手，丙队1名选手。【例7】将18这8个自然数分成两组，每组四 个数，并使两组数之和相等。从A组拿一个数到B组 后，B组的数之和将是A组剩下三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和是 A组五个数之和的怎样分组？【分析】18这8个数之和为36,分成的两组 每组4个数之和为36+2=18。第一次拿数后，A组剩 下三数的和为36+(1+2)=12,拿出的数是18-12=6。同样道理。第二次拿出的数为36+(1+1)-18=3。再接下去推就容易了，只要把剩下的1、2、4、5、7、8 分成两组，其中A组另三个数之和为18-6=12。【解】A 组：1,4,6,7;B 组：2,3,5,8。教练员提示语在运用试验法(排除法)时，应想办法使试验的 次数尽可能少些，这就需要用足题目所给的已知条 件，并有意识地寻找别的限制条件。如例2中“0.5 的整数倍不是整数，就是小数部分为0.5的带小数“3.6的整数倍不可能是a.5这种形式”等。另外，像例2、例3中“总分45分”、“共10名选手”、“A组剩下三数之和为12等，都是推理的重要根据。逻辑推理问题。解这类题通常要借助于表格。【例8】五封信，信封完全相同，里面分别夹着 红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片。现在把它们按 顺序排成一行，让A、B、C、D、E五人猜每只信封内 所装卡片的颜色。A猜：第2封内是紫色，第3封是黄色;B猜：第2封内是蓝色，第4封是红色；C猜：第1封内是红色，第5封是白色；D猜：第3封内是蓝色，第4封是白色；E猜：第2封内是黄色，第5封是紫色。然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而 且每封都有一人猜中。请你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片？【分析】把已知条件简明地记录在表格中(如图 27-1)o选择其中一只信封作为“突破口”。比如第 3封，A猜的是黄色，D猜的却是蓝色。由已知条件,这只信封内的卡片不是蓝色，就是黄色。假如第3封 是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾：白色卡片没人猜 对，见图27-L“白”这栏下面5(x)、4(x)o 这说明假设不正确，第3封内应是黄色。由此推出其 它各封内的颜色(见图27-2中的)o例9赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一 个是售货员，一个是工人，一个是机关干部。试根据 以下条件，判断这四人的职业。图 27-1图 27-2(1)赵和钱是邻居，每天一起骑车上班;(2)钱比孙年龄大；(3)赵在教李打太极拳；(4)教师每天步行去上班；(5)售货员的邻居不是机关干部；(6)机关干部和工人互不相识；(7)机关干部比售货员和工人年龄都大。【分析】由条件(4)和条件(1)可知赵、钱都 不是教师。由条件(2)和条件(7),可推知孙不是 干部。如果是的话，钱不是工人或售货员，钱又不是 教师。于是，钱也是干部，矛盾。这样我们得到下表。下面几步推理也用表格说明